CI
[L étant un nombre oommensurable, et cela pour toutes les valeurs
de a et de p.
Il ne peut en Stre ainsi que si l'angle 6 demeure constant lorsque a et ^ varient; car si cet iing-Ie était variable, son rapport à s passerait évidemment par une infinité de valeurs incommensurables. Nous sommes ainsi ramenés au problème d'analyse suivant :
DiUrmintr, iUl est pottib.'e, laJUtctiûn ç de lel'e naniire giu l'on ail, pour toutes les vatea/rs de aelde^:
ji détij/^ttxl HM nombre comvunsurab'.e coaslant. Pour rôsoudre ce problème, posons ;
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et supposons k assez petit pour que Ton puisse développer la foncUan ^
suivant les puissances dé i. On aura :
y, j', ç', ... désignant, pour abréger, y (a), ç' («), f* (a), ...
Si l'on substitue ces valeurs dons l'intégrale (8) et dans Is valeur de A, on trouvera :
i=M'(i-i')[«'-«»'-î<»'+^jv-«?"a+'')j+-}
f (J) - f («) = 2» [»' + I f" + ...j. ft par conséquent :
Pour A = 0, cette expression se réduit k la suivante :
(,o) 6.=i/^j.r-i^=VT^-
^ ^ • V?'— oçV-' |/1— (» r Ç -a?'
Pour qu'elle soit constante, il faut donc que le rapport a?'
Boit indépendant de a, ce qui donne :
C, m et C, étant trois constantes arbitraires; ç désignant ta funch'on
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NOTE XIV. 4tô
des forces on peut mâme supprimer C, «t écrire :
(11) ,M = o.-. , L'expression approchée de 6 devient alars :
et l'on Toît que l'exposant m devra être choisi de telle manière que 2 — M soit le carré d'un nombre commensurabla - .
Avant de poursuivre la solution du problème proposé, nons allons présenter quelques remarques sur le résultat précédent qui est dû à Newton {Principti, livre I, proposition XLY). Newton considère un corps soumis k l'action d'une force centrale, décrivant une orbite peu différente d'un cercle, et il détermine l'angle que nous avons désigné par 6,. Cette détermination avait pour le but qu'il se proposait la pins haute importance; car si l'on admet que la loi de la force soit celle de la nature, la valeur de 6| donnée par la formule (10) ou la formula (12) sera :;; les aphélies seront sensiblement immobiles et à 180° des périhélies ; mais, pour peu que la loi de la force eût difTéré de celle que nous devons h Newton, les périhélies auraient eu un mouvement direct ou rétrograde dont l'effet serait devenu nécessairement sensible après un nombre suffisant de révolutions. Newton obtient des résultats équivalents aux formules (10) et (12) par une méthode qui contient le premier germe de la théorie des mouvements relatifs.
Bevcnons au pA>blème que nous avons en vue et qui n'est pas encore complètement résolu. Si nous portons dans la formula (9) l'expression de f et si nous posons, pour abréger,
nous trouverons :
DeSpeyrous. — Mécanique. II. 30 /
466 <:ouRS de uëcanique.
Cette expression dépend en général de k, et par conséquent tontes les yaleurs de m, qui conviennent quand l'orbite est très peu différente d'un cercle, cessent d'être acceptables lorâqu'on suppose qu'il existe une différence Snte entre le maximum et le minimum du layon vecteur. Mais si l'on développe suivant les puissances de A, en employant les formules suivantes :
on trouvera :
Pour que cette valeur soit indépendante de k*, il l&ut évidemment que l'on ait :
L'hjpotbèae m =: 1 donne pour la fonction des forces :
^{t)=f^dr=iC
C'est la loi de Newton, pour laquelle on a :
L'hypothèse m := — 2 donne :
fRdr=i% = Cr*, e = |-
L'attraction est alors proportionnelle & la distance. On sait d'ailleurs que ces deux lois donnent des solutions de la question proposée. Ainsi se trouve établi le tliéorème de M. Bertrand : ^1 Ton considère le moupentrKt d'u i mobile attiré par it» centre fixe iont l'action ett une/bitcliûn de la distance, la loi de Neaion et celle pour lagvelk l'attraction est proportionnelle d la ditla?tce tant les uulei poiir letsuelUt la Ir^ecleire du mobile soit constamment fermée.
SUR UNE QUESTION REUTIVE IV MOUVBHBMT D'UN POINT SUR UNE SURFACE DE REVOLUTION.
Après BToir considéré dans la Note précédente le mouTemont d'un point libre aoumis k l'action d'un centre fixe, nous allons étudier ici une question analogue, relative au mouvement d'un point sur une Burfitce de révolution. Nous admettrons que le point est soumis h la seule action de forces émanant des différents points de l'ase ou bien de forces parallèles it l'axe et fonctions de la distance du point sur lequel elles agissent à un plan fixe parallèle k l'axe. Ces liypothèses se résument en une seule : il j a une fonction des forces qui conserve la même valeur en tous les points d'un parallèle de la surface. Nous allons rechercher s'il est possible de déterminer la nature de la fonstion et la forme de la surface de telle manière que tes trajectoires du mobile soient des courbes constamment fermées.
Prenons ponr axe des t l'axe de la surface. Désignons par r la distance d'un point quelconque à cet axe, et soit
l'équation de la surface. La fonction des forces est, par hypothèse, ane foaetion de r que je désignerai par
fi').
Si u est l'angle que fait le plan méridien contenant le mobile avec Ha méridien fixe pris pour origine, l'équation différentielle de k
468 couns de uëcanique.
trajectoire sera, comme on sait,
(t +t")j-, = 0'r'f(f) + hr'-r'
C* et h désignant deux constantes arbitraires.
Si la courbe est fermée, les valears de r seront comprises entre deux limites a 0, et la trajectoire sera comprise tout entière tntn les deux
parallèles de rsvon a et S. Pour ces deux parallèles extrêmes, -r- d<
au s'annuler, r étant maximum ou minimum. On a donc :
-doit
