B + B' = — SY, + Ma!,4ù
\ A + A'= — SX, — My, A».
Ces équations font connaître A', B', A, B et la somme C+C.
Supposons qu'il n'y ait de percussion qu'en un point du corps, faisons passer le plan des xy par ce point dont les coordonnées seront :
les équations (2) deviendront :
; (2mr^ 4« = «Y, — px„ I — AA' = — aZ, + (2myz) iù), ) + *B'= pZ, + (S,«»2)Ao,, j B + B'=-Y, + Ma>, i», f A + A' = - X, — Mj, Au, C + C = — Z,.
La vitesse angulaire sera augmentée de Au ^ ,
après la percussion.
Conditions ponr cpie l'axe n'épronve ancone percussion.
— Il faut faire dans les formules précédentes :
on tro
JVC ainsi :
Zmyz = 0,
Z, = 0, X, + My,4« = 0 Y, — Mi,4<« = 0
On voit d'abord que la percussion doit agir dans un plan perpendiculaire à l'axe; ensuite, que Oz doit être l'un des axes principaux d'inertie relatifs au point 0. Pour interpréter les deux dernières des équations (4), faisons passer le plan des zx par le centre de gravité G du corps-, nous aurons :
X, = 0; avec cette valeur de X„ l'expressioii ci-dessus de ùu devient :
2mr*
(6) Y, = Mï, i».
X, = 0, montre que la percussion doit être perpendiculaire au plan zOG, mené par l'axe de rotation et le centre de gravité G du corps; en reportant dans (6) la valeur de Aw tirée de (5), on trouve :
Digitizcil by ^lOOQ IC
(7) ax, = ^-j^ •
Soit MK* le moment d'inertie du corps relativement à ime parallèle à l'axe de rotation menée par le centre de gravité; on aura :
2mr* = Maîî + MK', et la formule (7) donnera : *
En résumé, on a les trois conditions suivantes, pour que l'axe n'éprouve pas de percussion :
i° La direction de la permssion doit être perpendiculaire au plan qui passe par l'axe fixe, et par le centre de gravité du corps.
2« Cet aoce doit être un des axes principaux pour le point oà il rencontre le plan quv lui est' perpendiculaire, et gui contient la force iyistantanée.
3o La distance de cette force à l'axe doit être liée d la distance du centre de gravité à cet axe par la formule :
dX, = iffir*. ou a=: X. -t I
ir, Snir* désignant le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe fixe, et M K' le moment par rapport à une parallèle à l'axe fixe mené par le centre de gravité.
On appelle centre de percussion le point auquel la force instantanée doit être appliquée dans le plan zOG, pour que Taxe n'éprouve aucune percussion; on voit que, si l'on suppose le corps pesant, et qu'on le suspende à l'axe Or lïndu horizontal, le point 0 sera le centre de suspension, et le centre de percussion coïncidera avec le centre d'oscillation.
Si l'axe fixe passe par le centre de gravité, il éprouvera toujours une percussion; car les formules :
K* Y,=MiC.i<i, a. = x, + -^
nous donnent, dans le cas actuel, où a;, = 0 :
La percussion qui frappe le corps devrait donc être nulle, et le centre de percussion serait à l'infini.
Réciproquement. — Si le corps est en mouvement autour de l'axe et a une vitesse angulaire w, on pourra l'arrêter brusquement, sans qu'il en résulte aucune percussion contre l'axe, en appliquant au centre de percussion une force instantanée égale à Mwa;,, perpendiculaire au plan mené par ce centre de percussion et l'axe fixe.
Dans l'industrie du fer, on emploie des marteaux qu'une roue à cames, animée d'une grande vitesse, soulève, et qui retombent ensuite librement sur l'enclume; le marteau peut tourner autour d'un axe fixe ; l'action de la came sur le marteau peut être assimilée à une percussion ; le point où le maiteau subit le choc de la came doit être le centre de percussion, afin que l'axe fixe autour duquel tourne le mai'teau, n'ait pas à subir des percussions qui ne tarderaient pas à mettre l'appareil hors de service.
Remarque. — Trouver les co^iâitions pour que tous hs points de l'axe sauf un n'éprouvent aucune percussion. — Reprenons les équations générales :
■Smr'iu =*Y. -gX., i — AA'=yX, — aZ| + (Sfflys) Aw,
,f^. \ +AB'=gZ, -lY.+Oùmxz)!^,
, Ch-C— -Z,.
r B + B' — — Y.+ Ma;. Au.
A + A' = -X,— My, Au,
OÙ nous n'avons fait aucune hypothèse sur les positions des plans xOy et xOz. Nous voulons que l'on ait :
Remarquons que si cela a lieu pour un point, cela aura lieu pour tous les points de Oz, sauf pour le point 0. Les trois premières des équations ci-dessus donnent :
pZ, — •fY,= — (2maîz)A», , fX, — aZ, = — i'S.myz) iu, «Y, — pX,= + 2m {x' -t- y*) iu.
L'équation de l'ellipsoïde central du point 0 est :
P(§,n.0=S'2m{y' + z') + »)*2m(3* + «') + C* Sm (a:* + y*) — 2i)i; Zmyz — 2i;= Imzx — ÎÇij Smaiy — 1=0,
Le plan diamétral coijugué P, de l'axe Oz a
pour
équation :
ou bien:
^ 2m (ai' + y') — T, Smys — l ^mx: = 0.
ou :
(i) o5 + fi»i + c; := 0,
en faisant :
On. déduit des équations (c) :
gZ, -yY, vX, — aZ, dY, -gX, (*) â =^ -— ^
Telles sont les deux conditions cherchées; on peut les rem-
-6g + Cy z=0,
-6Y.+ cZ,= 0.
placer par les deux suivantes :
(/) exprime que le point d'application de la percussion est dans le plan (P) ; (g) que ce plan est parallèle à la percussion ; donc, en somme, les conditions cherchées sont que la percussion doit être contenue dans le plan diamétral conjugué de l'axe de rotation, relativement à l'ellipsoïde centrai du point O.
L'origine de ce théorème est que si le corps a un pcoot fixe O, et s'il est soumis à une percussion AP, il tournera d'abord, comme on le verra plus loin, n? 61, après la percussion, autour du diamètre conjugué du plan AOP, relativement à l'ellipsoïde central du point 0.
60. Centra de percnssion d'une surface plane. — Considérons une surface plane S assujettie d tourner autour d'un axe fixe Or, situé dans son plan; la surface est d'abord immobile; on demande en quel point de la surface doit frapper une percussion, pour que l'axe n'éprouve aucune percussion. Ce point porte le nom de centre de percv^ion de la surface.
Prenons le plan de la surface S pour plan des xz ; fixons deux points O et 0' de l'axe; introduisons les réactions instantanées de ces deux points ; ou plutôt les percus- , A', B', G' en 0');
fig 246
sions correspondantes (A, B, C en 0,
nous aurons :
i2m^=X,+ A+ A', al
En représentant les composantes de la percussion par X„ Y„ Z,, et les coordonnées de son point d'application par a, 0, y; on aura du reste :
Après le choc, la surface tourne autour de Oz avec une vitesse angulaire w; les vitesses de tous les points sont parallèles à Oy, et l'on a :
dt'
di
ux;
dz dl'
Par conséquent :
.x»lf.
, iSl
" di
mx;
iî«
"dr-
/ dz dy\
.„ / rfjT di\
.„ / dy dx\ „ ,
'"-"{' di-" ml = "^""'-
En substituant dans (1), et faisant :
A = B = C = A' = B' = C = 0, il vient :
X, =0; ù.2t«a: = Y,; Z, =0, — w Sm«2= — -fY,; b) Zmai* = a Y,.
La percussion doit donc être parallèle à Oy, et on aura pour son poiiit d'application :
La vitesse angulaire de la rotation sera : Y.
