G'-2CT
d'Où:
En éliminant successivement a;', y*, z* entre les équations (1) et (2), on aura les équations des projections de la
poloîde sur les plans coordonnés; on trouve ainsi pour l'équation de la projection sur le plan xOy :
équation d'une ellipse rapportée à son centre et à ses axes. La projection sur le plan yOz, a pour équation :
C'est encore une ellipse.
La projection sur le plan zOa: a pour équation :
ÎBT — 0>
C'est une hyperbole dont les asymptotes sont les droites : (5)
. rig.236
Soient OE et OK les deux asymptotes.
Si 2BT — G' > 0, l'hyperbole est située dans l'angle EO A.
Si 2BT— G' < 0, l'hyperbole est située dans l'angle EOC.
Dans le premier cas, la poloïde entoure le sommet A; dans le second, elle est tracée autour du sommet C.
Les deux espèces de poioîde sont séparées par les deux
ellipses suivant lesi^uelles les plans (5) coupent l'ellipsoïde.
L'équation (4) montre que ces deux ellipses égales sont le
lieu des points de l'ellipsoïde pour lesquels le plan langent
est à une distance du centre égale à l'axe moyen.
G" Ainsi, si à» = A, la poloïde se réduit au seul point A ;
si le corps a commencé à tourner autour de OA, il conti-, nuera donc à tourner indéfiniment autour de OA.
Si ôw; > A augmente, on a une petite poloïde entourant
le point A.
Si ôm = B, la poloïde se compose de deux ellipses égales
BE, BF; si le corps a commencé à tourner autour de OB, il n'y a aucune raison pour que le point B se meuve sur l'ellipse BE plutôt que sur BF; le corps continuera donc à tourner autour de OB.
Si ô™ > B, la poloïde passe
dans le fuseau EBF, et entoure
le point C; elle finit par être
une petite courbe autour de C, et le point C lui-même
G' „ pour ^— L.
Le corps ayant commencé à tourner autour de OC, tournera donc indéfiniment autour de cette même droite.
50. Stabilité des axes principaux. — Si l'axe a été écarté un peu de OA en 0 A', le point A' se mouvra sur la poloïde
A'A| qui passe en A', l'axe ne fera que de petites oscillations autour de OA; il y a stabilité.
De même pour OC.
Il n'en est pas de même pour OB; l'axe étant un peu
dérangé, ira décrire une courbe étendue, soit autour de O A,
soit autour de OC. Si cependant il est écarté en B' et que
les conditions initiales tendent à le ramener en B, il finira
. par revenir en B.
■onv^ment d'un corpt solide homogène paiant, de réTOlnUon, fixé par un point de ton «ze de flgsre,
51. Ce problème a été traité pour la première fois par Lagrange, puis par Poisson, qui ne paraît pas avoir eu connaissance de la solution de Lagrange.
Soient 0 le point fixe, OX, OY, OZ trois axes rectan-
gulaires fixes, OZ étant vertical et dirigé vers le bas. Soient, à l'époque t, Oz la position de l'axe de figure du coi-ps, Ox et Oy celles de deux axes perpendiculaires à Os liés au corps; le centre de gravité G est sur Oz, nous ferons OG = h, et nous désignerons par ji la masse du corps.
Traçons une sphère de rayon 1, ayant pour centre le point 0. Cette sphère coupera les plans xOy, XOY, ZOz, suivant les arcs de cercle Nx!/, NXY, Zz, Posons :
p, q, r ayant la s^ification ordinaire, nous aurons :
di
p sîn ç + 5 cos ç ^ sin 8 -
(1) { jsm»— pcosf = jj.
Le poids GA du corps étant parallèle à OZ, ses composantes par rapport aux axes Ox, Oy seront :
X, = (Jiff cos {Z,x) = {t-ga', suivant Ow, Y, = nff cos (Z,y} = ii.gb', saivant Oy.
Soient L, M, N les moments de ce poids relativement aux trois axes Ox, Oy, Oz, x„ j/„ r, les cooi'données du point G; on aura :
ou, à cause de :
X, =0, y,= 0, 2, = A, ■ L = — AY.; M = + AX,; N = 0;
ou, en remplaçant x, et y, par leurs valeurs ci-dessus :
L = — h\i.gb'i M r= A^jijra'; N = 0.
Les triangles sphériques ZNa:, ZNy donnent du reste :
o* = — sin ç sîn 9; b' = — cos ç sîn 9; c' = cos 9,
on aura donc :
L = [t.gh cos j sin 9; JB = ^ ^glt sin ç sin fl; N ^ 0,
Si52 COURS DE MÉCANIQUE.
et les équations d'Ijuler deviendront, en remarquant que l'on a B = [A, parce que le corps est homogène et de révolution autour de Os :
i k-^ -h {C — k) qr= \>.gkcosfsiaa,
(2) : A^ — (G — A)pr=— lijAsiiif sin6,
\ dt
On est ramené à int^er les six équations (1) et (2); mais, dans le cas actuel, on peut suivre une méthode plus simple.
La dernière équation (2) donne d'abord, en désignant par n une constante :
Le travail de la force GA est y-g (Z — Z,), en dés^nant par Z la rxjordonnée du point G rapportée à l'axe OZ ; on a :
Z =; A cos 9.
Le théorème des forces vives donne donc :
kp* + Bj' + Cr' = îixyA ces 6 + coiist. ;
ou bien, à cause de A = B et r = const. :
(3) A (p* + q*) = i}Lgh ces 9 -4- a,
a désignant une constante arbitraire.
Le moment de la force GA par rapport à OZ étant nul, on en conclut que pendant tout le mouvement, la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à cet axe OZ est constante; or, cette somme a aussi pour expression :
kpa' ■+■ ByÈ' + Crc';
car c'est la projection sur OZ de l'axe du couple résul-
tant, et les projections de cet axe sur Oa:, Oy, Oz sont A.p, Bq, Cr, et les axes Ox, Oy, Oz forment avec OZ des angles dont les cosinus sont a', b', c'. On aura donc, en remplaçant a', b', c' et r pai- leurs valeurs, et désignant par p une nouvelle constante arbitraire :
(i) A sin e (p sin ç +'9 cos ç) = Cn cos e + ^.
Si, dans (3) et (4), on remplace p et ? par leurs valeurs (1), on trouvera :
(6) A sin' 9^.
Ces équations feront connaître ij- et S en fonction de (; elles donneront donc le mouvement de l'équateur du corps. On en tire :
rfi}) Cn cos 6 + 3
A sin' «
Ai
iiiîl
(fin CO! « +
ili.gh cos
:On:
s cos
; on
trouvera :
