CHAPITRE II

ETDRODTNAHIQITB.

1. L'hydrodynamique a pour objet Tétude du mouvement des fluides. Soient (x, y, z) les coordonnées rectangulaires à l'époque t d'un point M de la masse d'un Huide en mouvement, et u, V, w les projections sur les axes de sa vitesse, on aura évidemment :

CD

dx dy ds

Si l'on envisage la masse ûuide à l'époque t, la grandeur et la direction de la vitesse de chaque point sont des fonctions de ses coordonnées actuelles. Mais ces fonctions varient d'un instant à l'autre pour un même point de l'espace, du moins en général, en sorte que l'on devra considérer u, v, w comme des fonctions parfaitement déterminées de X, y, z et t.

Le problème se trouve alors ramené à la détermination de ces fonctions, et une fois qu'on les aura trouvées, les équations (l) feront connaître le mouvement d'un point quelconque de la masse fluide.

2. ÉquatiouB qui déterminent le régime. — La déter^ ' mination de u, v, w constitue la recherche du régime du mouvement du fluide.

Pour trouver les équations propres à cette détermination,

il suffira de remarquer que la force d'inertie relative au

point M, et qui a pour projections sur les axes :

d'œ ePy d^z

peut être représentée à l'aide des dérivées totaUi de «, v, w, puisque l'on a, en vertu des équations (1) :

du d'à dv ^ d'y dv d*j

di~ dt*' di~d?' dt~dë'

On se l'appellera alors que les équations de l'hydrostatique s'étendent au cas du mouvement, pourvu que l'on fasse figurer parmi les forces extérieures les forces d'inertie, et les équations :

__pX-p^, ...

que l'on obtiendrait ainsi, deviennent alors, grâce à la remarque précédente :

idt ç dx

dï pày

dui i dp

'dt~^~ëàz'

3. Équation de continoité. — Ces équations n'expriment pas la continuité du fluide, c'est à dire l'absence de vide au sein de la masse en mouvement. Considérons un parallélipipède rectangle ABCD A'B'C'D' infiniment petit, dont les arêtes soient parallèles aux axes, et dont les coordonnées du sommet A le plus rapproché de l'origine soient x, y, z.

Appelons a, h, c les longueurs infiniment petites des arôtes AB, AC, AD, et p la densité au point A à l'époque i.

HVDRODTNAltIQUE. 447

La masse du fluide qui, à l'époque t, remplit le parallélipîpède, a pour valeur :

pabc.

Or, la densité p varie généralement d'un point à l'autre, et de plus, pour un même point, peut varier avec le temps : donc p est une fonction explicite de x, y, z, t. Au bout du temps dtf la densité au point A s'est accrue de sa difTérentielle due à la variation du temps, elle est devenue

(p + "5^ • dty et la masse du fluide qui à l'époque t-\-dt

remplit le parallélipipède, a alors pour expression ;

abc.

en sorte que dans le temps dt cette masse s'est accrue de la quantité :

abc^-dt.

dt

Mais nous avons une seconde manière d'évaluer la variation de masse du fluide intérieur au parallélipipède : 11 suffît d'évaluer la masse qui a pénétré dans ce solide pendant le temps dt, et celle qui en est sortie, et de faire la différence.

Par la face ACB'D, dont l'étendue est mesurée par le produit bc, pénètre une masse représentée par l'expression

bc.pu.dt.

La face opposée A'C'BD' donne au contraire passage à une masse ^le à celle expression, augmentée de sa différentielle due à la variation a de l'abscisse x, ce qui donne :

Mais la première expression représentant une masse qui

entre dans le parallélipipède, l'auti'e exprime une masse qui en sort, et leur différence : .

représente une masse résiduelle restée intérieure au parallélipipède. Les deux autres couples de faces opposées donnent deux termes analogues, ce qui par addition nous donne :

\ dx <*y dz f

pour la variation de la raa.sse du fluide intérieur au parallélipipède. S'il n'y a pas de discontinuité dans ce fluide, cette variation doit être identique à celle qui résulte de la variation de la densité, et nous avons ainsi, en égalant ces expressions dtfl'érentes :

^eiO + iM + ^4^ + ^ = 0.

^ ' dx dy dz dt

4. Conditions complémentaires ('). — Les équations (2) et (3) ne suflisent pas pour déterminer les cinq fonctions «, V, w, p, p des quatre variables x, y, z, t. Pour compléter la détermination, il faut introduire une condition nouvelle définissant d'une manière plus spéciale la nature du liquide.

Si, par exemple, le fluide est incompressible, dans le sens le plus général du mot, la densité doit rester constante pour un même point de la masse du fluide, et p est une fonction dont ta dérivée totale par rapport au temps doit être nulle. On a alors :

dp à^ dx dfdy dp ds dp .

di~ àx dt '^ as di '^ Tz di '*"dt ~ '

(1) Voir sur les uondi lions. suppliimenUi ras un mémoire de U. Bjerknes, » tomp IV du journal Aeta Ifatliemalita, publié par U. Miltag^Lelllcr, uh( tl, Hermanu, libraire.

HYDRODYNAMIQUE.

OU, eu égard aux équations (1) :

^ ' dx dy ds dt

Cette hypothèse réduit l'équation (3) à la foinne :

du dv dw „ (5) j - + T- + ^i- = 0,

^ ' dx dy dz *

et l'on a alors dans les équations (2), (4) et (5) le nombre de conditions nécessaires pour déterminer tes cinq fonctions.

L'hypothèse la plus ordinaire et celle qui trouve le plus d'applications, consiste à introduire comme équation complémentaire une relation connue à priori entre la densité et la pression. D'ailleurs, il est facile de se rendre compte du degré de particularisation de cette hypothèse.

Supposons en effet que, par l'introduction de conditions complémentaires convenables, on ait entièrement déterminé les fonctions et les constantes du problème; les quantités u, v, w, p, p seront cmçjf fonctions des quatre variables a:, y, z, i ; et il existera par conséquent au moins une relation entre u, v, w, p et p :

L'hypothèse spéciale que nous introduisons consiste donc

supposer que la vitesse ne ri<rure pas dans cette relation,

que l'on peut supposer donnée à priori. Nous prendrons

donc comme cinquième équation, ou comme équation

complémentaire, une équation de la forme :

et nous avons aussi dans les équations (2), (3), (6)'les cinq relations voulues entre nos cinq fonctions u, v, w, p et p.

6. Déterminaiiou des conatantes on des tonctiouB arbi- -traireB. — L'intégration de ces équations simultanées intro*

DiapEïnocs. — Uàcaniq/ie. II. 20

450 COURS DE UËCANIQUE.

duira certaines constantes ou fonctions arbitraires qu'il s'agira de déterminer.

On y parviendra par la considération des données initiales et des surfaces limites.

Supposons qu'à un instant t le fluide soit limité par une surface A, qui variera généralement avec le temps. L'équation de cette surface sera généralement de la forme ;

où A représentera une fonction de x, y, z, t. On admet qu'un point du fluide situé sur cette surface doit s'y mouvoir tangentiellement, en sorte que l'on doit avoir, soit identiquement, soit en vertu de l'équation A = 0 :

âK d\ d\ d\ àx àp âz ot

On remarquera que si l'on forme les équations des caractéristiques Ç de cette équation aux dérivées partielles du premier ordre et linéaire :

on tombe précisément sur les équations (1); en sorte que si a, b, c sont les trois intégrales des équations (1), la fonction A doit pouvoir s'exprimer à l'aide de a, b, c seulement, et être de cette forme :

6. Fonction de forces. — Nous supposerons dans tout ce qui suit que X, Y, Z soient les dérivées partielles d'une même fonction U par rapport à x, y, z. On aura alors ;

En multipliant par dx, dy, dz les équations (2) et remar

HYDRODÏKAHIQUE.

quant que l'on a, en vertu des équations (1) ;

dt dx dy dz dt

dv dv dv do dr

Tt==rx''^ry'-^rz''^rt'

dw dw àw dw dw

on trouve :

Ida du au diA ^

[âv dr dv àir\ ^

\dx dy dz dlj

ce qui, en appelant V la vitesse I^m' + o' + kj', peut s'écrire, d'après une transformation due à Lagrange :

-r- da; -P —■ rfj -H -77 (^3 + ( 1 -r-\ {v dx — tt dy)

\ dt dt ' dt \dy dx) ^ "'

„ \ (dv àw\, , . . (dw du\,^

C'est en se fondant sur cette forme d'équation que Lagrange a approfondi le cas important où il existe un . potentiel de vitesse.

7. Potentiel de Tritease. — On dit que la vitesse dérive d'un potentiel lorsque u, v, w sont les dérivées par rapport au temps d'une fonction de x, y, z, t.

ds âo do

dx dy as

Digltlzcil by ^lOOQ IC

on a alors ;

dy dx ' di ày ~ ^ àx âz ' et l'ëquation précédente se réduit simplement à celle-ci :

âtdx dtdy ' âtdz p 2 '

c'est à dire, en faisant rentrer dans ^ une fonction arbitraire du temps :

dt-"" j f ""2' ce qui, eu égard à l'équalion (6), nous donne :

d'ailleurs on a

L'équation de continuité nous donne aussi :

^ dx ày dz ât

Par l'intermédiaire de l'équation (6), l'équation (8) donne p

dérivées de ^ et d'une fonction connue U. En transportant cette valeur de p dans l'équation (9), celle-ci sera simplement une équation différentielle en ç; et cette fonction se trouvera ainsi déterminée.

Si, par exemple, le fluide est caractérisé par la relation

HYDRODYNÂUIQUE.- fô3

on a:

et l'équation (8) devient, par l'introduction immédiate de p : *I„gp = (u|i-^y.).

Du reste, l'équation (9) s'écrit :

d'y d*ç d*? r?ç' d log p tïy rf log p df t? log p dx* dy* dz* dx àx dij â;/ dz dz

et la substitution de la valeur pi-écédemment trouvée pour log p n'offre pas de diflicultés.

Malheureusement, l'équation que l'on obtient ainsi, outre les difficultés de son intégration, ne saurait être appliquée aux gaz, dans lesquels les phénomènes thermiques jouent un rôle éminemment prépondérant.

Mais dans le cas de fluides incompressibles et homogènes, p étant constant, l'équation (9) se réduit tout de suite à lu forme bien connue :

î^ +^ + ^ — 0 dx^ ày^ àz* '

qui servira à trouver ç ; on aura ensuite :

p àt t

Les conditions d'existence d'un potentiel de vitesse ne pouvaient manquer d'attirer l'attention des géomètres. Lagi-ange a démontré, en s'appuyant sur l'équation (7), que si à une époque du mouvement il existait un potentiel de vitesse, la même propriété ne cessait pas de subsister penduit tout le cours du mouvement.

45i COURS DE MÉCANIQUE.

D'ailleurs, si l'on a pu dans quelques cas très particuliers intégrer complètement les équations de l'hydrodynamique, le problème général n'a guère avancé depuis Lagrange/et nous ne nous occuperons plus que d'un cas particulièrement remarquable, celui du régime permanent.

Dn rdglmo parmanent.

8. Filets. — Le régime est dit pe^-manent lorsque les cinq fonctions u, v, w, p, p ne dépendent pas du temps explicitement; en sorte que tout point du fluide qui passe en un point {x, y, z) de l'espace y acquiert une vitesse qui ne dépend aucunement, ni en grandeur, ni en direction, de l'époque de son passage.

Par tout point M {x, y, z) il passe donc une droite MT dirigée suivant la vitesse que doit posséder toute molécule du fluide, si elle vient passer au point M.

Si l'on se déplace en M' suivant MT, au point M' répond une seconde droite M'T' sur laquelle on pourra se déplacer encore infiniment peu en M', et ainsi de suite.

Le point M se trouve alors déplacé sur une courbe C, telle que la tangente en chaque point M de celte courbe ait précisément la direction de la vitesse qui correspond au point M. On voit tout de suite qu'un point du fluide qui passe à un moment quelconque au point M doit continuer à se mouvoir sur cette courbe C, puisque la direction de sa vitesse est constamment tangente à cette courbe. D'ailleurs, puisque par le point M il passe toujours un point du fluide, on en conclut qu'à un instant quelconque la courbe C se trouve occupée tout entière par une succession de points du fluide qui la parcourent en se remplaçant les uns les autres, et acquérant chacun une même vitesse lors de leur passage par un même point de cette courbe. Cette courbe C représente ce que l'on appelle un fliet du fluide.

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HYDRODYNAMIQUE. 455

Supposons u, V, w connus en fonction de x, y, z; les équations des filets s'obtiendront en exprimant que le déplacement MM' s'effectue suivant la direction qui correspond au point M; ce qui donne :

dx rfy ds

comme on devait s'y attendre d'après les équations (1), qui déterminent les trajectoires des points du fluide.

9. Un cas intéressant, c'est celui ou la vitesse dérive d'un potentiel, c'est à dire où u, v, w sont les dérivées partielles d'une même fonction f Aex,y, z:

d^ d^ dç

~d3s' ~ ày^ ~ dz

Les surfaces « = const. sont les surfaces de niveau relatives à ce potentiel ; et les équations précédentes font voir ainsi que : Lorsque la vitesse dérive d'un potentiel, les filets sont les trajectoires orthogonales des surfaces de niveau reîativeê à ce potentiel.

10. Surfaces de nulle résistance. — Dans une thèse intéressante sur le mouvement permanent des Quides, M. de Satvert a introduit une série de surfaces remarquables que l'on peut définir de plusieurs manières, et auxquelles il a donné le nom de surfaces de nulle résistance. Ces surfaces sont définies par la condition d'être le lieu d'une série de filets, ou, ce qui revient au même, d'être telles que le plan tangent en chaque point contient la direction de la vitesse qui correspond à ce point.

Soit 6 (x, y, z) =: 0 l'équation d'une surface de nulle résistance, la dernière condition nous donne l'équation linéaire aux dérivées partielles à laquelle doit satisfaire 0,

car si le v^fin tangent en un point doit contenir la vitesse qui lui est relative, il faut avoir ;

de de dft .

^ '.■ dx dy dz

Eu égard aux équations (1), l'équation (5) peut s'écrire

— = 0, et la recherche des surfaces de nulle résistance ai

revient à celle des éléments qui, variant généralement d'un

point à l'autre, restent cependant invariables pendant le

mouvement, c'est à dire pour un déplacement effectué

suivant un filet. Si l'on peut déterminer d priori deux de

ces élément? a et 0, indépendants entre eux, tous les autres

seront des simples fonctions de ceux-là, d'après ïa théorie

ordinaire des équations linéaires aux dérivées partielles du

premier ordre. Mais nous renvoyons à la thèse de M. de

Salvert pour ce qui concerne ces développements.

11. Intégrale des forces vives. — Supposons qu'il existe une fonction des forces, la vitesse dérivant ou non d'un potentiel, et soit ;

dx âf/ di '

Partons des 3 équations de l'hydrodynamique :

dt âx p dx de dU l (^ dt~ dy F dy

it~ dz ^ dz'

en multipliant par dx, dy, dz et ajoutant, il vient :

dx . du , dz .,, 1 . dt dt dt 3 '^

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HYDRODYNAMIQUE. 457

Mais supposons le déplacement dx^ dy, dz effectué suivant un filet, les équations (1) nous donnent, V représentant la

- d (V*i = M da + f dp + ic d(p = -r dw + -^7 du + — dw, z dt dt ■ dt

d'où :

Il ne faut pas confondre cette équation avec celle dont on a tiré l'équation (8). Cette dernière suppose qu'il existe un potentiel de vitesse, et s'étend à tout déplacement. Ici au contraire, nous ne nous restreignons pas au cas d'un potentiel, mais nos diiïérenlielles se rapportent à un déplacement effectué suivant un filet.

Supposons, comme plus haut, que l'on ait p = F(p). Posons alors :

et nous aurons :

1 d (V) = dV-^' (p) dp,

d'où l'intégrale des lorces vives :

V» — îU + îf (p) = A = const.

Par exemple, si le fluide est un liquide homogène, p est constant, et l'on a :

S'il s'agit d'un gaz, nous avons dit que l'on prenait p — ap, et alors o(p) = - log p, d'où :

453 COCRS DE MÉCANIQUE.

12. Théorème de BernonlU. — En appliquant cette équation aux liquides pesants, on a le théorème de Bemoulli.

Prenons X = 0, Y=:0, Z = — 3 (l'axe 0 z étant supposé vertical); on a pour l'équation des forces vives :

V + ig; + i^ = k = const.

Au lieu de cette équation on peut prendre la suivante :

r- + i4- — =A = const., 2ff 99

dont l'interprétation est plus facile.

est la colonne de

liquide qui représente la pression p; enfin z est la distance

du point considéré à un plan horizontitl fixe. Si donc, à

partir du point M considéré, on porte sur une verticale et

vers le haut une longueur MN égale à la somnie des

V* p hauteurs ^ et — • et que l'on répèle cette opération en

tous les points d'un même filet, l'extrémité N de la longueur ainsi construite reste dans un plan horizontal; ce plan a reçu le nom de plan de charge, relatif à ce filet, et la

somme 5- h s'appelle ta charge. En hydrostatique la

charge se compose du leime unique — • ici la chai^ se

trouve augmentée de la hauteur due à la vitesse, en sorte que l'effet du mouvement est de faire remonter le plan de charge.

13. Théorème de Torricelli. — Considérons un iilet G, et deux points M„ M de ce filet par lesquels nous lui mènerons deux plans normaux u, et u; dans le plan w, décrivons unç ÇQu rbe infiniment petite y, entourant le point M,, et

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HYDRODYNAMIQUE. 459

envisageons les filets qui partent des points de cette courbe ; leur ensemble constituera une sorte de tube infiniment petit qui découpera dans le plan w une courbe y infiniment petite entourant le point M, du moins je le suppose. On voit que la paroi de ce tube constituera une de ces surfaces de nulle résistance étudiées par M. de Salvert. Soient 7, et <s lesaires des deux courbes ■/„ et 7; V, et V les vitesses aux points M, et M. La quantité de fluide qui pénètre dans le tube par l'aire s, devant être égale à celle qui sort par l'aire s, il faut avoir :

Or, supposons qu'il s'agisse de fluides pesants, on aura d'après le théorème de Bernoulli :

v; + igz, + 2 - = V + 253 + 2 ?.

où z, et z, p, et p sont les cotes et les pressions qui se i-apportent aux points M, et M. Donc :

Mais z~ z, t'est la dilTérence de niveau ï des points M, et M; si alors on peut faire en sorte que p = p„ il vient :

- V = igX,

vî(i-^) = 2?!:-

Ces conditions sont léalisées par un récipient maintenu à un niveau constant, et percé vei-s le bas d'une ouverture extrêmement petite par rapport à la section de la surface libre : les deux sections, celles de la surface libre et de l'ouverture, sont toutes deux en contact avec l'atmosphère, ce qui permet de foire p = p,. Mais de plus, eu égard à

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Tex^ité de l'ouverture par où s'effectue l'écoulement, le terme -? peut être négligé, et il reste pour la vitesse de l'écoulement ;

ce (]ui est le principe trouvé expérimentalement par Torncelli.