ExtensloQ anx fluides pesants qnelconqnes. —Le
principe d'Archimède, comme on a pu le voir, découle de ce fait que dans les liquides pesants les surfaces de niveau sont des plans horizontaux. Or, ce fait se présente dans le cas de fluides pesants quelconques. On doit donc étendre aux gaz le principe d'Archimède, en ayant soin de remar-
quer que dans ce cas le volume de fluide déplacé n'est plus homogène, mais qae la deiïsité varie avec le niveau, et que par conséquent te point d'application de cette poussée ne sera pas nécessairement le centre de gravité du volume immergé du corps, comme dans le cas des liquides.
32. Remarque. — Soient U le volume du corps et d sa densité, V le volume déplacé et p la densité du liquide.
Pour qu'un corps flottant sur un liquide soit en équilibre, il faut que la poussée détruise son poids. Il faut donc que le centre de gravité G du corps et le centre de carène, c'est à dire le centre de gravité du volume déplacé, soit sur une même verticale.
De plus on doit avoir :
Vp = Vd, c'est à dire :
Or il est clair que V doit être au plus égal à U, ce qui exige que d^p.
Si d < p, le corps pourra flotter et une partie émergera; car alors V < U.
Si d = p, le corps sera en équilibre dans toutes les positions dans !e liquide, pourvu qu'il y soit entièrement plongé.
Ea&n si d > p, le corps tombe au fond du liquide.
33. Forme d'un liquide pesant animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe vertical. — ^ Les équations générales qui ont été données plus haut sont applicables au cas où les forces Bissantes proviennent d'un mouvement propre à toute la masse. On sait en effet que les formules ordinaires de la statique conviennent aux cas d'équilibre
440 covns de uëcakique.
relatif, puurvu que l'on tienne compte des forces fîcUves
que le théorème de Coriolis appi*end à introduire.
Supposons donc qu'une massé liquide tourne autour d'un axe vertical, un point M de la masse sera sollicité par son poids, mg, et par la force centrifuge, mwV, où r désigne la distance du point M à l'axe, et u la vitesse ai^aire constante.
Nous .pouvons représenter la force centrifuge par un segment MC égal à r, quitte à représenter le poids par un
segment MG ^1 à t La force sera représentée par la résultante MP de ces deux segments. Les surfaces de niveau sont évidemment de révolution aulour de l'axe de rotation Oz, et NQ représente la sous-nonnale à la courbe méridienne qui passe en H, attendu que MP doit être normale à la surface de niveau. Mais les deux triangles QNM, GMP sont . " . ' égaux, car tous leurs ailles sont
^'3 ^^^ égauxetquedeplusPG=MC = »-;
donc la sous-normale NQ, qui est égale à MG = —, est
constante.
Les surfaces de niveau sont ainsi des parabololdes de révolution, et comme leurs méridiennes sont des paraboles qui ont même sous-normale, tous ces paraboloïdes de niveau ne sont autres qu'un seul et même paraboloïde déplacé suivant son axe.
Reste à trouver la pression en chaque point. Puisqu'elle est la même sur chaque parahoioide de niveau, il suffit de la chercher aux sommets de ces paraboloides:
Soit n la distance, comptée positivement vers le bas, du
. HYDROSTATIQLH:. 441
sommet d'un paraboloïde S à une oiigiAe &\e prise sur l'axe. La pression est une simple fonction de n; or si l'on se déplace sur l'axe, normalement par conséquent à la
surface de niveau, la dérivée ~ de la pression se représente
par la force extérieure, laquelle se réduit sur l'axe à la pesanteur fg. On a donc :
dp dn'
Or, (n — n.) représente le déplacement parallèle à l'axe qu'a subi le parabotoide S, pour venir coïncider avec le paraboloïde S. Si l'on donne à ce déplacement vertical le nom de âifférefice de niveau,, ainsi qu'on' le fait dans le cas des plans horizontaux, la formule précédente conduit au même énoncé que dans le cas des liquides au repos. Ainsi, ce théorème : < Les différences des pressions sur deux éléments égaux se représentent par le poids d'un cylindre de liquide ayant pour base l'un de ces éléments et pour hauteur leur différence de niveau, » s'étend au cas d'un liquide pesant animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe vertical.
L'exemple de cette extension n'est pas particulier au problème qui nous occupe, on le retrouvera chaque fois que les surfaces de niveau proviendront du déplacement d'une même surface suivant une même direction.
Oai piianti. — Atmoiphtra.
34. Lorsqu'il s'agit de fluides compressibles pesants, la formule (1) de la page 429 conduit à des conséquences légè* rement différentes. Dans ce cas, en effet, la densité p varie
avec la pression. Par exemple, on a :
p-ap,
et par suite :
on en déduit :
log£ = -oj(i-
ce gui prouve que les résultats ne diffèrent de ceux que l'on a rencontrés pour les liquides qu'en ce quep s'y trouve remplacé par son logarithme^
35. Mais dans cette formule on attribue à la pesanteur une grandeur et une direction invariables; on suppose constante la température, ou du moins on n'en tient pas compte, et pour ces raisons la formule (2) ne peut être appliquée à l'atmosphère.
La pesanteur est dirigée vers le centre C de la Terre, supposée sphérique ; elle varie en raison inverse du carré de la distance à ce centre.
Les surfaces de niveau sont donc des sphères concentriques au globe, et si R est la longueur du rayon terrestre, 2 la distance d'un point M à la surface de la terre, en sorte que 2 + R soit sa distance au centre C, les surfaces de niveau auront pour équation z = const. Il faut en conclure que la pression sera une fonction de z. Or, si l'on se déplace sur le rayon terrestre vers le centre, c'est à dire suivaïit la
force, z diminue et la dérivée — -,- a pour valeur la force
HVDnOSTATIQUE. 443
Maintenant, si 6 est la température, a, le coefficient de dilatation de l'air, on a :
np 1 + .»
dp
pi.'
Pour exprimer la constante f, on remarquera que ôi = 9
est l'intensité de la pesanteur à la surface du sol, ce qui donne :
dp gd dz
Y" l + aî
hlï
36. On ne connaît pas la loi suivant laquelle 6 varie avec l'altitude. Mais x est petit, 0 varie 'peu, du moins on le
suppose, et le coefficient . ■ peut être regardé comme
constant. En int^rant, et appelant p, la pression à la surface du sol, on trouve :
on a du reste, en supposant „ petit :
d'où:
En supposant -^ n^ligeable, on ferait une première approximation, qui est précisément celle que np^is £»vpn?
444 COUBS DE MÉCANIQUE.
regardée comme insuffisante. Une seconde approximation consistera à conserver le terme en t: et à négliger tous ceux qui suivent vers la droite; on trouve ainsi :
1 + ae V r)
On se sert de cette formule pour mesurer les hauteurs à l'aide du baromètre. On se transporte en deux points A et A„ on observe et corrige des effets de la chaleur les' hauteurs du baromètre, dont le rapport est égal à celui des pressions p et p, en A et A,; on a ainsi, z et z, étant les altitudes de A et A, :
Soit z' la difrérenfik d'altitude des deux: stations, on a z, — z = z', d'où, pour l'équation qui donne z' : , p, gat' r, s' + ÎJl
On prend pour 6 la moyenne des températures aux deux stations. Quant aux constantes g^ et o, on les connaît d'avance: on elTeclue sur g la correction due à la latitude.
On doit remarquer que cette formule suppose que l'atmosphère est en repos : on l'appliquera donc avec d'autant plus d'exactitude que l'air sera plus calme.
