CHAPITRE IX
£QDATI01f8 DE LAGRANfiE. - SQDAnONS CAHONIQDES.
81. Considérons un système de points matériels, dont les coordonnées rectangulaires soient désignées par x,y,z\ ^u Vil ^11 ■■•'■, X, Y, Z; X„ Y„ Z„ ... désignant les composantes des forces appliquées à ces divers points; on aura par le principe de d'Alembert cette équation générale :
(J) 2 (^^'^ + YSy + Hz) = Zm (^3a; + ^ 8y + ^' Sî),
et cette équation, combinée avec 'celles qui proviennent des liaisons du système, donnera tout ce qu'il faut pour déterminer le mouvement de ce système.
Supposons que, en tenant compte des liaisons, x, y, z, x„ y„ z„ ... puissent s'exprimer à l'aide de k variables q„ ç„ ..., qt et du temps t:
(2) î y = ?(î„?,.-..ît.O; y, = ?, («.,5.. -. 5*.0- \ z=4p(f„î„..., 5*,(); 3. = +.(î„?, î*.ï)...
Lagrange a donné une formule remarquable qui permet de transformer d'une manière très simple l'équation (1), en y introduisant les variables q au lieu des variables x, y, z.
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360 COURS DE uëcanique:
La transformation du premier membre de cette équation s'effectue immédiatement ; on aura en effet :
(3) 2 (^'"^ "*" ^^ff "^ ^^^ï = ^' '?' "•" Ûi ÎJ. + ... + & 8?*;
en remplaçant ix par
d» . âx ^ dx ^
âq, ^ dq^ *' dqt '^
Si/, Ez, ... par des expressions analogues, en galant dans les deux membres de l'équation (3) les coefficients de lq„ il viendra :
dja dfa (/y, Ofa
OU simplement :
On devra remplacer ^n même temps, dans le second membre de cette équation (3**"), les quantités X, Y, Z, ..., qui sont des fonctions de t, x, y, z, ..., par leurs valeurs en fonction de q„ ç,, ..., g, et t. Supposons de même qu'après avoir fait le changement de variables indiqué, le second membre de l'équation (1) devienne :
toute la question est de déterminer les quantités u„ u„ ..., u*. On aura, en procédant comme ci-dessus ;
ce que l'on peut écrire :
i d^idxâx^ ^ ^ dz dz i **■" dï( dt dq.'*' dtdq.'^ Jtâqa]
)^ idx d dx dy d ây dz d dz , ~ "'^{Tidi'Jq,,'^ Tttt' Jq,'^ TtTt' âq.)
Posons pour abr^er :
(6) ç, = Lm ^^ — + ^ - + ^ ^J,
&t nous aurons :
Vt =
dt '
-Im
tdxd [dldl
dx
.^ itdt dq.
dz d di) * dtdt' dq.y
or,
oaa
d'où, successivement :
. dx
■'/■ ~ dt
^ àq, dt
àq, dt
àf d,,^ àq, dt '
dx dq.'-
d Tt'
dm
-àq.
iq.dq
àq,^ d-f dq.
,dtdq,dq,di
à-f d„ ■■■'^dq.àqtdt
d -dq.
dq, dt dq, dt
dfdq,)
■•• * 57. dt S^
ta parenthèse est égale d'après (8) à -tt; on aura donc :
* dt dq, dq. dt
et l'équation (8) devient :
d-i. ^ Idx d dx )
Dessous par 2T la force vive du système, et posons :
dx , ây , dz ,
di~^' di~^ '• Tt~'' nous aurons :
Cette quantité 2T, lorsqu'on y remplacera 57 = ic' par sa valeur (8), y', z', ... par leurs valeurs analogues, deviendra
une certaine fonction de t, q„ q„ ..., g* et de q\ = ^'• , dg, , diii
?, = -B •■■•«. = -if-
Cherchons les dérivées partielles de cette fonction par rapport à l'une quelconque des variables q ou q'; nous aurons d'abord :
dT^ iàx d dx dy J^ rfy ^^ à dz) dq^ "~ "" f df <>?. ' dt "*" Tt dq^' di'^ ît dq, ' dt ]'
Eln comparant avec (7) et (9), on en conclut :
d.l, âT
L'équation (8) peut s'écrire :
^ ' dt dqi dt àqi
on en conclut :
âx' df dx dq'x dqa dqa (6) donne alors :
^, /dx dx' dy dy' iz dz'\
^ ~ "^ \di d^,'^ Tt à^a*' Tt dql/ ou bien :
^ i , dx' ' , dy' , dz' ) ^ ( dga " dqx (*?i)
ou bien, en vertu de (10) :
dqa L'équation (11) donnera donc :
d__dT dT '^dl dq'a dqa
En tenant compte de (3) et (4), l'équation (1) pouvait s'écrire ;
Qi îïi + Q. ÎJi + ■■■ + Qt 5î* = 2 "» ^^'' en remplaçant u, par sa valeur ci-dessus, il viendra donc :
Telle est la transformée de l'équation générale de la Dynamique.
Supposons que les liaisons entre les n points du système établissent entre les 3n coordonnées x, y, z, ..., 3n — k équations de condition; on pourra alors exprimer ces 3n coordonnées à l'aide du temps, et de k variables iyidêpendantes les unes des autres, que nous supposerons être «T., gi, •■•) ?»; alors, dans l'équation (-12), les k variations Bg„ Bç, ..., îÇi sont arbitraires, et cette équation se décompose dans les k suivantes :
' A ^ ^ — 0 1 dt dg[ àg^ "
\ d âl àT
(*3) dtd^,~'âg,-^"
\ dt dq't dqt ~ Ce sont là les équations de Lagrange.
Après avoir calculé t-?» pour former ces équations, on devra y remettre, au lieu des q', les j-,'' donc, les équations (13) sei'ont k équations différentielles simultanées du second ordre pour déterminer les A: quantités q en fonction de t et de 2k constantes arbitraires.
En nous plaçant dans les mêmes conditions, supposons qu'il existe une fonction des forces U, contenant le temps (, et les coordonnées x, y, z, x„ y„ z„ ..., de sorte que :
dx'
dt
àl\'
it
àl
àll
ài:
-dq.
alors, la formule (3*^ donnera :
et les équations (13) pourront s'écrire : d dl. dT dV
1 £T dT^
dl dq'i dqt dqt
Ainsi, dans ce cas qui est le plus fréquent, voici la marche à suivre : la première chose à faire est de déterminer, dans chaque cas particulier, les k variables indépendantes q„ q„ ..., à l'aide desquelles on peut exprimer toutes les coordonnées x, y, z, ic„ î/i, z„ •.., au moyen des équations qui expriment les liaisons; on obtiendra ainsi les équations 02), Il y a ensuite à considérer les deux fonctions T et U : *
2T = 2m(aî'* + y** + /*),
U = 2(ar, y, 3, a;„jr„z....),
à l'aide de l'équation (8*^) et des équations analogues
déduites de (2), on exprimera T en fonction de t, q„ q„ ...,
?*i î.'i ifi> "■) 9*j on p6"t remarquer en passant que
DYNAMIQUE. 36ô
les variables g' n'entreront dans T qu'au second d^ré; U deviendra de même une fonction connue de (, g,, g„ ..., g»; on pourra former alors les équations (i4), d'où dépendront les valeurs des variables q„ q„ ..., q^ en fonction du temps; c'est un système de k équations difTérentielles simultanées du second ordre.
On peut se proposer de retrouver l'int^çrale des forces vives, quand elle existe.
On déduit de (14) la combinaison suivante : en multipliant la première équation par q[dt = dg,; la seconde par q',dt
= iq
ce que l'on peut écrire :
i( àq, àql )
àq, '' dq, *'
Supposons actuellement les liaisons primitives indépendantes du temps; alors, dans l'expression (8) de x' :
dt âqi' le terme en ^disparaît; tes variables a:', y'', z\ ...,sont des fonctions homc^ènes et du premier degré A&q[,q\, ...,q't;
2T = Sm(a^' + y'»-t-2")
est une fonction homogène et du second degré des mêmes quantités, ne contenant pas le temps explicitement; donc,
on a, par une propriété connue des fonctions homogènes ;
<*?, àq, '
la première partie du premier membre de l'équation (15) devient donc égaie à 2dT; la partie suivante
est égale à dT, puisque T ne contient pas le temps explicitement; l'équation (15) donne donc :
Si la fonction U ne contient pas le temps explicitement, on a :
il en résulte :
T = U + consl.
Remarque. — Supposons que les variables q„ g„ ..., g» n'aient pas été réduites au plus petit nombre possible ; alors on aura entre ces variables h équations de condition :
( Mli,9 5*, 0=0,
(jgj \ /■.(?.,?.. ...?*,*)= 0,
h étant plus petit que k. D'où l'on déduira :
(") is?;»'-
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Alors, en désignant par X,, \, ..., X» des facteurs indéterminés, on déduira de (12) et (17), en opérant comme on Ta iait à roccaslon du principe de d'AIembert, les équations suivantes :
d dT àT df df, âf,
\ d dT àT df df, df,
f d dT <*T df du ^, df,
Les équations (16) et (18) forment un système Aek + h équations entre les ft + fe inconnues q„ q„ ..., g», X„ \„ ..., À,, et le temps (; le problème est déterminé.
Application dM éqnationa d« Lagrang».
82. 1^ Éqoation da moavement d'un point matériel dans nn plan en coordonnées polaires. — Soient r et 0 les coordonnées polaires correspondantes aux coordonnées rectangulaires X et y. L'équation :
ro(^5a; + ^By)=X3a; + Y îy,
se transforme comme il suit, en posant : (i) X 3a; + Y îy = A 8r + B 8Ô,
(« "■U,d7- df -'']-'"' (7,m
= r cos &, y ^ r sin (I, (ilr" ,iti'} , ,, ,.,„
— = mr = m — .
r' dt
Il faut maintenant déterminer A et B; décomposons la force P appliquée au point M en deux autres, l'une ME = R dir^ée suivant le rayon vecteur, et r^ardée comme positive quand elle agit suivant le prolongement de ce rayon, l'autre MF ^ N, perpendiculaire au rayon vecteur, ,.„ et regardée comme posi-
^ tive, quand elle tend à
augmenter 6; X îx + Y 8y est le moment virtuel de la force P; ce moment, est égal à la somme des moments de R et N; le moment de R est R X MH = R3r; celui de N est N X HM' = NraO; on a donc :
Fiq.2Gi
X!« + TBy = Rîr + Nrîft,
11 en résulte :
A = R. B = Nr,
on trouve ainsi que l'équation (2) devient ;
,rfe
r» l: — Nr î = 0,
Si le point est entièrement libre, îr et 58 sont arbitraires;
l'équation précédente donne ;
Si le point M est assujetti à rester sur une courbe donnée : (5) /(r,9)'=0.
On déduira de (3) et (4) :
/ /d-r dn „ , d/
d .du „ . df
Les équations (5) et (6) déterminent r, D et X. Dans le cas où il existe une fonction des forces :
dU, Y-— ,
ir
dr
On aura, au lieu de (4) et (6), les équations suivantes ; ) '"W~''d?)-li
dV ' dr'
,m dis
"dl' '' dl" du'
dll
(d-r d6"\dO ' VC ^ dl'j ~ dr
,, rt dU dj dt~ di*' du'
Revenons aux formules (4); si la force P est toujours
DçsPETRODS. — MicanùjiÀt. II. 34
, dirigée vei-s l'origine, on aura constamment N = 0, et la deuxième équation (4) donnera ;
dt-Tt^"^'
La loi des aires se présente ainsi d'elle-même.
2° Équations du mouvement d'un point matériel dans
l'espace, avec les coordonnées polaires r, Q, ij'. — L'équation
(1) m(~ix + ^iif + ~5z) = Xix + YSs + Zhz aura pour transformée ;
en posant :
Xîx + YS^ + 233 = \dr + BÎ6 + CH.
En partant des formules :
a; — r sin 6 cos ^, (f = r sin 8 sin ^, 3 = r cos 0, ■ on trouve aisément :
(3) 2T = m (r" + r'B" + r* sin* e.-li").
On en conclut :
/ dT dr dT (de* . , „ d*' 1
i dr' dl dr {dC dt* )
-— ■ = Hir* sin 0 cos 0 dti
\dll
dT ,.,.((♦
\ dU='""'"'Tr
Décomposons la force P appliquée au point M en trois autres, ME = R agissant suivant le rayon vecteur, et considérée comme positive quand elle est dirigée dans le prolongement de ce rayon, MG = M agissant suivant la tangente au méridien, et regardée comme positive quand elle tend à augmenter 9; MF = N agissant suivant la tangente au parallèle, et regardée comme positive, quand elle tend à augmenter (ji. Donnons au point M le déplacement infiniment petit MM'; ses >i().2o5 projections sur R, M et N-, seront 8r, r86, r sin OSi^; Xbx + Yîy + Zîz sera égal à la somme des moments virtuels de B, M et N; on aura donc :
Xîar-t- Y3ff + Z3i— Rîr + MrSe -+- Nrsin6î<^,
il en résulte :
Si donc le point M est libre, l'équation , (2) donnera, en tenant compte de (3) et (4) :
= Nr sin 6.
Dans te cas où il existe une fonction des forces U, il faudra remplacer les seconds membres des équations précédentes par
rfr' dn' rf-v'
Si le point était assujetti à rester sur une surface donnée :
il faudrait ajouter aux seconds membres :
rfr dft rf^t
Si le point matériel devait rester sur la courbe définie par les deux équations :
il faudrait ajouter aux seconds membi'es les quantités ;
. âf df . df do , df do âr ' dr' dO "^dO rfi^ rft|i
Application au pendule coniqae. — On a : r = const. = /, 3r = 0;
l'équation (2) montre qu'on n'aum plus que tes deux derniùi'es équations (4"'); on a :
U = mgz = mgl cos 6,
dV
du
= --»jIsme; ^ = 0.
I^s deux équations
indiipiées donneront donc
ii"6
sin 0 cos 9 ^ = - 1 sin 0,
il'où ;
.m.ofl = C.
C'est l'équation que fournit le principe des aires, pour le plan horizontal.
UiNAMlOUE. 37;ï
Au lieu d'employer la seconde des équiitioiis (5), il , vaudra mieux avoir recours à l'équation des forces vives :
qui est ici :
(7) «W J ""- + sin' 8 ^ ! — ÎMffi cos 8 = C.
Un achèvera la solution en éliminant jr entre (6) et (7).
3» Hourement d'un point sur une snrface fixe donnée. — z pouri-a ^tre considéré comme une fonction connue de iC et y ; plus généralement les variables x, y, z pourront f)tre considérées comme des fonctions connues de deux variables « et y;
X = fin, v); !/ = f («, v); 2-= •^ («, c). Un aura :
'(dudt dv dt ]
t't pour la force vive une expression de la forme :
2T = Am'* + 2Bm'w' + Ce'»,
où A, B, C sont des fonctions connues de u et v; on eu déduira :
dT du prfi;
du'^ dt '^ dt'
dl du dt^
W-^Tt^^dt'
rfT 1 /dwy dk du dt rfB 1 /dvV rfC d7t~~% \dt) du "^ ~di dt dd'^l \dt} du ' rfT l/(/»\'rfA dudvdB 1 /d«y dÇ dv ~-i\dt) dp '^ dl dt dv "*" i\dt} do'
Si donc il existe une fonction des forces U, en la suppo-
sant exprimée au moyen des variables u et v, od aura pour déterminer le mouvement du point matériel les deux équations suivantes :
rf / dit dt\ 1 (duV rf(\ rf( '^ dt) i\dt)
dtV dt'^^dt)~i\di)
dti
dV
Il conviendra de remplacer l'une de ces équations par celle des forces vives :
Si la surface donnée est l'ellipsoïde :
On pourra faire :
x= asin iicosv, y = frstn usin v, ï = e cos II.
4» On donne deux droites fixes OA, OA,; trouver le mouvement de deux points matériels M et M, assujettis à rester constamment, le point M sur la droite OA, M, sur OA, ; ces deux points s'attirait proportionnellement à la distance.
Nous prendrons pour variables indépendantes :
OM = r. OM, = r..
Nous aurons, en désignant par m et m, les masses des deux
points M et M, :
(1) «T = mr'*
et à cause du triangle MO M,
En tenant compte de (1) et (2), les formules de Lagrange donnent :
- fnt, (r — r, cos 2a),
ou, en posant :
(3) fm=b^i fin, = h],
- h\{r — r, cos 2 a),
àC
-T-j- — —K' (r^ — T cos 2a).
On a ainsi deux équations simultanées du second oidrc, qni sont linéaires et à coefficients constants; on pose, pour les intégrer :
r^ A Cosv(; r, = >, A cos vf,
où A, ?. et ■« désignent des constantes. On trouve, en substituant dans (4) :
*!- v' = 4;).COs2a,
X (A'-,') = 4' COS 2 a,
d'où:
X = ji^cosS.,
- v") (*; - .■) — h<h\ cos' î« = 0.
376 couns de mécanique.
On démontre aisément que cette équation (6), qui est du second degré en •»', a ses deux racines réelles et positives, •(' et v". Si on avait posé :
r = B sin it, r, = X B sm vï,
on aurait trouvé les mêmes équations (5) et (6). A chacune des racines de l'équation (6) répondra une valeur de X, déterminée par (S), et une constante A, qui reste indétei^ minée. On aura donc, pour intégrales générales des équations (4) :
t r = A cos V ( + B sin n ( + A' cos ■*' ï + B' sin v' /,
f, = Tï i cos 2î( (A cos vï + B sin vï)
+ v^— -T, COS îst (A' cos v' ï + B' sin v' ();
A, B, A', B' sont quatre constantes arbitraires.
Si les vitesses initiales sont nulles, on aura (37 ) = [-tt ) ;
d'où, B = 0, B' = 0; si en outre m = m,, il en résultera h* ^h\, et l'équation (6) deviendra :
{A* — v'j' = A' cos 2a; d'où :
A' — v' = ± A' cos' a,
v' = 2À' sin' z; v" = 2A' cos' a,
A*co£23 A'cos23i
{ r = A cos (A 1^2 ( sin a) + A' cos (A Kîi cos a),
( r' = A cos (A 1/2 ( sin a) — A' cos (A K2) cos a),
avec :
50 Un fil inextensibîe et sans masse est suspendu à un point fixe 0, et chargé de deux points matériels pesants T4. et M'; on suppose qu'à l'origine du mouvement, ces points ont été écartés un peu de leurs positions d'équilibre, lesquelles se trouvent sur la verticale du point O, puis abandonnés d eux-mêmes, sans vitesse
\ initiale; on propose de
\ ■ déterminer les petites os-
\ cillatiom du système.
î!..,^^ Soient 8 et ? les ailles
^^^ M* que font à l'époque t les
portions rectilignes du
„. «„- m OM et MM' avec la . "^'3^^^ verticale Ot,;OM = a,
^ MM' = 6; X, u, X', y'
^ les coordonnées de M
et M', « et v' les vitesses de ces points ; on aura :
^ œ = a sin 6; «' = a sin ô + fr sin ç, ^^ ^îr=ocosô; y' = o cosO + fr cos?.
P = mj; P-^m-j.
La fonction des forces U a pour expression ;
U = rog'y + m'ffj(',
ou, en remplaçant y et y' par leurs valeurs (1) :
(2) U = 5 j (m + m') 0 C08 e ■+- m' t cos ? j ;
on aura ensuite :
. d*' + dj* , de»
d(> «dï»'
,, d!i!"-j-ds" / ^dô . dçV
-H(asin6^-.ésin,^y,
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On aura, pour la force vive :
2T=:nii;' + m'i'", 2 T = (iti + vi') «' jTî + •"' ^* j^ ■+• *"•' '^^ "ts (? — 0) j -j?. ou, en posant (3)
(4) 2T = (m + m') a'e'' 4- m' 6'?" -•- 2"»' «6 cos (^ — 8) ?'e*.
8 et ç sont les varid)Ies indépendantes. Les équations du mouvement seront :
dt d^' do d^
T et U devant être remplacés par leurs valeurs (2) et (4). On trouve :
— = (m + t»') arV + m ao cos (j — 0) ç' = (m -t- m ) o' -j-
~ =m'6'ç' 4- m'afccos (y — 0)0' =m'6* -j^
+ m'ofr cos(<îi — 0)5 -^-j ..„>, .,,0'=m'«is,n(,-6)jjJ.
^— = — m'flôsin (ç —0) ^'0' = — m'a&sin (?~^) 77 ïf' jT = — î (m + wt ) fl sin 8,
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Les équations ^) vont donc devenir :
- w ao Cl — »i' ab sia{-t — ^) — ^ -h g (m + m') a sin 6 — 0,
ou biea, après quelques réductions faciles :
|{nn-n»')a -t-j +i»'frcos(ç — 6) ~ — m' 6 sin (ç — 6) (■t|) + (/(bu- m')sin6 = 0; fr^ + oco8(ç — e)-7r; + asin(f— 6) |— J +ffsinf=0..
A l'origine, ç et 6 sont des quantités très petites, il en sera de même pendant tout le mouvement; -r- et ^seront des quantités petites du même ordre; si l'on néglige le troisième ordre, les équations (6) deviendront simplement :
/ (m + m') a 3-j- + m' ft TTf -J- ff (m + m') 6 = 0
Nous sommes donc ramenés à intégrer un système de deux équations linéaires simultanées du second ordre, à coefficients constants, et sans seconds membres.
Pour intégrer, on pose, ^ en désignant par A, À et r des constantes :
(8) e = A cos rï; ? = XA sin rï,
. Digitizeûby^iOOQlC
En substituant dans (7), il vient :
A reste arbitraire ; on tire de là :
(m +-»i') {g ~ ar') {g — br*) = m' flér*, ou' bien :
(11) wiafir' — g {a -t- b) {m -h m') r' + (m + i»') g' = 0. Cette équation est du second degré en »•*; le critéi-ium est :
g* {a + by (m + m')* — 4ff' m (m + m') ab, ou bien :
g*{m + m')\m{a — 6)' + m' (a + b)* j > 0. Donc, les deux racines de l'équation (H) sont réelles, et positives puisque leur somme et leur produit le sont; désignons-les par r' et r\ ; on aura les solutions partielles suivantes des équations (7) :
A or'
8 — A cosrï: a = ;—; cosrî,
■ . g — br'
.1 ■ - A'ar' . ^
6 = A sin r(; o = — ■,■■ ; sin rt, g—br*
0 — A.COsr'ï; e = — *——-: CCS r.ï,
" ^ g — br\
., . a; ar\ .
6 = A,smr,(; s = — ' — ,~smr,t, ^ g~br\
A, A,, A', A[ désignant quatre constantes arbitraires; on
aura ainsi pour solution générale :
I 0 = A cos f ( -I- A' sin rt + A, cos rj + A,' sin r,t,
(lî) 9 = J^br' ^^ ^^^ **' '^ *' ''" **"
H T— î (A, cos r,( + A' sin r,().
et cette solution contenant quatre constantes arbitraires sera l'intégrale générale des équations (7), si l'on peut déterminer ces constantes de manière à satisfaire aux conditions initiales qui sont pour ( = 0 :
On trouve ainsi :
/ P- ""■' A+ «'•■,A„ \ *' g — br' g — br\"
On tire des deux dernières :
' 3— br\ ' g — br*
ou bien :
A' a; rr, (r- — ri) = 0,
d'où A' ~ 0,
et ensuite A; =0; et des deux
premières,
en posant :
or- or!
<■ g-br- ' g-br',' 1 A + A, = a, 1 AX + A,X, = p,
