Pendnle balistique. — Le pendule balistique est
destiné à mesurer la vitesse d'un boulet à sa sortie du canon. Il se compose d'un mortier en fonte fixé à un cadre
de suspension en fer, lequel peut osciller librement autour d'un axe hoiizontal 0. Le mortier renferme une matière compressible dont la fonction est de recevoir la vitesse du projectile et de l'amortir, sans que la rupture de l'appareil puisse avoir lieu; cette matière compressible est générale ment de la terre ou du sable; on tire à bout portant; après le choc, le pendule s'élève d'une quantité que l'on mesure; il s'agit d'en déduire la vitesse du boulet.
Nous pouvons concevoir que les choses se passent do la manière suivante; au commencement du choc, le pendule est en repos, le boulet aussi en C ; brusquement, on imprime à tous les points du boulet des vitesses égales à V, et parallèles à l'horizontale Oy; alors, l'ensemble du pendule et du boulet prend un mouvement de rotation autour de l'axe horizontal Oz de suspension; nous aurons, en désignant par T la durée très couile du choc ;
ou bien, en remarquant que :
X^O et [^Ydt = Y„ en désignant par Y, la percussion appliquée au point x, y
Soit rf[«. l'élément de masse du boulet; on aura :
Y, = Ydv.
(2) SaîY. = SVa: ((ji = VSa; d^. = Vu/,
en posant OC = f, et désignant par (i la masse du boulet. . En représentant par u la vitesse angulaire, après le choc, du mouvement de rotation de l'ensemble du pendule et du
DespkïROI's. —Mécanique. II. Itt
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boulet, par Smr' le moment d'inertie de cet ensemble par rapport à l'axe de rotation Oz, on a :
(1) devient, en ayant égard à (2) et (3) :
(d 2mr» = Vu/; d'où :
(4) \ = -^mr\
On connaîtra donc V, si l'on détermine m, Xmr* et f; f se mesure aisément.
Détermination de w. — Soit l la longueur du pendule simple synchrone au pendule composé, y compris le boulet; soit OM, = l; prenons un point pesant M„ relié au point 0 par une lige sans masse OM,; la vitesse initiale v, du point M, sera:
v, = iùl;
, le point matériel va décrire l'arc de cercle M,M; Fig 246 soit v la vitesse de ce point quand il sera en M, on aura :
0» - «• = 2ff X M,H, bien :
V* — vl = — ^gl (1 — cos 6),
le pendule s'élèvera jusqu'à ce que l'on ait v ^ 0; soit x la valeur correspondante de 6; on aura donc :
0=:u'J* — 45'/sin':
On mesure l'angle a sur le cercle gradué EF, le long duquel se meut un cureeur que l'aiguille E pousse devant elle, aussi longtemps qu'elle monte.
li faut donc déterminer l; pour cela, on fait osciller tout l'appareil, pendule et boulet, et on détermine la durée T des petites oscillations; on a ensuite :
'-'Vl
d'où :
II faut encore calculer Smr"; soient a la distance du centre de gravité du système à l'axe Oz, M la masse du système; on a :
__ Zmr* Mo ' d'où :
(7) 2mr' = Moi.
En tenant compte de (5), (6) et (7), (4) donne :
On peut encore écrire, en désignant par P le poids du pendule balistique, augmenté de celui du boulet et par p celui du boulet :
et tout est connu dans le second membre de cette formule. L'appareU est construit de façon que le point C soit le
centre de percussion; autrement, l'appareil serait rapidement mis hors' d'usage.
62. Effet d'nn nombre quelconque de percussions sur un corps solide fixé en un de ses points 0. ~ Soient, au moment où les percussions viennent à ^ir, Ox, Oy, 0: les positions des axes principaux d'inertie du point 0 ; nous savons que l'accroissement de la somme des moments des quantités de mouvement des divei's points du cofps, relativement à un axe fixe quelconque, est égal à la somme des moments des percussions par rapport à cet axe; or, les sommes des moments des quantités de mouvement relativement à Ox, Oy, Oz sont égales respectivement à Ap, Bq, Cr; si donc on désigne par L, M, N les sommes des moments des percussions par rapport à ces mêmes axes principaux, on aura :
kip = L; BAî = M; Cir — N.
Et, si p„ q„ r, désignent les valeurs de p, q, r avant les percussions ; j),, q„ r, ces valeurs après, on aura : L M N
Les valeurs des angles ç, >|i, 8 sont les mêmes avant et après les percussions :
En traitant les percussions comme des forces, et les transportant parallèlement à elles-mêmes au point O, chaque percussion donnera une force et un couple; tous ces couples se composeront en un seul, le couple de per^ cussion; les projections sur les axes de cooi-données de l'axe de ce couple seront respectivement L, M, N; le couple des percussions aura pour équation :
(I) l.x 4 Mjf H-N:;— 0.
DYA-AMIQUE. 293
Considérons le cas où le corps est en repos avant les pei> eussions; on aura:
Le corps va donc commencer à tourner autour d'une certaine droite OH, et on aura :
m cos(H03:) __ cos (HO y) cas (HO;)
Considérons le diamètre conjugué du plan (1) relativement à l'ellipsoïde central du.point 0 ;
(3) Aj;' + By' + Ci' — i.
Soient a, g, y les cosinus des angles qu'il forme avec les axes; l'équation du pian (1) pourra aussi s'écrire :
m écrivant que (1) et (4) sont identiques, il vient :
trifftï
en comparant ces équations aux équations (2), on en conclut :
cos(HOa;) = a; cos(HOy) = P; cos(HO;) = v.
Donc : le corps commence d tourner autour du diamètre conjugué du playi du couple des percussions, relativement à l'ellipsoïde central du point {ùve.
Choc des oorpi iphériqnos.
63. Nous considérerons deux sphères homogènes animées de mouvements ' de translation rectilignes et uni-^
formes, suivant la droite Ox qui joint leurs centres; soient V la vitesse de la sphère M, v' celle de M' avant le choc; supposons ces vitesses de même sens pour fixer les idées, et V > «'; il y aura évidemment un choc, et il est clair qu'après le choc, les mouvements des deux sphères seront encore des mouvements (ïe translation rectilignes et uniformes, suivant ia droite Oa: ; il s'agit seulement de déterminer les nouvelles vitesses.
Nous désignerons les masses des deux sphères par m et m'; pendant le choc, les parties de M' exercent des actions sur les parties de M, avec lesquelles elles sont en contact; transportons toutes ces forces parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité du corps M déformé, centre de gi-avité qui ne coïncidera plus avec le centre de figure; la résultante de toutes ces forces transportées sera
Fig 249
dirigée suivant xO; désignons son intensité par — R, et soit à l'instant considéré x l'abscisse du centre de gravité de M; nous aurons, en vertu du principe du mouvement du centre de giavité :
Faisons de même pour le corps M' ; ù cause de l'égalité de l'action .et de la réaction, la résultante des forces transportées au centre de gravité de M' sera évidemment -f R, et nous aurons :
uïnamiquë:.
On déduit des équations ci-dessus :
•di^"' dt'
Les équations (A) et (4) ont Heu à un instant quelconque du choc; elles avaient lieu avant le choc, puisqu'il n'y avait pas de forces extérieures. La constante a pour expression mv + m'v' ; on a donc, avant et pendant le choc :
„ dot ,dx' , ,
(5) m-^^ + m'-^=mv + mv'.
Ainsi, la somme des quantités de mouvement n'est pas altérée par le choc; pour aller plus loin, il nous faut maintenant considérer deux cas :
i' Les corps sont entièrement dépourvus d'élasticité.
Tant que la vitesse de M sera supérieure à celle de M', les deux corps se comprimeront; ils cesseront de se comprimer, lorsque les deux vitesses seront égales; alors, les corps resteront dans l'état où ils se trouvent à ce moment; n'étant pas du tout élastiques, ils ne tendront pas à reprendi-e leurs formes primitives; à partir de ce moment, la quantité R sera nulle constamment, on aura donc :
d'où, en dés^ant par u la vitesse commune : dx dx"
dx daf et ^) donnera, avec ces valeurs ^^ji^^~Ji'-
^6 COUHS DE MÉCANIQUE.
Si y > 0, «' > 0, on aura te > 0.
Si V et v' sont de signes contraires, il en sera de même des quantités de mouvement mv et m'v' ; u aura le s^e de la plus grande quantité de mouvement; si on a :
/ m'v' = — mv,
on aura « = 0, le choc réduira les deux coi-ps au repos. 2° Les corps sont parfaitement élastiques. On déduit des équations (1) et (2) :
„ dxtPx im,' dx' d*x' „„ , . , im^r-i 1 i-, ■ =2R(dj:' —dx),
en posant :
Donc on a :
dx* da;" C
df dC J
L'intégrale commence avec le choc; à ce moment on a :
G = mv* + m' v'*, donc :
*'^ '" d? "^ *"' It* — ""'' + ^'^''* + ^(^^*'>
r est la distance des centres de gravité des deux corps.
Pendant la première paitie du choc, les corps se compriment, r diminue, 2/ Rdr est négatif, on a :
™ dr
Cela continue jusqu'au moment où les vitesses sont
^ales, les corps cessant alors de se comprimer; mais comme nous les supposons élastiques, ils vont tendre à reprendre leurs formes primitives; M va pousser M' dans le sens Ox, M' poussera M dans le sens a:0; r va augmenter; si pour des valeurs de r équidistantes du minimum R reprend les niêmes valeurs, si les deux phases du choc sont identiques, on dit que les corps sont parfaitement
élastiques; l'int^ale 2|Rdr, .prise depuis le commencement du choc, jusqu'au moment où les corps vont se séparer, sera nulle; soient donc V et V les vitesses des deux sphères après le choc, on aura :
(8) mV -t- m' Y" = mv* + m'c".
On sait du reste qu'on doit avoir :
(9) mW + m'W =mv -¥-m'v'.
Les équations (8) et (9) détermineront V et V ; on peut les écrire :
On en tire donc :
La vitesse relative était avant le choc v — v'; elle est après le choc V — V ; l'équation (-10) montre que ces vitesses relatives sont égales et de signes contraires; ainsi, la vitesse relative avec laquelle le centre de gravité de M s'éloigne de celui de M' après le choc, est égale à celle avec laquelle il s'en "rapprochait avant le choc. Les équations (9) et (10) donnent du reste :
y ^ (m -■.■)- + im' V ^ ^, ^ ^--«' m ■*- m m 4- m
Cas particuliers, — l*» mw + m'v' = 0.
En remplaçant dans (H) m'v' par — mv, on trouve :
on aurait de même :
Ainsi : la vitesse de M prend, après le choc, une valeur égale et de signe contraire à celle d'avant le choc; de même pour M'.
(11) et (12) donnent :
Ainsi : quand les deux sphères ont des masses égales, si l'une d'elles est en repos, Vautre lui transmettra sa vitesse après le choc et restera immobile. -C'est l'expérience que l'on fait dans les cabinets de physique avec des billes d'ivoire suspendues.
Théorème de Carnot. — Dans le cas des corps mous, en se reportant à la formule (7), on voit que l'intégrale 2 1 Rdr, ayant tous ses éléments négatifs, est négative; donc; après le choc, on doit avoir :
dx* , dx'* , , ,.
af af
ou bien :
(m + m') u* < me* + m'v'*.
Il y a donc eu perte de force vive; c'est ce qu'il est facile de vérifier; on a en effet :
mv* + »j' p ' — (m + m ) h' = mv* + m' v* ~
Cette différence est bien positive. On peut lui donner une autre forme; on peut écrire en eiîet ;
mr' + m' »'* — {m -¥ m') «' = m (V — m)' + m' (« — V')'.
On peut donc dire que : La force vive perdue pendant le choc de corps entièrement mous est égale à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues ou gagnées. C'est le théorème de Cai-not.
