SU

en observant que les variations 3a;, Sy ... doivent être considérées dans l'équaUon (3) comme liées entre elles par les équations de condition qu'on déduit des éqifations qui expriment les liaisons du système.

Il en résulte qu'en général, dans la position d'équilibre, la fonction des forces U sera un maximum ou un minimum, en tenant compte des liaisons du système. Ainsi, supposons que les liaisons permettent d'exprimer toutes les variables X, y, z ... ea fonction d'un certain nombre de variables indépendantes >., [i. ...; on devra avoir, U pouvant être exprimée également à l'aide de ces variables, les équations :

Ce sont les équations mêmes que l'on rencontrerait, si l'on cherchait à trouver le maximum ou le minimum de la fonction U, des variables indépendantes )., t* ...; on sait que quand on aura trouvé les valeurs de X, jt ... qui vérifient les équations (4), il n'en résultera pas nécessairement que ces valeurs répondent à un maximum ou à un minimum deU.

On voit, quoi qu'il en soit, que dans le cas considéré, où il existe une fonction des forces, on aura, pour trouver les conditions d'équilibre, à résoudre la même question analytique que s'il s'agissait de trouver ie maximum ou le minimum d'une fonction U d'un certain nombre de variables indépendantes )., [x ... C'est là un principe que Maupertuis avait proposé sous le nom de loi du repos.

Nous verrons plus loin que, quand la fonction U est uif maximum, l'équilibre est stable.

l.es équations (2) sont vérifiées loi-sque les foi-ces qui

agissent sur tes liivei's points du système ne sont autre chose que les actions de la pesanteur sur ces points; on a dans ce cas, en prenant l'axe des z vertical et dirigé vers le bus :

X =0, Y=0, Z = my ]

et l'équation (1) devient :

mîs + m' Si' + ... = 3(h(3 + «t' z' ...) = 0. Soit z, l'ordonnée du centre de gravité du système; on aura :

U = â':, Sm; 22, = 0.

Ainsi, quand on considère un certain nombre de points pesants liés 'entre eus d'une manière quelconque, on trouvera la position d'équilibre du système en cherchant, parmi toutes les positions compatibles avec les liaisons, celle pour laquelle le centi-e de gravité sera le plus bas possible. La position dans laquelle le centre de gravité sera le plus bas possible sera une position d'équilibre stable.

Exemples. — 1" Èlani donné un fil homogène pesant, dont les deux extrémités soAt fixes, et dont la longueur est donnée, trouver sa position d'équilibre. — On l'obtiendra en cherchant, à l'aide du calcul des variations, parmi toutes les courbes passant par les deux points fixes, et ayant une longueur donnée, celle dans laquelle le centre de gravité lie la courbe est le plus bas possible; on trouve airtsi lu chaînette.

2o Un ellipsoïde pesant homogène, étant placé sur un ■ plan horizontal, son centre de gravité ou son centre de lifîure sera le plus bas possible, lorsque l'ellipsoïde touchera le plan fixe par l'une des extrémités du plus petit des txo'is axes; alors, l'équilibre sera stable.

316 COUflS DE MÉCANIQUE.

3° Considérons un corps solide attirant un point matériel suivant la loi de Newton; soient x^, y,, z, les coordonnées de ce point, V le potentiel du corps relatif à ce point, on aura :

y , dV ^ . rfV . rfV

A = ru. 5—; \ =.f\]. -— ; 1 = f-j.—--

Nous aurons donc pour l'équilitire :

ttx, ay^ fl2j

Si nous considérons un point voisin du point attire, en désignant ses coordonnées par :

a = «, + A; y = y„ 4- ft; 2 = s, -t- /,

nous aurons :

dxl dyl dzl

dy^ àz^ dx^ dx^ dx, dyj

Pour que V, soit un maximum, il faut qu'on ait :

dx\ dyi dzl

pour un minimum, au contraire, on devrait avoir :

• axl dy\ dz\

Mais, si le point attiré ne fait pas partie de la masse même du corps, on a, comme on sait :

d'Y (PV (PV .

-r-i + -r-i+ ^-i =^dx\ dy\ dz\

Donc, en écartant le cas exceptionnel ou 3-î' ^' j^

seraient nuls tous les trois, on voit que ces trois quantités ne peuvent pas avoir le même signe, que ce signe soit du reste le signe -h ou le signe — . Donc V, qui est ici la fonction des forces, n'est généralement ni un maximum ni un minimum, contrairement à une assertion que l'on trouve dans quelques traités de Mécanique.

AppUoaUom ta principa in viteiHi vlrtsgllei.

73. Les machines employées dans l'industrie sont en général des systèmes à liaisons complètes. Soient P la puissance qui -doit vaincre la résistance R, îp le chemin parcouru par le point d'application de la puissance projeté sur la direction de ta puissance, 8r !e chemin parcouru par le point d'application de la résistance projeté sur la direction de cette force; le principe des vitesses virtuelles nous fournira l'équation :

or, ici ip et 3r sont identiques à dp, dr; on aura donc : '

Pdp + Rdr = 0.

Donc, les forces sont en raison inverse des chemins parcourus par leurs points d'application, ces chemins étant projetés sur les forces correspondantes. C'est là une remarque qui avait été faite par Galilée, qui avait vérifié ce théorème dans un certain nombre de machines simples et le r^ardait comme une propriété générale de l'équilibre des machines; c'est là l'origine du principe des vitesses virtuelles.

lo PresBe à coin. — Soient ABC un coin isocèle, A'B'C une position infiniment voisine; on doit avoir, pour l'équilibre :