Problème de la toupie

Fiq %n

On demande d'étudier son mouvement.

Un corps solide pesant, homogène, de révolution autour d'une droite Iz passant par son centre ' de gravité G, a sa pointe I assujettie à se mouvoir sur un plan horizontal parfaitement poli MN.

Les forces qui agissent sur le corps sont : le poids GP = i*g du corps, appliqué au point G, et la réaction normale IQ ^ Q du plan, laquelle est verticale.

Prenons trois axes rectangulaires fixes, OÇ, 0»), OC, l'origine 0 étant dans le plan MN, et l'axe Oï étant vertical et dirigé vers le haut; soient, relativement à ces axes, Ç, r„ Ç les coordonnées du point G.' On aura, par le principe du mouvement du centre de gravité :

d'où, en désignant par a, p, x, fi' quatre constantes arbitraires :

Les équations (1) montrent que le point H, projection du point G sur le plan fixe, est animé d'un mouvement recliligne et uniforme. L'équation (2) fera connaître la réaction normale du plan, loreque ; sera connu en fonction de (.

Cherchons le mouvement relatif du corps autour du pointG : G; est un axe principal d'inertie pour le point G; deux axes quelconques Gx et Gy formant avec lui un système rectangulaire seront aussi des axes principaux d'inertie. Les moments d'inertie qui répondent à Gx et Gy seront égaux entre eux; soient A leur valeur et C le moment d'inertie relatif à G:.

La troisième équation d'Euler, celle qui correspond à Gz, est en général :

(3) C^ + (B-A)pî = N,

N désignant la somme des moments des forces extérieures

par rapport à Gs; or, les deux forces extérieures GP et IQ rencontrent G-; leurs moments sont nuls; donc :

N = 0; on a du reste :

et réquation (3) donne ;

d'où, en désignant par n une constante : (4) . r = n.

Appliquons le théorème des forces vives.

Soit V la vitesse du point G ; la force vive T du corps sera :

+ A (p* + î') + Cn', ou, en remplaçant 5 et jj par leurs valeurs (i) :

T = n («' + p* + f^ + A Cp» + q*) + C«».

Soient p, et q, les valeurs de p et g à l'époque initiale (, ; la variation de la force vive, pendant le temps t — t„ sera :

Cherchons les travaux des forces extérieures pendant le même temps; ie travail de la réaction normale Q est nul; celui du poids est y.g (î, — C) ; on aura donc :

ou bien :

'"' "[(*()'- Ci)'.] -"- " *''■ +i'-i'-- is =«!'!' «. - »■

Nous supposerons qu'à l'époque t„ le centre de gravité du corps a été maintenu immobile, et qu'on s'est borné à imprimer au corps un mouvement de rotation autour de G i ; n sera la vitesse angulaire de ce mouvement, et nous aurons :

Ci-'

les équations (1) et (5) donneront :

(6) i* ^ + ^ fP* + ?*) = 2i.j «, - 0-

Le point H restera fixe pendant tout le mouvement, et le point G ne quittera pas la verticale HZ. Posons :

ZG2=9; soit 6, la valeur initiale de 6, nous alirons :

(7) ï = i cos 6, et l'équation (6) donnera :

+ 5') = 2|j.jI(cos6j — cosfl).

Appliquons maintenant le .théorème des moments des quantités de mouvement, dans le mouvement relatif, à l'axe GZ de direction invariable.

Les deux forces extérieures IQ et GP étant parallèles à GZ, leurs moments par rapport à cet axe sont nuls; donc, dans le mouvement relatif, la" somme des moments des quantités de mouvement de tous les points du corps par rapport à GZ est constante; or, cette somme a pour

Ap cos (x,Z) + Bg cos (y,Z) + Cr cos (2,Z)

= Ap (— sin î sin 8) -H Aq (— cos ? sîn 0) + Cn cos 0.

Nous aurons donc :

— A sin ft (p sin ç + 9 cos ç) + Gb cos 6 =: coostanle.

p, et g, étant nuls, la consteuite est égale à Cn cos 6,; donc ;

(9) A sin 6 (p sin ç + 9 cos ?) = Cn (cos 6 — cos 6,).

Or, on a :

p sin ç + î cos 9 = sin «

d'où :

et les équations (8)- et (9) peuvent s'écrire :

(a) A (-j-j + sin' ^-^) + i*/'sin*6 t^ =2iA5'((cosfli, — cosfi);

(ft) A sin' 6 -TT = Cn (cos 8 — cos %).

Ces deux équations donneront 6 et i]- en fonction de t; la première montre que l'on a :

cos 6o — cos 6 > 0, e>6,.

Ainsi, l'angle 6 ne sera jamais inférieur à 6,; si l'on suppose n > 0, l'équation (6) donne :

donc 4" ii^ ^ang cesse en diminuant.

dé En éliminant -rj enti-e (o) et (b), on trouve ;

, Ka + ur sin' 0 sin 6 (ï( (a ) fl ( =- ^

l/(cos8o— cose) t'^gls'in'd ^(cos 0,, — cos«)

on aura ensuite :

di]i — Ctt (cos % — cos 0)

(tt~ A sin' e

A l'origine du mouvement, 6 est égal à e,; on a vu que 6 n'est jamais inférieur à %; donc 6 commence & croître, et dans la formule (a'), on doit commencer par prendre le s^ne +. Posons :

cos e = u = ^; nous aurons :

y(«^- ») [îfji (1 - »■) - ? - (», - ») j w t = i»,

la formule (c) donne t en fonction de u par une intégrale ultra-elliptique.

Discussion. — Posons :

/■(») = ÎMl(l-«')-^ (».-«)

nous trouverons :

Pour « = - 1, f{it) = ~^ a+ ».)

" = ".. /■(«) = 2i»jl(l-«;)

u = +l, ^(„) = + ÇA(1„.)

11 = + 00, Ab)<0.

Donc, l'écpialion /"(«) ^ 0 a ses deux racines réelles u' et u' :

On pourra écrire :

/■(ij)=-2liSl{«-w')(«-tt'), et la formule (c) deviendra :

rf( = -

Le radical du dénominateur doit être réel; w' étant > 1, u' — u sera toujours positif; on a vu que «, — u est toujours positif; on devra donc avoir constamment :

d'où :

Soit e' la valeur de e correspondante à «' ; on aura :

0 oscille donc entre 0, et Ô',

tloarbe décrite par la pointe de la toupie. — Soit p = HI, et u l'angle que fait la droite HI avec l'intersection du plan MN etduplanZGY(GX, GY étant les deux axes fixes qui avec GZ forment un système rectangulaire); p et (i) seront les coordon-

Fig. 243 nées polaires du point I, H étant le pôlt

Construisons une figure sphërique, sur une sphère de rayon 1, ayant le point G pour centre; nous aurons :

6; iZY-«,

Or, A est le pôle du grand cercle Zz;

X est le pôle du grand cercle Z Y ; donc :

On a d'ailleurs, dans le triangle rectangle IHG : p = ;sine = /Kl — m',

donc p sera compris entre l sin e, et l sin 6'.

Ainsi, la courbe considérée sera comprise entre deux circonférences ayant pour centre le point H, et pour rayons :

HB = Isine,; HB' =/sine'.

Soit E l'angle que fait avec 1q rayon vecteur la taisante à la courbe, en un point quelconque; on aura :

tge:

- dp '

I Kl - «

d.iyi~u

d^ i— u'dï

formule dans laquelle on remplacera -jz par sa valeur tirée

d^ de (C), et -37 par sa valeur

Cw (», — «) " A (!-«•)

DÏNAMIQUE.

conclue de (&'); on trouvera ainsi :

■ __C»|/A ±f» Km, — Il

On en conclut :

pour u = «,,

Donc, la courbe est normale à la circonférence HB, aux points où elle la rencontre, tandis qu'elle est tangente à la circonférence HB'; la courbe a donc la forme indiquée par la Qgure 244.

Despeïbous. — Uécaniq'ue. II.