CHAPITRE VII
PRINCIPE DES VITESSES VniTIIELLES.
64. Nous nous proposons de chercher les conditions d'équilibre d'un système de pointa matériels unis entre eux d'une manière quelconque et sollicités par des forces données quelconques.
Définition de la vitesse virtuelle. — Supposons le système transporté d'une position à une position infiniment voisine, compatible avec les conditions de liaison imposées au système* un point M du système viendra en m, un point M' en m' ... ; on appelle vitesse virtuelle de l'un quelconque des pmnts M, la droite Mm, ou le déplacement infiniment petit du point considéré. Le mot virtuel veut dire que le déplacement est seulement possible, mais qu'il n'a pas réellement lieu, et l'on n'a pas à considérer les forces qui le produiraient.
Définition du moment virtuel. — Soient P, P' ... des forces appliquées aux points M, M' ...; projetons la vitesse virtuelle Mm sur la force P; le produit P X »h« est le moment virtuel de la force P. On voit qu'il est égal au produit de la force par îa projection du déplacement sur la direction de la force.
On donne à ce moment le signe + quand la projection
est dirigée dans le sens de la force, le signe — quand elle est dirigée suivant son prolongement.
, p Le moment virtuel est nul
quand la force est perpendiculaire au déplacement.
On voit que le moment virtuel de la force P est ^al au Fiq. 250 w<^' "'m, travail élémentaire de la force P, quand le déplacement virtuel Mm coïncide avec le déplacement réel.
Le moment virtuel est susceptible d'une autre expression; soit mMP = (|p, Mï» = 8s, on a :
Mn = 5« cos i>,
et le moment virtuel est égal dans tous les cas à :
P îï cos i = 3« X P cos «,
c'est à dire au produit de la vitesse virtuelle par la composante de la force suivant la direction de cette vitesse.
Soient X, Y, Z les composantes de la force P suivant trois axes rectangulaires, ôx, 3y, Iz les projections de la vitesse virtuelle sur ces trois axes; les cosinus des angles de MP avec les axes sont :
les cosinus des angles de Min avec ces mêmes axes sont :
3a; îy Sz
Oïl en conclut :
XÎJT \ly llz *^°* ■ ~P3Ï'^ P Si '"■pî^" P>» cos if = \ir -i- YÎJ + Zîz.
Donc, le moment virtuel de la force P expressions :
P (!* cos «), i$ (P cos -i), XS3Î + Y8y h
65. Moment vfrtnel de la résultante de plusieurs forces appliquées à un même point matériel. — Soient les deux forces P et Q appliquées au point M, R leur résultante; on a :
Moment virtuel de P = Mm X Proj. P sur Mm,
— Q = Mm X Proj. Q sur Mm,
— R = Mm X Proj. «sur Mm; or :
proj. de R = proj. de P + proj. de Q, donc :
mom. virtuel de R = mom. virtuel de P + mom. virlael de Q.
^ Le tliéorême s'étend de lui-même à un nombre quelconque de forces.
Donc, le moment virtuel de la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point matériel est égal à la somme algébrique des moments virtuels fies composantes.
. 66. Théorème. — Si Von applique
9' aux extrémités d'une droite rigide et
inflexible AB detix forces égales et contraires dirigées suivant cette droite, leurs moments virtuels seront égaux et de signes contraires.
Soient en effet les deux forces AP et BQ, AP = 13Q, Art et B6 les vitesses virtuelles des points A et B; on a ab = AB;
moment virtuel de AP = — P x Aa', — deBQ = + P X Bb';
DÏNAUIQUE. 30ÎÎ
or la droite ab faisant avecAB un angle infiniment petit
du premier ordre, on a a'b' = ab, en négligeant les iniini-
ment petits du
second ordre; ou
bien :
a'6' = AB, , d'où :
Ao'=Bfr'.
Donc, etc.
67. Équations exprimant les liaisons. — Considérons un système de points matériels M(x, y, z), M' (a;', y', z') ..., un certain nombre de points pourront être assujettis à rester sur des courbes ou des surfaces données; les distances de certains points du système pourront être invariables, ou avoir entre elles des relations données.
D'une manière générale, on aura un certain nombre d'équations entre les coordonnées des points :
t nx,y,z,af.y',s- ... ) = 0, (*) \ 'i{x,y,z,x',y',z' ...) = Q,
Soit j) le nombre des points qui forment le système; les équations (1) seront au plus au nombre de 3p — 4 ; lorsqu'il en est ainsi, le système est dit d /taisons complètes; s'il y a inoins de 3p — 1 équations, le système est dit à liaisona incomplètes.
Dans un système à liaisons complètes, toutes les coordonnées peuvent être considérées comme des fonctjons déterminées d'une seule variable indépendante.
-. F.ClO,
304 couns de miîcanique.
Chacun des points du système ne peut décrire qu'une courbe déterminée : quand le point M se déplace de M en m sur la courbe qu'il décrit, il entraine les autres points M' en m' ... sur leure courbes respectives.
Un corps solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe constitue un système à liaisons complètes.
68. Démonstration du principe des vitesses virtuelles dans le cas d'un système à liaisons complètes. — Nous adopterons la démonsti-ation d'Ampère.
Considérons im pareil système; soient MP = P la résultante des forces appliquées au point M, M'P' ;^ P celle des forces appliquées en M', etc. Le principe des vitesses virtuelles consiste dans le théorème suivant :
Théorème. — Pour qiie le systhne soit ai équilibre, il faut et il suffit que la somme des tnoments virtuels des forces appliquées owa: différents points du système sort égale à zéro.
Soient :
p la projection de la vitesse virtuelle de H sur la direction de P, p' ~ M' — P-,
Je dis que la condition nécessaire et suffisante pour l'équiUbre est que l'on ait :
Vp + Yp' + ... =0.
Prenons d'abord deux points du système M et M'. Introduisons un nouveau point N ; assujettissong-Ie à se mouvoir sur une surface donnée, et lions-le aux points M et M' par deux droites rigides et inflexibles; pour une position donnée des points M et M', le point N ne pourra se déplacer que sur un cercle, et comme il doit rester sur une surface donnée, il en résulte qu'il ne poiu'i'a se mouvoir que sur
une cei-taine courbe B, loi-sque le point M se déplacera sur la courbe A, M' sur A', etc... Appliquons aux deux extrémités de la droite rigide et inflexible M'N les deux forces ^ale3 et opposées S et — S, agissant suivant cette droite; , appliquons de même aux deux extrémités de la droite
rigide et inflexible MN les deux forces égales et opposées Ret — R, agissant suivant cette droite; nous ne changerons rien aux conditions du système; c'est à dire que, si l'équilibre avait lieu tout d'abord, il aura encore lieu, et s'il n'existait pas, ce n'est pas l'introduction du point N et de nos quatre forces S, — S, R, — R qui aura pu l'établir.
La somme des moments virtuels des forces S et — S appliquées aux extrémités de la tige rigide et inflexible M'N est nulle; il en est de même de la somme des moments vii-tuels de R et — R; donc, la somme des moments virtuels de P et P' est égale à la somme des moments virtuels des six forces P, R, — R, — S, S, P'.
Actuellement, déterminons l'intensité de la force S de manière que la résultante de S et P' soit normale à la
Deweïrods. — Jfrfconiîue. H. 20
306 couns de mécanique.
courbe M', puis l'intensité de la force — R de manière que la résultante des forces — S et — R soit normale à la courbe B; la somme des moments virtuels de S et P' sera nulle, celle de — S et — R sera nulle aussi ; donc la somme des moments virtuels des six forces P, R, — R, S> — S, P' est 'égale à la somme des moments virtuels des forces P et R, et comme la somme des moments virtuels des sii forces doit être égale à celle des forces P et P', on voit que la somme des moments virtuels de P et R est égale à celle dePetP'.
En résumé, sans rien changer aux conditions de l'équilibre, on a introduit un point N dans le système et on est arrivé à ce résultat qu'en appliquant une nouvelle force R au point M, le point M' et le point N (par suite de l'introduction de forces convenablement choisies) sont soumis à des forces normales à leurs trajectoires respectives, et la somme des moments virtuels des deux forces P et R appliquées au point M est égale à la somme des moments virtuels des forces P et P'.
On considérera un troisième point du système M', un point auxiliaire N' qui jouera relativement à M et M' le même rôle que N relativement à M et M', et on verra qu'on pourra faire en sorte que ces points M' et N' soient soumis à des forces normales à leurs trajectoires respectives, à la condition d'appliquer en M une nouvelle force dont le moment virtuel sera égal à celui de M'. Donc, en somme on aura le résultat suivant :
Au lieu de p points dans le système à liaisons complètes, on en aura p + p — 1 =2^) — 1; tous ces points sont sollicités par des forces normales à leurs trajectoires respectives, sauf le point M, qui, au lieu d'être soumis à la force unique P, est maintenant soumis à l'action de p — 1 forces nouvelles dont les moments virtuels sont égaux respectivement à ceux des forces primitives P', P' ... Tous les
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points du nouveau système sont en équilibi-e d'eux-mêmes, sauf le point M ; si ce point est en équilibre, tout le système y sera; si le point M n'est pas en équilibre, il se mettra en mouvement sur sa courbe et entraînera les autres. Donc, pour que tout le système primitif soit en équilibre, il faut et il sufRt que le point M soit en équilibre, sous l'action des p forces qui lui sont actuellement appliquées; soit S la résultante de ces p forces; il faut et il suflit, pour l'équi- . libre, que cette résultante soit normale à la courbe A, ou que son moment virtuel soit nul. Or, le moment virtuel de S est égal à la somme des moments virtuels des j) forces P, P', P' ... appliquées aux points M, M', M' ... Donc, la condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre du système est que l'on ait l'équation ;
Pp + Fp' + py ... =0.
Il faut remarquer que dans cette équation les rajn
, sont déterminés.
69. Démonstration du principe dans le cas des liaisons incomplètes. — 11 y a moins de '<ip — 1 équations de condition. Le système n'est pas à liaisons complètes; on peut lui faire prendre non pas un seul mouvement, mais une infinité. Considérons l'un quelconque de ces mouvements, qui deviendrait le seul possible, si aux équations de condition données, on en ajoutait de nouvelles, de manière û rendre le système à liaisons complètes. Il est nécessaire que, relativement au mouvement considéré, la somme des moments virtuels soit égale à zéro.
Car, supposons que l'équilibre existe tout d'abord ; on ne le troublera pas en gênant les mouvements des dilTérents points du système, de manière à réduire ces mouvements à un seul, celui dont nous avons parlé; le système devra être en équilibre à plus forte raison. Mais, si la somme des
moments virtuels n'était pas nulle, le système prendrait le mouvement considéré. Donc, pour qu'aucun des mouvements compatibles avec les liaisons du système n'ait lieu, il faut que, pour chacun de ces mouvements, la somme des moments virtuels soit égale à zéro.
RÉaPROQUEMENT. — Si Cette condition est remplie, l'équilibre a lieu. Car, si un mouvement s'accomplissait, ce mouvement serait déterminé. Introduisons d'autres liaisons ne gênant pas ce mouvement, mais gênant les autres, si l'on tentait de les accomplir, nous aurons alors un système à liaisons complètes; puisque le mouvement a lieu, c'est que la somme des moments virtuels n'est pas nulle, ce qui est contraire à l'hypothèse. La condition énoncée est donc nécessaire et suffisante.
Ainsi, pour tous les mouvements possibles, on doit avoir l'équation :
Pp + P'p' + P*p* ... = 0.
Autre forme de l'équation des vitesses virtuelles. — A la force P, substituons ses composantes X, Y, Z; de même considérons le déplacement du point M comme résultant des trois déplacements Sx, Sy, 3z; nous aurons :
mom. virtuel de P = XÎ3; + YSy -+- ZBz,
et l'équation des vitesses virtuelles deviendra :
70. Conditions â'éqoilîbre d'un systàme. — Nous allons montrer comment on déduit du principe des vitesses virtuelles les conditions d'équilibre d'un système donné.
Supposons que les liaisons qui existent entre les divers points du système soient exprimées par les équations :
entre les coordonnées des divers points du système x, y, z, x\ y', z'... Soient 8a;, ly, 3z, 6a;', ... des variations infiniment petites compatibles avec les liaisons; nous devrons avoir entre ces variations les relations suivantes :
dL , dL . dL , dx dy " dz
du, da, du.
d^"-^li'»*-,'
dx
Soit i le nombre des équations de condition; i des variations ix, 5y, ... au nombre de 3p, seront des fonctions linéaires des 3p — t variations restantes, lesquelles seront arbitraires. En reportant ces t variations dans (1), on aura une fonction linéaire des 3p — i variations arbitraires; et cette fonction devra être nulle quelles que soient les 3p — i variations. Le coefficient de chacune 'de ces variations devra donc être nul ; on aura ainsi 3p — i équations qui, combinées avec les i équations de condition, donneront Sp équations propres à déterminer les 3p coordonnées x, y, z, x', y', z', ... des points du système, dans la position, ou dans les positions d'équilibre.
Il y a 3p — i équations d'équilibre.
ÉUminatioa par la méthode des facteurs. — Multiplions les équations (3) respectivement par les facteurs indéter^ minés X, n, t ... et ajoutons l'ensemble à l'équation (1); nous aurons :
{^ ., dL dM dN \
x + x^i — y- ^-i — h-ct— + ■■■!
\ àx dx dx I
/„ , dL dM dN \ .
V dy " d^ <ly } '
310 COtIJtS DK MÉCANIQUE.
Nous Hvoiis (lit que ï variations sont fonction des 3p — ^ t variations restantes, lesquelles sont indépendantes. Profitons de l'indétermination de X, ja, v ... pour annuler dans (4) les coefficients des i variations dépendantes; les autres étant indépendantes, on devra égaler à zéro leurs coefficients. On aui'a donc en somme les 3p équations :
dN « . -.-V -,— -+ ... =0, .
„ rfL rfM dN
dg '^ dy dy
„ , dL dM dN
I dz "^ dz iz
V, , A^ rfM dN
dx' dx dx
(-2) et (5) forment un système de 3j) + 1 équations contenant les '.ip -\- i inconnues x, y, z, x' , y', z' ... À, n, v.
Réciproquement. — Si ces équations ont lieu, l'équilibre aura Heu aussi; car en multipliant les équations (5) respectivement par 3a:, Sy ... et ajoutant, on a :
\Zx + Y£y + Z52 + X'Sa/ + ...
I Vda; dy dz dx' "')
et en vertu de (3) cette équation se réduit à : - Y!y + Z52) = 0.
2(xs^
De la BigniKcatîoa mécaniqQâ des facteurs a, ^, i. — Dans les équations (5), chaque équation de condition L =0
' .' . tlL dl . „,
est représentée par un terme X t-' a j--..;si 1 équation
de condition n'existait pas, mais qu'à X on ajoutât une
force \j-' à Y, X j- ..., les équations (5) resleraient les
mêmes. On peut donc dire que la liaison L = 0 produit les forces suivantes :
dy
. >. -7-; suivant Oar,
1 dx
,] - àh en m' ' a t-t — Oy,
dz
La résultante de la foi'ce appliquée en »i, et pioveuant de la liaison L ::= 0 sera :
le cosinus de l'angle que fait cette force avec Ox sera : dL
Si, dans l'équation L =: 0, on considère x, y, z comme seules variables, on aura l'équation d'une surface; la force considérée précédemment sera dirigée suivant la normale à cette surface.
312 COURS DE arÉCANIQUE.
71. Application du principe des vitesses virtuellea à la recherche des conditions d'équilibre d'un corps solide entièrement libre. — Nous considérons le corps solide comme formé d'un nombre p de points matériels dont les distances mutuelles sont invariables; soient M, M', M' trois de ces points. Le nombre des coordonnées de tous les points du système est 3jî. Il y aura d'abord trois équations de condition pour exprimer que les côtés du triangle MM' M' pont invariables; pour chacun des p — 3 autres points tels que M", il faudra trois conditions pour exprimer que les longueurs MM", M'M", M'M" sont invariables; on aura donc en tout :
équations de liaison, entre les 3p coordonnées; donc, il y aura six conditions d'équilibre.
On trouvera ces six conditions en imprimant au corps solide six mouvements virtuels simples, indépendants les uns des autres.
l» Translation parallèle à Ox. — C'est un mouvement virtuel possible ; pour ce mouvement on a ;
dX=: dx' = ...
L'équation
donne :
On trouvera de même :
2° Rotation infiniment petite autour d'un des axes coordonnés. — Pour une rotation infiniment petite S9 autour
de Oz, on a :
œ = r cos 6, y = r sin 8, 2 = const,, 3iF = — y36, îy= + a;36, S2 = 0,
et l'équation (1) se réduit à :
36 2(a;Y-yX) = 0.
On trouvera donc les six conditions suivantes :
S(yZ — 2Y) = 0; ^{zX-xZ) = 0; 2(a!Y-yX) = 0.
Ces conditions sont distinctes; ce sont les six équations de l'équilibre.
72. Sot nne propriété de l'équilibre relative aux maxima et aux minima. — Reprenons l'équation
(i) 2 i^^'' + Y3y + ZSz) = 0
qui donne les conditions d'équilibre d'un système quelconque, en y adjoignant les équations entre les variations 5a:, îy ... fourmes par les équations qui expriment les liaisons. Supposons qu'il existe une fonction des forces U, c'est à dire que, sans tenir compte des liaisons, on ait :
I X'=— \ dx' "'
On en conclura :
On devra donc avoir l'équation :
