Nous avons trouvé les équations générales

^ ' dt \dq;) àqi ""

dans lesquelles T est une fonction de t, q„ q„ ..., t}t, 3,) 9xi ••-. 3*) 6t Iss Q( sont des fonctions des mêmes variables. Nous avons donc k variables, q et k variables q' ; nous allons faire un nouveau changement de variables, en posant :

âl dT dt

^^^ wr^" à7=^" ■■■' àï-r^'-

Nous garderons les variables q, mais nous remplacerons les variables q ' par les nouvelles variables p ; les équations (2) sont des équations du premier-degré relativement aux variables q' ; elles déterminent les j" en fonction des p et des q. En reportant dans T, nous aurons T en •fonction des p et des q, tandis qu'auparavant nous avions T en fonction des q et des q' ; nous distinguerons les dérivées partielles de T relatives aux g, dans les deux cas, en mettant des parenthèses lorsque T est considéré comme fonction des q et des q', et nous n'en mettrons pas dans l'autre cas. L'équation (1) s'écrira :

dlàq; \dq,l "

nous aarons ensuite

d'où:

Nous supposerons

les liaisons indépendantes du temps ;

Digitizeû by ^lOOQ IC

alors T est une fonction des q et des q', et nous aurons : ou bien, à cause de (2) :

ce qui peut s'écrire :

là'r\

i (T - Zm;) = 2 (|Î) d,, 2,; ip,.

a 1,1 — 2.pigi) = L

Posons

et nous aurons ;

/âT\

dK

= 2,;fr-2(|I)d,„

mais, K étant exprimé au moyen des p et des q, on doit avoir :

dK — l-r-dpi+l^- doi.

Opi dq, ^

On en conclut, en compat^nt les deux expressions de dK :

/dT\

(5) donne, en remplaçant q', par -J: :

'■'' dl dp,-

On conclut de (3) et (6) :

" \dqj - à,,'

Nous avons supposé les liaisons indépendantes du temps; alors T est une fonction homogène du second de^, relativement aux quantités g'. On a donc :

ÎT =

la formule (4) donnera -.

Les

équations (7) et (8

donneront donc

dp, dt

II?. âT dl - dp'

Supposons actuellement que les composantes X, Y, Z, ... des forces qui agissent sur les divers points du système, ne

contiennent pas les composantes des vitesses, -tt- ■■■' mais

seulement le temps t et les coordonnées x, y, z, ..., et qu'en outre il y ait une fonction des forces U pouvant contenir le temps; on aura :

(12) U = *((,î,?, ...ît);

on aura en outre, comme on sait :

Les équations (10) et (i1) deviendront :

rfg.dT At ~ dp'

dt ~" âqi ÔQi On peut les écrire comme il suit, en remarquant que U ne

Digltlzcil by ^lOOQ IC

contient pas les variables p :

m dp,

dt

<)(T-U) ip.

bien,

en

faisant

iq, dt dp,

On a ainsi les équations canoniques d'Hamilton.

H est upe fonction de t et des 2A variables q„ q„ ..., qt\ Pit Pij •••) Pt'f '^3 équations (13), dans lesquelles l'indice i reçoit les valeurs i, 2, ..., k, constituent un système de 2fc équations différentielles simultanées du premier ordre.

C'est Poisson qui a introduit le premier les variables p au lieu des variables q' ; mais il n'était pas arrivé à la forme simple (43), donnée pour la première fois par Hamilton.

Tbéarèm* d* JaeoU.

87. La détermination du mouvement d'un système de poihts matériels, quand les liaisons sont indépendantes du temps, et quand il existe une fonction des forces, indépendante des vitesses, mais pouvant contenir le temps explicitement, se ramène à l'intégration du système suivant d'équations simultanées :

dq, àH dq. àH ™ dl dp,' dt àp,'

dq. à»

■• dt-àp.

dp, dH. dp. àB ™ dl ~ dq,' dt " àq,' '

dp. dB

où:

en mettant en évidence les quantités qui figurent dans H, on peut écrire :

Voici en quoi consiste te théorème de Jacobi.

Supposons qu'on ait trouvé une fonction S de t, q„ q„ ..., q, et de n constantes arbitraires a,, a„ ..., a,; ces n constantes sont essentiellement distinctes de celle qu'on peut ajouter à S, sans cesser de vérifier l'équation (5) :

vérifiant identiquement l'équation aux dérivées partielles ci-dessous :

on voit que la fonction H qui figure dans cette équation, se déduit de l'expression (3) de.H, en y remplaçant;», par J-• îï, par ^ ' — Il arrivera donc que (4) étant substitjié dans (5),

on devra avoir une identité, quels que soient t, g„ q„ ..., q., a„ a„ ..., a,. Je dis qu'en désignant par b„ b„ ..., b. n nouvelles constantes arbiti'aires, on aura pour les inlé- , grales générales des équations (1) et (2) le système suivant :

= fr..

On voit qu'en portant l'expression (4) de S dans (6) et (7), les équations (6) donneront les p en fonction du temps, des q et des n arbitraires a„ a„ ..., a.; les équations (7)

àS

àS

dS

àS .

àS .

dS

■■• àa.

DTNAHIQUE. 403

donneront les q en fonction du temps et des 2n arbitraires a„ a„ ..., a„ 6„ fc„ ..., 6,. Donc, en somme, (6) et (7) déterminent les variables ^ et ç en fonction du temps et de 2n arbitraires. Il ne reste plus qu'à démontrer que ces fonctions du temps et des 2n arbitraires vérifient les équations (1) et (2), quelles que soient les valeurs attribuées à ces 2» arbitraires.

On tire de la première équation (7), en différentiant relativemeiit au temps : >

à*S à* S dq, d'S dg, __

âa, dt âa, dq, dt lïa, dq, dt "' '

J13 da, I

■,dt'^ da,\dgj dt '^ da,\dqj dt '*' '

ce qui peut s'écrire encore, en tenant compte de (6) :

d'S dp, dq, dp, dq, Ôp^ dq, .

da, dt'^ dJ, It '^ dâ,lt '^ "' '^ dâ.lt ~' '

On aura de même :

(8) I '^'S ^à p,dg, ^âpjdg,^ ^tt^^Q ] dOt dt da,di da, dt '" àa^ dt ■ '

<?'S dp, dq, dp, dq, dpt dq» .

àâ^t'^ dâ,!:! '^ dâ^lt '^ "' '^ dâ^li ~

Cest là un système Ile n équations du premier degré aux

dq, dq,

n mconnues- -—* — • -^•

' dt dt

D'autre part, on déduit de (5) et (6) que l'équation

Digitizeû by ^»OOQ IC

doit devenir identique, en y remplaçant S par sa valeur (4) et les variables p par leurs valeurs en fonction de t, des q et des a, tirées de (6); on pourra donc différentier l'équation (9) par rapport à chacune des arbitraires a„ ..., a,; ce qui donnera :

dt àtti âpiâa, dp,âa, '" àpnda,

(10) '. dt <Ja, dp, da, dp, i^o, "" dp, da^ ~ '

f d*S ^ àttdp, ^ dKâp, t^^~Q

\ dt da, dp,da àptào, '" . dp„da^

C'est là un système de n équations du premier d^ré

aux ninconnues^-'— >^; ce système est le même que (8);

les inconnues ont donc les mêmes valeurs dans les deux systèmes; ainsi, on a :

^ ^ dt~dp,' dt dp,' ■ ' at dp,'

Les équations (1) ont donc bien lieu.

Partons maintenant de l'équation

noua en tirerons :

dp, à'S â'Sdf, à'S dq,

dt ~<lq,àl àq', dt dq,dq, dt "

d'S. dq.

■ ^ àq, àq. dl

ou bien, en tenant compte de (Id) :

df, i-S à'Sda i»"S de 'di dq, il ' dq', dp, ' dq, dq, dp, '*' '

à'S àS ■■'*' dq,àq.d!.'

dbïGoOgIc

ce qui, en tenant compte de

£S ^ as dp, dq\ âg, àq^ dq,

dq, dq, agi àg, dg,

peut s'écrire ;

dt dq,dl àp,àg, àp^dg, '" àp,dqi

Or, on tire de (9), en différentiant par rapport à q, :

<?*S da dHdp, dHdpj ^^0

dtdq, dq, dp, dq, dp, dq, '" dp» dq,

En retranchant cette équation de (12), il vient :

dp,__dH dt ~" dq,'

Ainsi se trouve démontrée la première des formules (2); on démontrera les autres de la même manière. Le théorème de Jacohi est donc démontré.

Considérons en particulier le mouvement d'un point matériel libre, et supposons qu'il existe une fonction des forces U, indépendante du temps; on aura, comme on sait, les équations :

de ~ àx'

S'y dXS, ie et'

d'z àV

En posant

(li)

dt " •

il vient :