cos Ç cos i> -; -77 —^ y
dx ' dr r cos ç atji r dç
dH , . l'B cos tti i^B sin a sin il> d6
■T- = cos ç sin * 3 H ^ -r- • 3-t
dy ' dr r cos y di]» r d<j
i% . dd cos 9 de
dz ^ dr r d?
On en tire :
/dey /rfe\' {<^Y^ /l^V i /my ^ my
l'équation (1) devient donc :
Cherchons une solution de cette équation de la forme ; (5) e = R-i- T + *; "
ces trois fonctions ne contenant, la première que r, la seconde que t^, la troisième que ç; nous aurons à vérifier l'équation :
/dR\' i /dm' l /d*\* - fil A
quels que soient r, ç, ^. On peut écrire :
Le premier membre de celte équation ne dépend que de s et if, le second que de r; ces deux membres doivent être égaux quels que soient r, ç et 4 ; on en conclut qu'ils devront être constants; on aura donc, en désignant par G* une constante :
■ cos' ç \rf')'/ \df/ '
ou bien :
Le premier membre de cette équation ne dépend que de -J,
le second que de ?; ces deux membres doivent être égaux quels que soient ? et t^i ; on en conclut qu'ils doivent être ^ux à une constante H' ; on aura donc :
H' = cos' ? j G'
dW
L'équation
(7) donne ensuite
d'où:
COS*ç
puis, on tk'e de (6) :
(10) H=/^ÎC+^-?;dr.
On conclut enfin des formules (5), (8), (0) et (10) ;
(ii) e =/j/îT7f^ dr + H* */ j/g^^ ^-
Si l'on remettait dans cette formule, pour r. t{i et ? leurs valeurs en x, y, z, on aurait une fonction 6 de x, y, z, vérifiant identiquement l'équation (i) et contenant trois constantes arbitraires C, G, H; c'est bien la solution cherchée; on aura donc les intégrales du mouvement pai' les formules (2).
390 COUHS DE MÉCANIQUE.
Signification géométriqae des arbitraires C, G, H. L'intégi'ale
rfe
ou bien :
iii. G'
2;4. ti'
Les valeurs maxima et minîma de r, qui sont a (1 + «) et a {i — e), en représentant le demi petit axe par o,' et l'excentricité par e, doivent donc être les deux racines de l'équation du second degré ;
2Gr' + 2(ir-G* = 0.
On en conclut :
en désignant par p le paramètre de l'orbite. L'intégrale
donne :
ÏH-"*
, Va' cos- . - H-
Le radical l^ij* cos' ç ~ H* doit être réel; done, la plus jîninde valeur de ç sera donnée par la formule :
cos,=j.;
KYNAMIQUK. 3i>l
or, la plus grande valeur de 9 est l'inclinaison I de l'orbito (le la planète sur le plan de l'écliptique ; on a donc :
H = GcosI.
Ainsi, on a :
Telle est la signification géométrique des arbitraires C, G, H. Avant d'aller plus loin, nous fixerons les limites inférieures des deux int^rales qui figurent dans (11) ; nous ferons commencer la seconde à partir de e = 0, .et la première, à pai'tir de r = a (1 — e), ce qui répond au périhélie ; istte limite a (1 — e) étant fonction de C et G, on pourrait
craindre de modifier ainsi les dérivées 'jç ^^ jn'> mais cela
n'arrivera pas, parce que l'élément différentiel de l'inté-
grale / I/îCh j dr, s'annule pour r=a{l — è).
Nous aurons donc :
(13)6= r l/2C-t-^-^rfr + %+ ri/o'-^rfî
et nos intégrales seront :
(ii)
r dr
ïv c
m^^Gp '1 „,-or
V cos*? r r r'
cos' ? 1/ G* 1~
Si, dans (13), on fait r = a (1 — e\ on aura ^ 4- c = 0,
c = — t; si donc t désigne le moment du passage de la planète au périhélie, on aura :
Si, dans (16), on fait ç = 0, ce qui répond au nœud, on trouve h = '^\ donc h est la longitude du nœud.
Enfin, si, dans (15), on suppose que les limites supérieures se rapportent au périhélie, on aura, en désignant par ç, la valeui" correspondante de ç :
cos If dif
Si on pose d'une manière générale, (!8) sin ç = sîn I sîn r„
il viendra :
: = dr,
ff .sin 9
Ksin' I — et la formule (17) donnera ;
g = r,„ ïj, désignant la valeur de r, qui répond au périhélie. Soient, sur une sphère ayant pour centre le centre du Soleil, NP le grand cercle qui représente l'orbite de la planète, P une position quelconque de la Fig. 268 planète, PQ l'arc de grand
cercle mené par P perpendiculairement à l'écliptique;
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on a :
PQ = ?; PNQ — 1;
le triangle sphérique rectangle NQP donne :
sin f =3111 1 sin NP; en compai-ant à (18), on en conclut :
