IS
On aura donc
pour la solution demandée :
( 9 = A cos rï + A, cos r,(, ( s = XA cos r( + X.A. cosr.(.
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OÙ A, A„ >., X, ont les valeurs (15) et (14), r* et r] désignant les deux racines de l'équation (11).
Si l'on demande la condition pour que chacun des points m et m' oscille comme un pendule simple, on devra faire A = 0, ou A, = 0. Supposons A ^ 0 ; (15) et (14) donneront ;
On en tire :
et en portant cette valeur dans (il), à la place de r', il vient après simplification :
Cette équation est du second d^ré en =; elle a toujours
ses racines réelles, car le premier et le dernier coefficient sont de signes contraires; de plus, ces deux racines sont, l'une positive, l'autre négative; ces deux racines correspondent aux positions initiales. On a alors :
9 = A, cos f,(; s =: X.A, cos r,l,
ce qui doit éadrer avec
(19) 8r3=aco8r,(; ? = P cos r,f.
les durées des deux oscillations seront les mêmes; mais les amplitudes seront différentes; les deux points passeront en même temps par la verticale.
Remarque. — Si, à l'origine, les trois points 0, M, M' étaient en ligne droite, on aurait a = p; l'équation (18) donnerait :
elle ne serait jamais vérifiée, à moins que l'on n'ait m = 0
OU I> = 0; dans l'un ou l'autre cas, les points matériels se réduisent à un seul, et on a un pendule simple.
Dans le cas général, on obtiendra la valeur de r, qui figure dans les formules (IQ), en partant de (J7), on déduit de cette formule :
Dans le cas où a ^ b, (18) donne :
nous aurons donc ces deux solutions :
ç r= g cos r, ï a = - J l/— 5L, cos r,( «<■', =
Thdorème d« Jacobi.
83. Considérons le mouvement d'un point matériel libre dans le cas oiï il existe une fonction des forces U indépendante du temps ; les équations différentielles du mouvement seront :
^' rfC ~dx''' df ~ dy' df ~ dz'
U désigne la fonction des forces divisée par la masse du mobile. C'est une fonction de x, y, z.
Soit 6 une fonction de x, y, z contenant trois constantes arbitraires x, p, y, autres que celles qu'on peut toujours introduire dans ë par voie d'addition, et vérifiant identiquement l'équation aux dérivées partielles :
Je (Us que les équations (1) auront pour intégrales générales : i** . , lis ., lis
a', P^Y'^^^s^^ottrois nouvelles constantes; les équations ^ donneront x, y, z en fonction de t et des six arbitraires
Dëhonstration. — Admettons en effet les équations (2) et (3) ; nous allons montrer que les équations (1) en découlent.
Différentions les équations (3) relativement au temps; nous aurons :
d'e dx d^S dy d*e dz i da dx dt "*" du dp dt "^ d<xdzdt~ '
^^ 1 rf^ dx dt ^ d^ dy dt "^ d3 d^ dt
I d*e dx d'9 dy ^^o
Or, si nous différentions l'équation (2) relativement à a, 0, y, nous trouverons :
de d*e ds tfe dg je
L diT da; dot dy dy da dz dz du ' ^' 1 daîdœdp "** dy dy d^'*' dz dîd^ '
f ^ rf'e de d-e de ^^ ^^
', dx daî dy dy dy dy dz ds dy (4) constitue un système de trois équations du premier
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degré en 7T> j?' 37! (5) est le même système où Ton aurait
, .dxdy dz ,. . de de dQ
remplace ^. j^' ^j. respectivement par jj- ^. ^; on
a donc :
^ ' dt~dx'' dt~ dy' dl~ dz
Ces équations (6) sont donc une conséquence de (2) et (3). Partons de ces dernières équations; nous en.tirerons :
^ — é!®lf rf'e dy d*e dz de dm* dt dx dy dt dx dz dt
ou, à cause de (6) :
(71 ^ ^ ^ d*9 de d'e de
df" dai' dx dx dy dy dx dz dz
Or, on tire de (2), qui a lieu quels que soient x, y, z, a, p, y en différentiant par rapport à a: :
^ = 1®^ <^Q <^'^ dQ d'e da; dxdx* dy dy dx dz iz dx
I/équation (7) donnera donc :
(Ta^dU dï' ~ dx'
et on verra qu'on a de même :
dV dU dt* ~~ dy ' d^dn dt' ~ dz '
Ainsi, les valeurs de x, y, z, en fonction de t, déduites des équations (3), vérifient les équations (1); du reste, ces expi-essions de x,y, z contiennent six constantes arbitraires;
IteSPEVBOUS. — If^cani^tie. II. 25
donc, les équations (3) où « est défini par (2), constituent les intégrales («énérales des équations (i).
Les éqiKitions (6) 'sont très importantes, elles donnent des expressions très simples des composantes de la vitesse du point matériel.
On voit que toute la difficulté du problème est concentrée dans la recherche d'une solution de l'équation (2), qui est une équation aux dérivées partielles du premier ordre, cette solution devant contenir trois constantes arbitraires. On n'a pas de méthode générale pour l'obtenir; cependant on peut découvrir cette solution dans un assez grand nombre de cas.
Remarque. — Puisque la fonction U ne contient pas le temps, l'intégrale des forces vives a lieu, on a donc :
ce qui peut s'écrire, en vertu de ((î) :
En comparant à (2), on voit que la constante a n'est autre chose que la constante C qui figure dans l'équation des forces vives.
