CHAPITRE VI

FORCES INSTAMTAlftES. — SDR LSS FSHCUSSIONS ET LE CHOC DES CORPS.

56. On comprend que, plus une force est grande, plus le temps nécessaire pour que cette force imprime une vitesse donnée à un point matériel sera petit. Les forces qui impriment des vitesses finies dans des temps très courts, produisent des déplacements très petits, car le déplacement est ^al au produit de la vitesse, qui est finie, par le temps, qui est très petit. On nomme ces forces percussions, ou forces instantanées. Nous allons voir comment on les mesure.

Considérons une pareille force sollicitant un point matériel suivant Ox; supposons le point en repos pour t:=0, et la force agissant sur lui pendant le temps très court -c; nous aurons :

»^ = mp= f\dt.

at Jo

Donc, pour avoir la vitesse que possède le point matériel au temps t, il n'est pas nécessaire de connaître la variation de la fbrce X pendant ce temps, mais seulement Tintégrale :

Xrfï = X.,

Digitizeû by ^lOOQ IC

Si la force X est supposée coDStante, on aura :

Si la force X varie pendant le temps t, on communiquera au point matériel la même vitesse, en faisant a^ sur lui

pendant le temps t une force constante et égale à —' ■

On prend pour mesure de la percussion, la quantité X, = / X dt=:mv; donc, pour mesurer la percussion, on fera agir les forces instantanées sur un même point matériel partant du repos, pendant un temps très court, mais qui restera toujours le même, et on mesurera la quantité de mouvement communiquée au point matériel; on prendra le temps t assez petit pour que le déplacement soit insensible, la vitesse communiquée étant cependant fmie.

Supposons maintenant que, au moment où la force instantanée agit sur le point matériel, ce point ait déjà une certaine vitesse dirigée suivant Oa;; nous aurons en intégrant l'équation (1), désignant par v, la vitesse du point matériel à l'époque t„ où la force instantanée commence d'agir, par v sa vitesse au temps (, + x où elle cesse :

X(lf=:X,.

Donc : la percussion se mesure par l'ai/^mentation de la quantité de mouvement du point matériel.

Pour donner une percussion, on donne la direction de ta force, et la quantité de mouvement P, = m,v, que cette percussion agissant pendant le temps t imprimerait à un point matériel de masse m^ partant du repos. Si cette force agissait pendant le même temps t suï* un point matériel de masse m„ elle lui communiquerait une quantité de mouvement m.v. ~ m.v, = P..

Digitizcû by LiOOQ IC

57. Effet d'une percnssion P, sur nn point matériel animé d'ane vitCBBe v, ayant nne direction différente de celle de la force instantanée. — Ma est la vitesse v, en grandeur et en direction, MP, la percussion en grandeur et

p en direction; prenons MA, = — ; la percussion communiquerait au point m partant du repos ia vitesse MA,; ce point a déjà la vitesse MA = V,; la vitesse résultante sera MB.

Soit MD — mv, la quantité de mouvement du point M avant la percussion; la quantité de mouvement après la percussion sera MC, résultante de P, et de mv,.

■ S'il y a deux ou plusieurs percussions, on les composera avec mv, par la règle du polygone des vitesses.

Lorsqu'une ou plusieurs forces agissent sur un point matériel soumis à l'instant t, à une percussion agissant pentlant le temps •:, on n'a pas à s'occuper des forces ordinaires pendant le temps t. On s'en sera occupé avant, ce qui aura permis de déterminer la vitesse à l'époque l„ et par suite la quantité de mouvement correspondante MD; la méthode que nous venons d'indiquer fera connaître la vitesse et la quantité de mouvement du point M à l'époque tt -t- T. En résumé, sur un point matériel donné, des percussions quelconques surgissant à l'époque t ne changent pas sa position^ mais sa vitesse, en grandeur et en direction, il y aura un changement des trois constantes dans les formules qui représenteront le mouvement du point matériel à partir de t = t,.

Fig.245

58. Extension des théorèmes généraux anz percussions. — Considérons un système de points matériels en mouvement; faisons agir à un moment donné t„ des percussions sur ces divers points, pendant le temps -.; nous aurons :

d'où, en multipliant par dt et intégrant pendant la durée très courte de la percussion :

Les forces ordinaires disparaissent de cette équation, car,

pour de telles forces, l'intégrale i X d( est très petite;

il n'en est pas de même des forces instantanées, et l'on a :

dx /dx\

^"'ï-^»fê) = ^2''"

ce que l'on peut écrire, en désignant par x„ y„ r, les coordonnées du centre de gravité, et par M la masse du système :

Donc : le changement de vitesse produit par les perctissions sur le centre de gravité du système est le même que si toute la masse y était concentrée, et si toutes les percussions extérieures y étaient transportées parallèlement à elles-mêmes.

Remarque. — On peut écrire l'équation (a) et les deux

autres pareilles comme il suit :

Extension des équations des moments. — On a relativement à un axe lixe quelconque l'équation :

on en conclut, en multipliant par dt, et intégrant de ( ^= f, à ( = f , 4- T :

^ { dy Ax\ „ / dy dx\

on regarde les déplacements des divers points comme insensibles, pendant la durée de la percussion ; donc :

AjtY — yX) dt = x Çydl — y fx dt.

Pour les forces ordinaires, les intégrales IX dt et jYdt

seront insensibles ; pour les forces instantanées, il p'en sera pas de même; on aura :

Çxdt = X,; fYdt = Y„

Donc : l'accroissemera de la somme des moments des quantités de mouvement, par rapport à un axe fixe, est égale d la somme des moments des percussions par rapport au même axe.

L'équation ci-dessus et les deux autres pareilles peuvent s'écrire :

59. HoQvement d'an corps solide autour d'un axe fixe, soumis à des percnssions et calcul des percussions exercées snr l'axe. — Prenons l'axe de rotation pour axe des z; soit u, la vitesse de rotation à l'époque t où les forces instantanées viennent à agir; on peut obtenir la fixité de l'axe en fixant deux points 0 et 0' de cet axe, situés à une distance donnée, 00' ;= h. On introduira les réactions de ces points, et le corps poun^a être considéré comme libre; lorsque les forces instantanées viendront à agir, des pressions instantanées s'exerceront sur 0 et 0'; nous introduirons des réactions égales et contraires aux percussions correspondantes. Soient A, B, C les composantes de cette percussion pour le point 0, A', B', G' pour le point 0'. En appliquant les équations du numéro précédent, nous aurons :

i2»,$f=2ï, + BH

iï»i^ = sz, +C + C'.

X„ Y„ Zi désignent les composantes de la percussion qui agit sur le point œ, y, z; les S des premiers membres s'étendent à tous les points du corps; ceux des seconds membres, seulement aux points où sont appliquées des percussions.

Les premiers membres peuvent être simplifiés par l'emploi des coordonnées polaires. Par un point quelconque du corps, posons :

a; = r cos fl, y = r sin «, on aura :

X>DS.. U=jj,

ilj II' ^

Soient M la masse du corps, x„ y„ z^ les coordonnées de son centre de gravité; on trouvera :

'dt-

- u Zmy =

at i al

^ I ix ds\ , \ ., I àx is\ „ >.

■"\'Tt-'di)=-'^'^'- ] ""■(' ï7-''Jij=-'^°""l''"'

On trouvera donc, au lieu des équations (1), les suivantes :

(Smr^Aii =JC»T, — jX,),

— »A' = Z (iX,— ajZ,) + pmyj) iu, I + *B' = 2 (jZ, — lY,) + (2I»»J) 1»,