Ainsi, dans le cas du cercle on trouve

1" Que la pression totale est égale au poids d'un cylindre de liquide ayant pour base le cercle et pour hauteur la distance de son centre au plan de charge ;

2o Que le point Û est sur le diamètre perpendiculaire à t'axe, au delà du centre, et à une distance du centre égale à une troisième proportionnelle entre la moitié du rayon et la distance du centre à l'axe. En sorte que le point û est le symétrique, par rapport au centre du cercle, du pôle de l'axe par rapport à un cercle concentrique au précédent et de rayon moitié.

Le cas d'une paroi elliptique est identique au précédent. On trouve :

1° Que la pression totale est égale au poids d'un cylindre de liquide qui aurait l'ellipse pour base et pour hauteur la distance du centre au plan de charge ;

!2^ Que le centre de pression est le symétrique par rapport

DESPGTROl'a> — iléeanique. II. 23

au centre de l'ellipse du pdie de l'axe par rapport à une

ellipse homothétique et concentrique à -la première, le

rapport d'homothétie étant ô*

29. On peut ramener la recherche du centre de pression à celle d'un centra de gravité.

Considérons en effet un point M de la paroi plane et élevons une perpendiculaire à cette paroi, dont la longueur MM' soit égale à la distance du point M au plan de chai^. Le lieu dû point M' est un plan, en sorte que si le point décrit toute la p^roi, la droite MM' engendre un cylindre tronqué dont la paroi elle-mêrae constitue la section droite de base. Si l'on plaçait verticalement ce cylindre, supposé rempli de liquide, chaque élément u de sa, base supporterait une pression P, identique d'une part avec la pression que ■ cet élément subit effectivement dans le liquide, et d'autre part aussi identique avec le poids de la colonne du cylindre tronqué qui correspond à l'élément. La résultante de ces pressions doit donc passer par le centre de gravité du cylindre tronqué, et Ton voit alors que le centre de prasion n'est autre que la projection sur le plan de la paroi du centre de gravité du cylindre tronqué construit comme on Va déjà expliqtié.

Cette remarque établit un nouveau lien entre le problème des centres de pression et les théories déjà développées, en montrant en même temps qu'il existe une relation étroite entre la recherche des centres de percussion et celle des centres de gravité.

On peut, en se plaçant à ce point de vue, chercher la pression sur une paroi rectangulaire ABCD dont deui côtés AD et BC sont hoiûzontaux. Si l'on élève les perpendiculaires AA' et BB' respectivement égales aux dislances des horizontales AD et BC au plan de charge, le tronc

cylindrique correspondant peut, être considéré comme un prisme droit ayant ses arêtes horizontales et parallèles à âD et dont la base est le trapèze AB B'Â'.

Si l'on considère la section di-oite MN N'M', équidistante ' des bases, on voit que le centre de gravité de cette section est aussi celui du prisme. Il suffit donc de trouver la projection sur MN du centre de gravité du trapèze MN N'M'. On trouve ainsi que Û divise MN dans le rapport :

ûM 2 bb' + rs'

ÛN 2AA'+BB'

30. Corps flottants. — Principe d'Archimède. — L'étude de l'action du liquide sur une paroi contient celle des corps Qottants.

Mais dans ce cas les conditions du problème conduisent à une simplification remarquable qui consiste en ce que les pressions se composent dans une force verticale unique.

CoiuervoQS les notations du numéro (26). Les compo-

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4î)6 COURS DE yÉCANIQUE.

santés des pressions suivant une même horizontale se détruisent deux à deux comme il est facile de le montrer.

En effet, un cylindre parallèle à l'horizontale Ç, par exemple, et circonscrit à l'élément u, ayant pénétré dans le corps flottant suivant cet élément, doit en sortir suivant un second élément u', qu'il découpe dans la surface immergée. Les deux éléments u et u' sont sur le même niveau, et par suite la pression p par unité de surface y est la même.

Les composantes suivant OÇ des deux pressions totales seront :

apia, a'pb)',

en désignant, comme au numéro (26), par a et a' les cosinus des angles de ces pressions avec l'axe 0$. On remarquera que ces deux cosinus sont nécessairement de signes contraires; de plus, si nous appelons <s la section droite du cylindre, comme a est !a projection des aires u et w', on aura en valeur absolue :

en sorte que les deux composantes précédentes ont la môme valeur absolue ps; elles sont d'ailleurs opposées l'une à l'autre, et puisqu'elles ont même ligne d'action, leur effet sur le corps solide est nul. Toutes les composantes horizontales des pressions totales élémentaires se détruisent ainsi deux à deux, et le corps reste soumis seulement à leurs composantes verticales.

Reprenons aloi-s le même élément u que tout à l'heure, et construisons de même un cylindre vertical infmiment petit pénétrant dans le corps suivant l'élément. Soit a sa section droite. Le cosinus y de l'angle que fait avec la verticale la pression totale supportée par l'élément a pour valeur

selon que la projection verticale de la pression est dirigée vers le bas ou vers le haut. Cette projection verticale se représente donc par

suivant le cas.

Or, envisageons une verticale traversant l'élément u ; elle peut traverser la surface du corps immergé en plusieurs points que nous supposerons rangés par ordre de profondeur croissante, M, M,, M„ etc. Je désignerai par p,p„p„ ... les pressions aux niveaux correspondants; et par 10 6> (i> ... les élc' niants que le cylindre vertical infmiment petit découpe autour de ces points. Supposons, pour fixer les idées, qu'en se déplaçant à partir de M dans le sens Oc on sorte de la surface; on y rentrera en M„ pour en sortir en M„ etc. La composante verticale de la pression totale sera donc négative pour le premier élément u, positive pour u,, etc., et toutes ces forces qui ont même ligne d'aclion se composeront en une seule représentée par la somme :

-pa + Pi3— Pi^t — = (—

Soient i;, !;„ C» ••■ les distances des points M, M„ M„ ... au plan de charge, on a :

d'où, pour la somme des composantes verticales des pre»-

438 COURS DE MËCàKIQUE.

sions élémentaires :

' P!/ (- C + K„ X,, -.) » = - PJ LU + (C - t.) o + -..].

On reconnaît dans la quantité entre parenthèses la somme des cylindres que notre cylindre infiniment petit vertical découpe dans la portion immeï^ée du corps flottant.

Le produit de cette somme par pg représente donc le poids de ce même volume si Ton supposait la matière du corps flottant qui le compose transmutée en liquide. Enfin, comme ce produit est essentiellement positif, nous devons en conclure que la somme de toutes les composantes élémentaires que nous avons considérées donne une force verticale dirigée vers le haut.

En faisant maintenant la même opération pour tous les éléments de la surface immergée et ajoutant les résultats, nous parviendrons à une force unique verticale dirigée vers le haut, représentée par le poids d'un volume de liquide égal au volume immei^é du corps.

La théorie des centres des forces parallèles nous montre de plus que la résultante de toutes ces forces passe au centre de gravité du votume immei^.

Le liquide dont le volume iinmergé tient la place s'appelle volume déplacé ou déplacement. On peut dire alors qu'un corps plongé dans un liquide éprouve une poussée verticale représentée par le poids du volume déplacé du liquide, ei appliquée au centre de gravité de ce volume.

C'est en cela que consiste !e principe d'Archimède.