Discussion. — Soit posé
(H) f(u) = A (1 - «•) iiv.ghu + a) - (Cbm -f- p)». On aura :
(12) Ag=±KÂir).
Soit u, la valeur initiale de «; remarquons que d'après (12) on doit avoir f{u„) > 0, ce qui est aisé à vérifier, car on trouve par des calculs faciles :
f{H,) = A* sin* e, ! (pî + VÎ) — (P, sin ç, — j, ces ?,)* |
= A' sin' 8, j p, cos ç, + q, sin ?, j* > 0.
On trouvera en donnant, dans l'expression (H), à « les valeurs — oo , — 1, «„ + d :
fi-i- 1)< 0.
Donc, l'équation /"(u) = 0, qui est du 3» d^ré, a ses trois racines réelles et comprises, l'une entre — oo et — 1, la suivante entre — 1 et «„ la dernière entre u, et -f- 1; soient — ■»„ u' et m' ces racines, u' < u'. On pourra écrire :
/■(«) = ivg A (li - U-) (u' - II) (u + «,). VA |/(„ „.) („v „) („ + „,)
w étant compris, par sa nature, entre — 1 et + 1, on voit que le produit (u — m') («' — «) devra toujours être positif; donc u oscillera entre «' et u'.
On déterminera les constantes a et 3, d'après les conditions initiales, par les formules (3) et (4) ; on pourra supposer que la valeur initiale de ç est zéro, c'est-à-dire que l'on aura pris pour axe Ox lié au corps, la position initiale de ON; on aura ainsi :
( x = A{pl + ql) — iii.gh CCS \, ( & = A.g, sin 9, — C» ces 9„.
Examen du cas où p,^0,q,^0. — Le corps est alors animé d'une rotation initiale autour de sorï axe de figure, et abandonné à lui-même. Les formules (14) ou plus simplement les formules (5) et (6) donnent :
a = — i\i.gk cos flj := — i^gh «„ 0 = — Cn CCS % = — Cn Wj.
(15) fin) = (tt - u,) \ 2A vgk (1 - «*) — Cn' (tt - »„) j.
Ici, on a :
«'=«„; »' > «' > ii„
(16) l/Jp,i,= ±— ^ ""
'A |/(« — H,) (It' — «) (M + «,)
On a, pendant tout le mouvement :
On commencera à prendre le signe + dans la formule (16) quand u augmentera de w, à u', puis le signe — quand « diminuera de «' à u„ etc. La formule (8), qui devient, dans le cas actuel :
^ ' il A (1 — a")
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256 COUBS DE MÉCANIQUE.
montre que si n est positif, ■^•. est positif et i|< croît sans cesse; le mouvement de précession est rétrograde; il serait direct, si n était négatif. (Remarquons que n est la vitesse angulaire de rotation initiale autour de OG.)
La formule (17) donne, en y remplaçant dt par sa valeur (16) :
Cn ,/ w— M, du
Le point z décrit une certaine courbe sphérique; cherchons l'équation de la projection de cette courbe sur le plan horizontal XOY; soit P la projection du point z, X et Y les coordonnées de ce point P; on aura :
X =: OP C08 POX; Y = OP sïn FOX,
0P = 8ine = k'i — «».
La droite ON, perpendiculaire sur OZ et O2, est perpendiculaire sur le plan ZOr, donc sur la droite OP; ainsi PON = 90»; donc POX = 90 — ^ et :
(19) X = l/l — M' sin 1^; Y = Kl— w" ces <J.
M est déteiminé en fonction de tji par l'équation (18); les deux équations (19) donneront donc, en fonction de -i, les coordonnées d'un point quelconque de la courbe cherchée.
Le rayon vecteur OP = Vh. — «' est toujours compris entre Kl — h" et Kl — m; .
Soit V l'angle que fait la tat^ente à cette courbe avec le rayon vecteur OP; on a :
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ou bien, en remplaçant r~ par sa valeur (18) :
pour « = «,, on a V = 0; pour M = tt', ^ = 5' La courbe rencontre donc normalement la circonférencç
riq.239
extérieure, tandis qu'elle est tangente à la circonférence intérieure.
Si nous partons du point E, où u = u„ !e rayon vecteur diminue jusqu'en F; il augmente de F en G; à partir ■ de G, il doit diminuer, tout en continuant à tourner dans le même sens; le point G est donc un point de rebroussement.
Du cas où la vitesse de rotation n est très grande. — En
se reportant à l'équation (15), on voit que u' est l'une des racines de l'équation :
2A v-gh (i — o") - C'n* (h — tij = 0, Despevrous. — Mécanique. II. 17
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iSO COURS DE MÉCANIQUE.
qui peut s'écrire :
Le coefficient „, , étant très petit, la quantité u, est
très grande, et w' diffère peu de «,; u qui doit toujours être compris enti'e u, et u', différera ti-ès peu de u„ et 6 de %; l'angle que fait l'axe du corps solide avec la verticale, sera sensiblement constant.
On peut, dans ce cas, effectuer les intégrations par approximation. Nous partirons des' formules ci-dessous, dans lesquelles on a remis *J au lieu de u :
j. , A sin 9 d9
M'eus 9 — cos 9j Kîtf.j'A Asin* 9 — C*n' (cos 9 — ces «,)
.^., d^ C« (cos 9 — cos 9,)
^ ' dt~ A siD.' 9
Nous poserons :
k sera une petite quantité, puisque n est très grand. Nous aurons :
^'* M'cos 8 — COS 9, i/ik sin' e — {cos 6 — cos 8^
Nous savons que 0 diffère très peu de 6., pendant toute la durée du mouvement; nous ferons donc :
et w sera très petit.
Nous aurons, en appliquant la formule de Taylor :
cos 6 = ces (9(, — w) — cos 9(, + w; sin 9^, en négligeant to*, 2A' sin* 9 = 2A; sin' 9,, en négligeant wit,
— sin 9 d9 = d. cos 9 =: sin 0„ dw.
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DÏSAMIQUE. 250
et la formule (23) deviendra, en y prenant le signe — , aux environs de ( = 0, puisque 0 commence à décroître :
., A dw A dw
Cn |/S Vik sin 9. — te Cm ^^^.» ^^^* g
— (tsine.
ou bien :
i sin 6, — r C« *sin9.
I /i /*sin e, — «)\' \ ~\ A- sine, } d'où, en intégrant :
Cn( k sin e„ — w
~T— =: arc cos — ; — ^— — -§- const.
A it sin Sg
On doit avoir, pour ( = 0, 6 = 0, ic = 0; la constante est nulle; on a ensuite :
d'oùj
e = 8, — 2A sine, sin' 1^'.
zA
* L n' zA
ea posant :
- 2A uflAsin ff, . ,Cn ,
La formule (21) donne ensuite :
/offi ^ — ^* tP sin e.
^*°' <i( ~ A ■ sin' 9 "
On peut remplacer sin' ô par sin' e„ car cela revient à n^liger w* dans le second membre, ce qui a déjà été fait;
remplaçant en outre w par sa valeur (24), il viendra :
en posant :
il n'y a pas de constante à ajouter, car on a bien i^ ^ 0 pour f ^ 0.
Enfin, la formule
dm . rfù
va nous donner, en y remplaçant -j: par sa valeur (i df Citsin 0, cos 9
sin' 9 ^ sin*8,' en mettant en outre pour w sa valeur (24), il viendra :
df „^Cm o . ,C , kCn
at A A A
kCn ^ C
7— COS 0, cos -7- «/,
d'où, et sans ajouter de constante, en prenant pour / = 0 :
(f = »( (i + it - cos 6, l — A cos ôj sin j ni, (28) , = «(il+'Ji^cos6.»-!i^cos6.sin£«,
\ xjtl j Lt fl A .
Les formules (25), (27) et (28) résolvent le problème, au degré d'approximation indiqué.
Négligeons d'abord 0 et T ; nous verrons que, quand le mobile a reçu une très gi'ande vitesse de rotation autour de son axe de figure, après que cette droite a été écartée de la position verticale, son équaleur conserve une inclinaison constante sur le plan horizontal XOY pendant toute la durée du mouvement; l'expression (27) de i]- montiï qu'en même temps l'intersection ON de ces deux plans prend un mouvement uniforme, très lent par rapport à la rotation du mobile (en effet ^— t est très petit devant nt) et qui est rétrograde dans le cas où nous nous sommes placés, n > 0; la \'aleur de •^ est indépendante de H^.
Le mouvement réel dilfèrera du mouvement simple cidessus, par les petites quantités 6 et T qui constituent ce que l'on appelle la nutation, tandis que le mouvement simple considéré est un mouvement de précession; en se reportant aux expressions de & et de ^', on voit que ces quantités sont d'autant plus petites que le mouvement de rotation initial est plus rapide; O et ^' sont du reste des quantités périodiques, et la durée T de la période est déterminée par l'équation :
d'où :
Celte durée est très petite.
