Mouvement d'un point matériel attiré par deux
centres fixes, solvant la loi de Newton. — On suppose que
^, le mouvement a lieu dans
un plan contenant les deux
centres fixes. — Soient C
et C les deux centres fixes,
ce = 2c; prenons cette
^ droite pour axe des x, et
'1) "^ la perpendiculaire menée
par le milieu de CC pour axe des y; soient^, et ^=i les
MC HC attractions des centres C et C sur l'unité "de masse placée en M; on aura pour la fonction des forces :
ou^ en désignant par xety tes coordonnées de M :
on aura donc à considérer l'équation aux dérivées partielles suivante :
|/(a; - cy+ y' !/(« -.- c)' + y' *
Il suilira de ti'ouver une solution contenant les deux constantes C et H, et en désignant par c et ft deux nouvelies constantes, le mouvement sera donné par les deux intégrales :
qui fourniront a; et y en fonction des quatre constantes C, c, H, h et du temps t.
Pour trouver une telle solution de l'équation (i), il convient de faire un changement de variables; on sait que, par un point quelconque M {a;, i/), on peut faire passer une ellipse et une hyperbole ayant pour foyei-s les deux points (i et C. Soient 2à et 2:j. les longueurs des axes transverses de ces deux courbes; on aura :
X* > c' > iJi'.
On tire de res équations :
l/(V — c') (c* — ijlM
Nous introduirons, 'au lieu des coonlounées x et y, les
Di^tizodbyGOOgle
variables X et ja, que l'on nomme les coordonnées elliptiques du point M.
Il faut voir ce que devient l'équation (2), ijuand on y introduit >, et n; on déduit aisément de (5) :
de tirfe X P^c* — [Ji' de
dX~cdx c(/x'c*''l''
rfe X ((6 ix Kx*^"? de
d'^ ~cdx f. J/^^I^t dp '
et, en résolvant ces deux équations par rapport à j- et ^ "
-, , dS , lyri j,/-i ide ,,-z — î,,j ide
'^(^ -t^Jdi?^^'^'- -'^^^'^ -«^ dx-»*^^ -'^ '^'=^-'* dil' d'où on tire, après réductions :
On trouve ensuite, en ayant égard à (5) :
(7) S t« - c)' + ff' = P- — l>)\ \ u ^ 0 ^ a' .
^ ' ( (* H- c)' + y' = (X + ((.)», I X — 1* X + [JL
En tenant compte de (6) et {7), l'équation (2) devient :
= 2 ) o (X + [Ji) + a' (X — li) + c (X* — V.') j.
Nous chercherons une solution de cette équation, de la Tonne :
L étant une fonction de X seul, M ne dépendant que de n;
396 COURS DK MËCANIQUt:.
en substituant dans (8), il viendra :
(-„.-.-)(^)--ÎM«*a')-.C>,. = -(c.-..,Q- + 2l*{a— a') — 2C:i'.
Les deux membres de cette équation doivent être égaux quels que soient >. et n, considérées comme variables indépendantes; le premier membre ne dépend que de X, le second que de i*,; donc, ces deux membres sont égaux à une constante H. Nous aurons donc :
(gy 2X(«-^«')-2CX' = H,
WJ^''"- / ^ÎC|i'-
ij..
/H + ÎX(o +
+ ÎCV^
) -iCf.-
i\ (,a + a') + iCV
-H + 2î*(a — a') — 2Cii» , ï ; au.
Cette fonction 9 contient deux constantes arbitraires C et H, elle vérifie identiquement l'équation (8) ; elle vérifienùt l'équation (2), si l'on y remplaçait X et ^ par leurs valeurs en ic et y ; c'est donc bien la solution cherchée ; les intégrales du mouvement seront, en vertu des équations (3) :
J KX' — c' |/H + 2X (a + o'} + 2 CX' ,
J l/c"— jj.» y^H + 2;j; (« — a') — ÎCl?
' |/«»— (ji» K— H + «i* (a — o') — 2C|ji'
Ces équations feront connaître X et \l en fonction de t, et (les quatre constantes C, c, H et /i; la dernière peut s'écrire :
<"'XW
y>^^^ ^H + 2X (fl + a') + 2CX'
Jii. |/c' — |x'l/-H + 2ïi(fl — a') — 2Cn»'
en désignant par X, et [ji, les valeurs initiales de X et (a; la constante h est ainsi remplacée par ti,; C est la constante (les forces vives; on aura, pour la déterminer, l'équation :
X„ — li. A, + Ito
La constante H se déterminera par l'équation
/dX\ y XI — c^ KH + 2X,(fi+ a')-hic}.l W/~ 1/?^=^ K-H+2|*,(o-o')-2c|i;'
déduite de (12); le rapport (t-I sera déduit de 1^1 • Itj-) ■
L'équation (12) est l'équation de la trajectoire; elle contient deux intégrales elliptiques; l'équation (10) en contient deux autres. (Pour plus de détails, voir Legendre, Traité des fonctions elliptiques.)
Remarque. — En désignant par r et r' les distances du mobile aux deux centres fixes, on a :
ÉqnaUoni oaiioiiii[nu.
