CHAPITRE PREMIER

1. GoDBidérationB générales. ~ Les fluides. — Pris dans toute leur complexité, les corps naturels sont inaccessibles aux mathématiques, qui ne peuvent s'appliquer qu'à des êtres idéaux géométriquement définis, rappelant sinon en totalité, du moins en partie, les caractères des corps naturels.

Mais il doit forcément arriver dans certains cas que les caractères que l'on avait négligés dans la construction du type géométrique, jouent à un moment donné un rôle important.

Le corps solide rigide, par exemple, dont les propriétés mécaniques ont été exposées dans le cours, rentre dans la catégorie de ces êtres abstraits dont nous parlons. Or, à l'occasion de l'indétermination des pressions d'un solide reposant sur plus de trois points d'appui, on a fait remarquer combien insuffisante était cette conception, au point d'entraîner des conséquences contradictoires avec les faits observés. C'est qu'il n'existe pas en effet de corps parfaitement rigide, pas de corps qui ne fléchisse et se déforme plus ou moins, même sous l'action de très petites forces.

N^ligeabies dans certains cas, ces déformations ont maintenant le rôle principal; et l'on sent alors la nécessité d'une conception nouvelle qui se substitue à celle du solide rigide, lor^ue celle-ci tombera en défaut. Or, c'est là le but que se propose la théorie de l'élasticité, qui a pour objet l'étude mécanique du nouvel être abstrait qui s'appelle le corps solide élastique. Mais, hâtons-nous de le dire, malgré sa conception plus large, le solide élastique a lui aussi un rôle limité, et il doit s'effacer .dans bien des cas, soit pour faire place à quelque autre conception abstraite, soit pour laisser le champ libre à l'empirisme; car dans un ordre d'idées qui touche de si près aux applications industrielles, les exigences de la pratique sont bien plus étendues que les développements de la théorie.

2. n y a notatoment une classe spéciale de corps qui s'écartent trop nettement des solides naturels pour que l'on puisse songer à prendre le solide rigide, ou le solide élastique pour base d'une première approximation, et où, tout au contraire, la grande mobilité des diverses parties, l'extrême facilité avec laquelle elles cèdent au moindre effort, ont conduit à cherchai- pour ces corps une première ' approximation dans l'hypothèse d'une mobilité absolue, et d'une essentielle instabilité de forme.

Il n'y a pas cependant non plus de liquide, ni de gaz qui n'oppose une certaine résistance aux déformations; mais, la faiblesse de cette résistance justifie la conception du fluide, tout aussi bien que la petitesse des déformations des solides naturels justifie celle du corps parfaitement rifpde.

A vrai dire d'ailleurs, nous n'avons pas à justifier ici ces diverses conceptions; pas plus que l'on n'a cherché à justifier les principes fondamentaux qui servent de base à la. mécanique. Nous nous bornerons à donner une défini-

tion claire et précise des fluides, et à en développer ensuite les conséquences légitimes.

3: Définition do fluide. — Un fluide sera donc pour nous un système de points matériels extrêmement voisins, agissant les uns sur les autres, de telle sorte que dans leurs déplacements relatifs, ils glissent entre eux sans qu'il en résulte de frottement. Cette expression de glissement sans frottement demande à être expliquée, et acquerra plus loin une s^niflcation très précise.

4. Principe de la solidification. — Tirons d'abord parti de ce qu'un fluide est un système de points matériels, et appliquons le principe suivant de la statique :

Lorsqu'un système de points matériels est en équilibre, . on peut, sans troubler l'équilibre, introduire des liaisons compatibles avec la figure d'équilibre.

Nous pourrons donc, dans nos raisonnements,, supposer qu'une partie du liquide est solidifiée, c'est à dire que les points matériels qui le composent, se trouvent invariablement reliés entre eux, aux distances mêmes de la position actuelle d'équilibre.

5. PreBBÏon. — Envisageons donc un fluide et prenons tous les points matériels du système, répartis sur un élément superficiel inflniment petit d'aire u, élément que nous pouvons supposer plan. Solidifions le système ainsi obtenu. Tout le fluide situé d'un même côté du plan de l'élément exerce une action sur chacun des points de cet élément, et toutes ces actions, qui, en vertu de la continuité, sont très peu inclinées les unes sur les autres, se composeront en une force P, du même ordre infinitésimal que w, appUquéé en un point quelconque 0 de l'élément, et en un couple d'iîn ordre infinitésimal de deux unités plus élevé. On ne

412 COURS DE UËCANIQUE.

tient pas compte du couple, et il ne reste que la force P qui est Impression totale sur l'élément u.

p Le quotient - a reçu le nom de pression rapportée à

l'unité de surface ou simplement de pression.

6. Direction de la preesion. — La composante tangentielle de la pression totale, c'est à dire ga projection sur le plan de l'élément, rat regardée comme représentant l'action tangentielle du fluide sur cet élément. Or, si les glissements doivent s'effectuer sans frottement dans le fluide, cette action tangentielle ne peut exister, et la signiiication précise de l'expression de glissement sans frottement qui figure dans la définition du fluide, consiste justement en ce que la composante tangentielle de la pressioo est nulle.

Nous admettrons donc comme un fait découlant de la définition même du fluide que :

La pression est normale à l'élément pressé.

7. 11 semble au premier abord qu'il y ait lieu de considérer deux pressions sur un élément, à savoir ceUe qui provient de l'action du fluide situé d'un côté A de l'élément' et celle qui provient du côté opposé B.

Pour élucider ce point, cherchons les conditions de l'équilibre de translation du système solidifié u, et appelons, comme précédemment, P la pression exercée par la portion A, Q celle qui est exercée par la partie B.

L'élément u est en équilibre sous l'influence de P, de Q et de la résultante des forces extérieures, qui comprennent les forces d'inertie s'il y a lieu. Cette résultante qui est de l'ordre de la masse, c'est à dire du volume, est donc d'un ordre infinitésimal, supérieur à celui de P et de Q, en sorte que la condition d'équilibre de translation consiste en ce que P et Q sont égales et contraires.

Ce fait est tout à fait analogue à celui qui se présente dans la définition de la tension des fils flexibles et inextensibles. U nous montre que lorsque nous parlerons de pression totale, il faudra toujours préciser le sens dans lequel agit cette pression.

8. Problème de l'hydroBtatiqae. — Nous-pouvons maintenant énoncer le problème fondamental de la statique des fluides ou hydrostatique.

Déterminer en tout point d)t fluide et pour une orientation quelconque d'un élément décrit autour de ce point la pression correspondance.

Soient a;, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point A; a, 0, y les cosinus des angles que fait avec les trois axes la normale au plan d'un élément entourant le point A.

Le problème consiste à exprimer la pression en fonctidn de X, y, z, a, p, y, lorsque l'on connaît les forces extérieures qui agissent sur les points matériels dont ge compose le fluide.

9. SimpliUcation du problème. — Or, et c'est là un fait bien remarquable, la fonction cherchée ne dépend pas de «, P, Y, c'est à dire de l'orientation du plan de l'élément,

• en sorte que la pression varie seule-

r\~ y^ ment avec le point autour duquel l'élé-

^x/ ment se trouve décrit.

Pour démontrer ce théorème important, envisageons deux éléments passant par un même point A, et dont les plans BAC, BAD se coupent suivant la droite riq.2ÎO ^-l/ AB: avec ces deux plans, avec deux autres plans perpendiculaires à AB, iniiniment voisins, et un cinquième parallèle à cette droite et également incliné sur les deux premiers, formons un prisme

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droit isocèle infiniment petit ayant en A un sommet. Solidifions tous les points du fluide intérieurs à ce prisme, et remarquons que les pressions totales, agissant sur les Ëices de l'extérieur à l'intérieur, et les forces extérieures doivent se faire équilibre sur le prisme solidifié. Projetons alors sur la droite CD les pressions et les forces extérieures, qui comprennent les forces d'inertie s'il y a lieu. En appelant P la pression totale sur la face BAC, Q la pression totale sur la face BAD, et F la projection sur CD de la résultante des forces extérieures, il faudra avoir, « étant l'angle ACD, lequel est égal à ADC :

Psina — Ûsina-FF = 0.

On remarquera que P et Q étant de l'ordre des faces sont du second ordre, tandis que F est de l'ordre du volume, c'est à dire du troisième ; si l'on désigne alors par u, la valeur commune des aires égaies BACE, BADF, on aura, après division par u sin a :

ce qui exprime que la pression par unité de surface, ou simplement la pression, est la même pour tes deux orientations d'éléments BAC et BAD prises quelconques autour du point A.

Ainsi se trouve démontrée la proposition importante sur laquelle se fonde la simplification que nous avons énoncée. Il ne reste donc plus qu'à trouver la pression en fonction des coordonnées du point (x, y, z) par où doit passer l'élément pressé.

10. ÉqnationB de l'hydroBtatiqne. — Pour résoudre ce problème, enfermons dans un parallélipipède infiniment

petit, dont les arêtes soient parallèles aux axes, une masse

de fluide et solidifions-la.

Le solide ainsi obtenu doit' être en équililibre sous l'influence des pressions totales qui s'exercent sur les faces de l'extérieur à l'intérieur, combinées avec les forces extérieures qui agissent sur chaque point matériel de la masse.

Exprimons donc que la

Fig.27I somme des projections sur Ox de ces différentes forces

Soient (ic, y, z) les coordonnées du sommet A, le plus rapproché de l'origine, et a, 6, c les longueurs des arêtes AB, AC, AB. Bésjgnons aussi parp la valeur de la pression au point (x, y, z). En un point infiniment voisin (aï -|- Bx, y -\-iy, z + 8î), la pression aura pour valeur :

dx

dg

àz

■ en particulier, au point B elle sera :

àp p -t- , - a.

Or, les seules pressions totales qui ne soient pas rectangulaires avec Ox, sont celles qui s'exercent sur les (aces ACB'D, BD'A'C. Elles se projettent d'ailleurs en vraie grandeur, et en mettant les signes en évidence, la pression totale sur la première Êice donne :

p.ftc, et la pression totale sur la seconde :

416 COUHS DE Ml!:CANlQUE.

d'où finalement, pour la somme des projections sur Ox des pressions' :

— -— ■ abc.

àx

D'autre part, la projection sur Ox de la résultante des forces extérieures peut se représenter par

\ dm,

où dm désigne la masse totale du fluide renfermé dans le parallélipipède. On a donc l'équation.:

— ^ aftc + X rfm = 0, ox

ou encore ;

dp dm dx-Wc

Et en opérant de môme pour l'axe Oy et l'axe O2 :

dp dm y dy abc '

Maintenant on remarquera que le quotient de la masse dm d'un volume élémentaire par ce volume n'est autre que la densité p du fluide, en sorte que les équations précédentes s'écrivent ainsi :

dx '^

I ày~ dp

H. Il importe d'ajouter que ces équations suffisent pour traduire l'équilibre des pressions et des forces extérieures

qui agissent sur le parallélipipède. On se représente en effet !a force extérieure comme appliquée en un point I intérieur au parallélipipède, et l'on peut supposer la pression totale sur chaque face appliquée au point suivant lequel le point I se projette sur cette face.

Toutes les forces que l'on considère sont alors concourantes au point I, et les équations (1) suffisent pour traduire leur équilibre.

Il en résulte que les équations ("i), si elles sont 'vérifiées en un point quelconque du fluide, assurent l'équilibre de toute la masse.

12. Suriaces de niveau. — Les trois équations (1) contiennent la solution générale du problème de l'hydrostatique. Elles se résument dans la suivante :

(2) dp = p{Xdx + y dg + Z dz);

c'est à dire que l'expression Xdx + Ydif + Zdz peut être rendue intégrable par l'introduction d'un multiplicateur, et que la densité p est l'un de ces facteurs intégrants.

Appelons donc U (x, y, z) une fonction entièrement détermivée, admettant p(Xda; + Ydj/ + Zdz) pour différentielle totale ; l'équation (2) nous donne :

où C est une constante que l'on déterminera en se donnant la pression p, en un point x„ y„ z,. La constante étant supposée déterminée, nous pourrons la faire rentrer dans la fonction U, et nous aurons :

Le problème de l'hydrostatique sera donc entièrement résolu lorsque l'on connaîtra la fonction U. Nous reviendrons plus loin sur sa détermination, mais nous allons Despeïrous. — Mécanique. II. 27

présenter tout d'abord quelques considérations sur les surfaces de niveau.

Le lieu des points pour lesquels la pression est la même est une surface représentée par l'équation :

U (X, ]f,z)=p=: constanle.

Les diverses surfaces que l'on obtient ainsi, ont reçu le nom de surfaces de niveau.

Par toOt point du fluide il passe une surface de niveau, lieu des points pour lesquels la pression est la même qu'en ce point. J'ajoute que :

En tout point du fluide, la force extérieure est normale à la surface de niveau qui passe en ce point.

Les cosinus directeurs X, ji, v de la force ont en effet pour valeur:

KX'-t-Y'+Z' k'X'4- Y'+Z* |/X'4- Y'+Z'

D'autre part, les cosinus directeurs d'une des deux directions de la normale à la surface de niveau sont égaux à

dx dy

et comme l'on a :

ces expressions coïncident avec les expressions (4).

13. Dérivée de la pression suivaot une direction. — Ce théorème peut être complété de la façon suivante :

Remarquons que la pression variant avec x, y, z, la différentielle de sa valeur quand on" passe du point P (x, y, z) au point P' {x -+■ dx, y + dy, z + dz) a pour expression, en vei'tu de l'équation (2) :

dp = pXdx -h pY dy -i- pZdz.

Soit ds = i^dx* + dy^ •+- dz* la différentielle du déplacement PP' : le quotient -j- a reçu le nom de dérivée de la pression suivant la direction PP',

Désignons pur a, g, y les cosinus directeurs de cette direction, on a évidemment :

a=— , St=— , V — ^, ds' ds' ' ds'

Représentons par pF ^ p l^X' + Y' + Z* la force extérieure, on trouvera, en vertu des équations (4) ;

^ = pF (X» + ix? + vt);

ou enfin, 6 étant l'angle du déplacement PP' avec la direction de la force :

(5) ^=pFcosO.

Si l'on représente la dérivée de la pression suivant PP' par un sèment PQ égal à ^> porté dans le sens PP' si dp est positif, et en sens inverse si dp est négatif, on peut intei'préter ainsi l'équation (5) :

La dérivée de la pression suivant une direction est égale à la pi-ojection de la force sur cette direction.

Prenons en particulier pour direction du déplacement celle de la force extérieure ; en désignant par ^ la dérivée correspondante, on a :

Comme pF et An sont positifs, dp est positif.

Or, lorsque l'on s'éloigne d'une surface de niveau, p augmente ou diminue suivant le côté de la surface où s'effectue le déplacement; et l'on peut alors ajouter :

Non seulement la force extérieure en un point est normale à la surface de niveau qui y passe, mais encore :

i" Elle est dirigée du côté- de cette surface où la pression augmente;

2° Elle a pour valeur la dérivée de la pression prise normalement à la surface de niveau suivant cette direction.

Ce théorème renferme les équations (1), qui résultent aussi de l'application de la formule (5) aux trois directions des axes de coordonnées.

Ce théorème offre la même utilité que celui qui exprime les projections de la force sur la tangente et la normale principale dans le cas du mouvement d'un point matériel. Il permet d'écrire les équations de l'hydrostatique dans un système quelconque de coordonnées.

14. DiBCOBsion générale des éqnatioQB de l'hydrostatique. — Kous devons actuellement reprendre les équations générales de l'hydrostatique et montrer ce qu'il faut faire pour en déduire une solution effective du problème - proposé.

Nous supposerons X, Y, Z donnés en fonction de x, y, z; et nous voyons tout d'abord que ces trois fonctions ne sauraient être prises arbitrairement. Il faut en effet que

)yGoogIc

l'expression \dx + Ydy + Zdz admette un facteur inté- ^ grant, ce qui exige que l'on ait :

Supposons donc cette condition remplie, et elle est néces. saire pour que l'équilibre soit possible, alors tl existera une fonction 6 de x, y, z qui rend l'expression 8 (Xdx + Ydy + Zdz) une différentieile exacte dV, en sorte que :

(8) ^{\dx + Ydy + Zdz) = d\,

où V est une fonction de x, y, z.

On sait qu'il existe une infinité de facteurs intégrants ef qu'ils sont tous compris dans l'expression

où /"(V) est la dérivée d'une fonction arbitraire de V; et l'on aura :

e f (V) (X dx + Trfy + Z dz) = f (V).rfV = rf/(V).

Puisque, d'après l'équation (2), la densité p doit être un facteur intégrant, il faudra que pour une certaine détermination de la fonction /"{V) l'on ait :

D'ailleurs, quelle que soit la fonction f{W), les équations (9) vérifient les équations (1), et par conséquent la solution générale de ces équations comporte une fonction arbitraire.

Nous remarquerons tout de suite que puisquep=const., ou /"(V) = const. est l'équation des surfaces de niveau, l'équation de ces surfaces peut encore s'écrire :

V = const.

.i22 COURS DE MÉCANIQUE.

et Lomnie la fonction V est déterminée, il en résulte que les surfaces de niveau se trouvent parfaitement déterminées indépendamment de la fonction fÇV).

Mais l'on ne connaît pas la loi de distribution de la densité dans le fluide, et l'on ne sait pas non plus rattacher à chaque surface de niveau une valeur déterminée de la pression.

Voilà donc deux problèmes qui restent à résoudre et dont la solution est uniquement subordonnée à la détermination de la fonction f{\).

15. CoBdition complémentaire. — Il nous manque une condition susceptible de déterminer cette fonction inconnue. On trouve cette condition dans une hypothèse compîém^ taire que l'on fait sur les fluides, et qui consiste en ce que une relation donnée à priori existe toujours entre la pression et le volume, ou, ce qui revient au même, entre la pression et la densité.

Cette relation peut prendre une infinité de formes; chacune d'elles caractérise une classe particulière de fluides.

16. Solution complète du problème lorsque l'on connait une condition complémentaire. — Remarquons d'abord que le fait de l'existence d'une relation complémentaire teUe que

entraîne, eu ^ard aux équations (9), les relations :

or(V) = FO') = Ft/-(V)];

en sorte que 0 est une simple fonction de V. Il en résulte

rfV que -r- est une différentielle exacte, c'est à dire, en se

reportant aux équations (8), que \dx + Yrfy + Zdz est une difl'érentielle exacte.

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HYDROSTATIQUE. 4ïi3

D'ailleurs, réciproquement, si Xdx 4 Ydy 4- Zds est une dilTérentielle exacte, on peut dire que ô ^ 1 est un facteur intégrant; les équations (9) se réduisent à :

ce qui montre que p est une simple fonction de p.

Supposons donc comme d priori cette relation (10), et prenons alors 0 ^ i, ce qui est permis, ainsi que je viens de le montrer. Les équations {&) se réduisent à la forme (dl) .

Les, équations (10) et (11) résolvent entièrement le problême, car on déduit des équations (11) :

e = rVf) =

dp 'dy

et de l'équation

if

d'où:

dp

fCp)

+ const.

Cette équation donne une relation entre V et p, c'est à dire détermine- la fonction f{\). Le problème est ainsi entièrement résolu.

Si l'on veut connaître la distribution de la densité, la formule (10) y suffira, car elle donne p en fonction de p qui est une fonction connue de V, c'est à dire de x, y, z.

17. Détermination de la constante. — Il importe encore de faire obser\'er que la solution comporte une constante arbitraire C. Pour la déterminer, on devra se donner la pression p, en un point x„ y„ z, du fluide, et la formule (12) deviendra :

18. TransmÏBBion des preeBiooB. — Cherchons à nous rendre compte de ce qui se passerait au sein du fluide si l'on faisait varier cette constante C, ou si l'on supposait que la pression en x„ y„ z, fût devenue p, 4- Sp,.

En désignant par p + Sp la pression nouvelle au point {x, y, z), nous aurons, en vertu de l'équation (12)' :

OU, en tenant compte encore de la relation (12)' :

p rf£ Çf-sp rf£ X. F(p)~J,.+îi.. F(p)'

c'est à dire :

8p îp.

OU, en mettant en évidence les densités :

■ pp.

De là ce théorème :

Dans un fluide les variations de pressions se transmettent en chaque point proportionnellement à la densité.

19. Fluides incompressibles. — Liquides. — Ceci nous amène naturellement à distinguer deux cas fondamentaux dans la forme de la fonction F(p). Un premier cas sera celui où cette fonction se réduit à une constante, et où, par conséquent, la densité reste la même dans toute la masse. La densité et, par suite, le volume sont indépendants de la pression dans de pareils liquides, on les appelle pour ce motif incomprensibles. Les corps naturels qui trouvent dans ces fluides l'image la plus parfaite de leurs propriétés sont ceux que l'on appelle vulgairement des liquides. En se

reportant à la formule {i'A), puisque dans de pareils fluides on a p = p„ il en résulte que Sp = Sp„ c'est à dire :

Dans les fluides incompressibles les variations de pression se transmettent intégralement.

20. Fluides compressibles. — Gaz. — Pour toute autre détermination de la fonction F, la densité et le volume varient avec la pression; le fluide est alors compressible.

Le cas le plus important, et en même temps le plus simple, est celui où la densité est proportionnelle à la pression

La constante a caractérise chaque fluide compressible de c£tte famille. Les corps vulgairement appelés gaz, pourvu qu'ils se trouvent éloignés de leur point de liquéfaction, sont ceux dont cette hypothèse représente le mieux les propriétés.

Dans les fluides compressibles, les variations de pression ne sauraient se transmettre intégralement.

Il y a cependant un cas où cette transmission aurait lieu, c'est celui où la pression serait constante dans toute la masse.

Mais il faudrait alors qu'aucune force extérieure ne vînt agir sur le fluide, car les équations .(1) donnent, puisque p est constant :

Ce cas se trouve fort à peu près réalisé par une masse gazeuse enfermée dans une enceinte suffisamment petite pour que l'on puisse négliger l'action de la pesanteur. Il existe même une expérience classique qui a pour objet de démontrer dans ce cas l'égale transmission des pressions.

21. Principe de Pascal. — C'est au principe de la transmission des pressions dans un fluide incompressible que se

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rattache le principe de Pascal. Deux surfeces planes S et S', faisant partie de la paroi qui limite le fluide, et que nous supposerons contenues dans deux surfaces de niveau, éprouvent les pre$iions totales

S.p et S'.p',

où p et p' sont les pressions relatives à chacune des deux surfaces de niveau. Si l'on exerce de l'extérieur du fluide sur la première surface une action équivalente à une variation S ip de la pression totale, il en résultera sur l'autre surface une variation S' Sp de la pression totale, puisque la variation 3p se transmet intégralement.

Si la surface S est 100 fois plus petite que la surface S', la pression totale supportée par la surface S' sera iOO fois plus grande que la pression totale exercée sur la surface S.

C'est le principe tel que Pascal lui-même l'a énoncé ; il a servi de base à l'invention de la presse hydraulique, dont l'usage si répandu s'étend jusqu'à certains appareils de précision destinés à enregistrer de fortes pressions.

Nous avons supposé les deux surfaces S et S' situées chacune dans une surface de niveau. Mais toute surface plane S peut être décomposée en bandes infiniment étroites par des surfaces de niveau infiniment voisines ; sur chacune de ces bandes on peut regarder ta première par unité de surface comme constante, et répéter pour chacune d'elles le raisonnement précédent. On arrive aux mêmes conséquences.

Ajoutons enfin que le principe de Pascal s'étend" aux fluides compressibles, lorsque le premier est ou peut être considéré comme constant dans toute la masse.

22. RemarqneB génârales sur les surfaces limites. — Le problème général que nous avons résolu, à savoir la détermination de la pression en chaque point, contient la solution

de plusieurs questions, dont deux sont particulièrement importantes. La première consiste à déterminer l'action que le fluide exerce sur une surface solide finie qui le limite. Nous traiterons seulement dans un cas particulier cette première question, à propos des liquides pesants. La seconde concerne les surfaces limites du fluide, quand ces surfaces le séparent non plus d'un corps solide, mais d'un autre fluide, ou même du vide absolu. Bans ce dernier cas, la surface porte le nom de surface libre.

Toute iurface libre est une surface de niveau; car, puisqu'il n'y a pas de solide ni de fluide balançant extérieurement la pression que le fluide exerce de l'intérieur sur un élément de cette surface libre, il faut que cette pression soit nulle. La surface libre appartient donc à la surface de niveau :

Supposons maintenant qu'il s'agisse de la surface de séparation de deux fluides. Il est clair qu'en chaque point de cette surface la pression sera la même pour les deux fluides.

Si nous appelons p la valeur de la pression en un point P de la surface de séparation, et dp la variation de cette pression qui correspond à un déplacement PP' = ds sur cette surface, 6 et fl, les angles que font avec PP' les forces qui agissent sur le point P considéré successivement comme faisant partie du premier et du second fluide, pF, p,F, ces forces elles-mêmes, on doit avoir d'après la formule fondamentale (5) :

■J- =p¥ cos fl, -fi= p.F, cos 6,,

pFcosO= p,F, cos 9,.

Ceci exprime que les deux forces pF et p,F, ont même

42o COURS DE MECANIQUE.

projection sur toute direction prise dans un plan tangent en P à la surface de séparation ; c'est à dire que ces forces se projettent suivant le même segment sur ce plan langent, ou encore :

La différence géométrique des deux forces pF, j5,F, qui agissent sur le point P, considéré comme faisant partie successivement des deux fluides, est parallèle à la normale euP à la surface de séparation.

Pour que la surface de séparation soit une surface de niveau dans les deux fluides, il est donc nécessaire et suffisant que l'on sache à priori qu'en tout point P de cette surface la direction de la force p, F, est la même que celle de la force pF. Ce fait se présente en particulier si les deux fluides sont soumi§ à la même force extérieure, par exemple, la pesanteur, et l'attraction par les mêmes centres, ou en vertu d'un même potentiel.

Enfin, ce fait se produira encore si l'un des fluides n'est soumis à aucune force.

Il est clair que ce qui précède ne doit pas s'étendre aux gaz; ils se diffusent les uns dans les autres quand on les met en présence. Mais les liquides en contact entre eux ou avec un gaz suivent la loi précédente.

Nous écartons ici tout effet dû aux variations de température, ou aux actions chimiques.

Nous n'ajouterons rien aux généralités qui concernent les formules de l'hydrostatique, et nous allons aborder l'étude spéciale des différents problèmes particuliers.

Statiqns des fluides peianti.

23. La pesanteur doit être considérée comme gardant une direction constante, lorsqu'il s'agit de déplacements peu considérables à la surface de la terre. Les surfaces de niveau seront donc des plans horizontaux. Les surfaces

D.g,tizocbyGeiOgIc

libres, les surfaces de contact dç deux fluides pesants seront fies plans horizontaux, pourvu, bien entendu, qu'aucune autre force n'intervienne.

Si nous comptons positivement vers le haut les distances verticales z des plans horizontaux au-dessus d'un plan horizontal fixe, en appliquant la formule (6) du numéro 13, et remarquant que la force agit dans le sens des z décroissants, on aura :

p désignant la densité et g l'accélération constante due à la pesanteur. Nous distinguerons deux cas, suivant que nous aurons affaire .à un fluide incompressible ou à un fluide compressible.

Fiai des incompreaiiblea peianta.

24. Dans le cas des liquides, la formule (1) donne par intégration, en remarquant que p est constant :

on sait qu'il faut, pour la détermination complète du problème, se donner la pression p, qui coiTespond au niveau z,.

La formule (2) est susceptible d'une interprétation très simple. Remarquons d'abord que des éléments superficiels égaux décrits autour d'un même point P éprouvent la même pression totale.

Considérons alors un cylindre découpant dans deux plans horizontaux z et z, des éléments w et w,, évidemment égaux et entourant l'un le point P, l'autre un point P.. Les pressions totales sur ces deux éléments se représenteront par pw et p,w„ oup.u puisque u, = u; leur différence (p — p,) « s'exprimera, d'après la formule (2), sous la forme :

pS-Cî, — 2)«.

En sorte que l'on peut énoncer le théorème suivant : La différence des pressions totales sur deux éléments superficiels égaux, infiniment petits, est égale au poids d'un cylindre de liquide qui aurait pour base l'un des , éléments et pour hauteur leur distance verticale.

25. Plan de charge. — La formule (2) où l'on fait p = 0 donne:

Il existe donc un plan hoiizontal z, tel que si le liquide l'atteint, la pression y' est nulle. D'ailleurs en introduisant cette valeur dans l'équation (2), on trouve :

ce qui prouve que le liquide ne peut s'élever au-dessus de ce niveau. On remarquera sur la formule (2)' que tout se passe, au point de vue des pressions^ comme si le liquide avait une surface libre dans le plan c,. Ce plan a reçu le nom de plan de charge.

Dans la réalité le plan de chaîne n'est jamais atteint par le liquide, car sa surface prétendue libre n'est autre que celle qui le sépare de l'air ambiant, ou de tout autre gaz avec lequel il est en contact et dont la pression n'est jamais nulle.

Si l'on désigne par ; la distance au plan de charge, comptée vers le bas, d'un point quelconque du fluide, ta pression en ce point s'exprime par la formule

(2)' P = pg^-

On voit que la pression sur un élément infiniment petit quelconque se représente par le poids d'un cylindre de liquide ayant pour base l'élément et pour hauteur sa distance au plan de charge.

D,g,tizccbyG00gIc

C'est une forme particulière du théorème précédemment énoncé.

26. PreBBÏoa sur une paroi. — Profitons d'un résultat si simple pour essayer de résoudre un problème que nous n'avons pas traité dans le cas générai :

Trouver l'action du fluide sur une paroi solide.

.Prenons le cas d'une surface courbe quelconque. Considérons un point M sur cette surface, un élément w décrit autour du point M, et soient a, % 7 les cosinus directeurs de la normale en M dirigée vers l'extérieur du liquide. On a pris pour axes une verticale OC dirigée vers le bas, et deux horizontales OÇ, Ot; rectangulaires dans le plan de charge. Les projections de la pression totale et ses moments seront respectivement :

p»a, pwg, pu-f, pw(»ii:— ÏW, pwKa — Çy), pw(Çp — 15a).

Si l'on prend la somme de ces projections et de ces moments, on trouve pour les six coordonnées du système de forces qui s'exerce sur la paroi, considérée comme un corps solide :

A=//p..., B=//pp.., c=jg-pv..,

l.=jJp(.iï-5B.u), M=jjp(i;.-Er)-".

N=jJp(W-l»).u.

Ces équations sont applicables au cas le plus général de l'hydrostatique. Mais ici on connaît p en fonction de î, en sorte que l'on a, eu égard à l'équation (2)' ;

L = pjjjc (lï - «) », H = psrjfJi;(;.-;v),o,

N = fj,JJ";(;e-i.)».

Les intégrales doivent être étendues à tous les éléments de la paroi pressée.

I^ système fini de forces qui est équivalent au système intégral de toutes les pressions ne se réduit pas généralement à une seule force. Il faudrait pour cela que l'équation

AL +BM + CN = 0 '

fût vérifiée.

27. Cas d'une paroi plane. — Prenons le cas simple d'une paroi plane ; toutes les pressions sont parallèles et se composent en une seule, appliquée normalement en un de ses points il. Le point Q est le centre de pression. Quant à la pression totale, elle est évidemment la somme des pressions élémentaires.

Adoptons pour axes :

Ox, intersection du plan de la paroi avec le plan de charge;

Oy, perpendiculaire à Ox dirigée vers le bas;

Oz, perpendiculaire au plan de la paroi.

Appelons 8 l'angle que fait Oy avec sa projection horizontale, angle qui mesure le dièdre formé par la paroi et le plan de charge. On aura évidemment, Ç conservant sa signification précédente :

i; = y sin 0, et la pression s'exprime ainsi :

p = p?sm6.y; d'où, pour la somme des pressions :

p =jTpu = pg sin ojjyw.

Soient x„ y, les coordonnées du point Q, centre de pression. La théorie ordinaire des forces parallèles nous

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Ces formules montrent que le centre de pression coïncitJe avec le centre de. percussion de la paroi, lorsque l'on prend pour axe l'intersection de son plan avec le plan de charge.