IK

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t& étant un nombre commeosurable constant. Ainai il y a à détarminer Ira deux fonctions arbitraires f{r), ç(r) de manière à satisrain à régtlité précédente. Dans le problème traité par U, Bertrand, il y avait au contraire une seule fonction inconnue.

Je commencerai par réserver le cas oii l'on suppose la fonction f(r) constante, ce qui revient à chercher les surfaces de révolution pour lesquelles les lignes géodésîques sout fermées. Alors on pourra effectuer le changement de notations suivant.

Posons :

(4)rtr) = ., /(.) = »., /■(« = .„ ÎJ^'=FC.), i=o(»). L'équation (3) se transformera dans la suivante :

I^fT^ l-^JP. — gi <*"

1 aC.,)

Supposons X, et ai, peu différents et posons :

On aura, en développant suivant les puissances de t : j « 1 q(«) I I X, l a {a,) {

a', a", o" désignant les valeurs de ces fonctions pour a = a. Oa. déduit de l'équation précédente :

(6) -^ = -^^=il-^..-£2;(lH-.-)

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470 COURS DE UËCANIQUE.

en négligeant seulement dans ta parenthâse les termes en s*. On a

de mâuie :

(7) KÏW = Kf- ( 1. ^ .. -H (îl - ,9 ,.. + .. |.

Ces Tonnules permettent de d^elopper Q suirant les poîssasees de e. On obtient d'abord sans aucune difficulté le premier terme de Q.

Cotte râleur de Q devant être égale & ^t., on aura ;

ou, en remplaçant a par ir :

(8) FC.)=^o'(.).

Tout 86 réduit donc à la détermination de la seule fonction u{-c). Pour Tobtenir nous allons compléter le développement de û. On aura, en tenant compte des formules (6), (7) et (6) :

e'^^Sw*— 1 )

En effectuant les quadratures, on trouve :

"^ Vl6a' 13 o'V

les termes négligea contenant tous e* en facteur. Q devant être égal k ^i;, il fout que le coefficient de toutes les puissances de e, et en particulier celui de c*, soient nuls, ce qui donne l'équation :

qui fera connaître la fonction a(x).

Cette âquatioc différentielle sdiiiet deux eolntione d'espace difl^-

renta. La première s'obtient en supposant ci'(f) constante. On a ainsi :

(10) a («) — A3>* + BU -hO;

A, B, C désignant trois constantes.

Tontes les antres solntions sont comprises dans la fonnnle :

(U) o(.)=jA- + B. + C,

oii A, B, C, K désignent quatre constaotes.

Il est aisé de voir d'ailleurs que ces formes différentes de la fonction aQi) sont toutes acceptables. Car si l'on remplace dans l'équation (5) F(«) par sa valeur :

et si l'on adopte l'une quelconque des valeurs de n(iE} données par les fbrmules (10) ou (II), on trouve pour toutes les valeurs de x„ x, :

n nous reste k discuter les solutions du problème que nous venons d'obtenir, ■ reconnaître la nature des surfaces qui leur correspondent ainsi que celle des forces qui agissent dans obaque cas sur le mobile. BappelouB d'abord les notations adoptées.

Nous avons posé :

a est donc la fonction des forces et l'on pourra sans inconvénient lui ajouter ou Ifti retrancher une constante. Nous avons d'ailleurs :

et en résolvant cette équation par rapport à as, nous aurons la fonction des forces exprimée au moyen de r. Enfin, d'après la définition de F(ir), nous pouvons écrire :

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OU encore :

(16) i+,.. = V£Wa:W,

(16) i, j-^Tj^ & .

L'équation (16) fera connaître, par uoe quadrature, la coordonnée t en fonction de s.

L'élément linéaire de la surface de révolution qui est en général donné par la formule

it* = (l -t- ?'*) rff' + r» du' aura ici pour expression :

Noua avons établi cette dernière formula pour en déduire une conséquence intéressante.

Les deux valeurs de x3(iB) que nous avons trouvées, jouissent de lu propriété de pouvoir être multipliées par une constante quelconque sans cesser de convenir au problème. Âpres avoir trouvé nne solution correspondante à des valeurs données de ;ji et de ts(x), considérons celle qui correspoud aux valeurs a\i. et ix*ci(z), a désignant une constante qui sera nécessairement commensurable. L'élément linéaire de la surface correspondante à cette nouvelle solution sera donné, d'après la formule (17), par la formule

et on aura :

Si donc on fait correspondre à un point (r, u) de la première surface le point (r„ u,) de la seconde, défini par les équations :

les arcs de dotiz conrbes correspondantes quelconques tracées sur ler

deux BurFaces seront é^ux; en d'autres termes les deuc aurracea seront applicaila l'uiu sur l'autre.

Ce résultat pouTsit se prévoir d priori; car on sait par les formules de LagraDge que les équations du mouvement d'un point sur une surbee quelconque demeurent les mdmes qnand on déforme la surfaee en conservant k la fonction des forces la même expression en fonction des coordonnées curviligoea du point de la surface. Or étant donnés une surface de révolution, on peut toujours trouver une autre surface de révolution qui sera applicable snr cette surface, les coordonnées r et u de deux points correspondants sur les deux surfaces étant liées par les formules (19). Si Q et 0, désignent les valeurs de l'angle U que nous avons calculé, relatives à ces deux surfaces, on aura :

Û, = aÛ.

Si donc la première surface donne une solution de notre problème, il en sera de même de la seconde pourvu que a soit commensurable.

Il suit de cette remarque que si, comme il est naturel, on considère comme ne fournissant qu'une seule solution toutes les surfaces qui sont applicables les unes sur les autres, on pourra, dans chaque cas particulier, donner à |a telle valeur que l'on voudra.

Appliquons d'abord nos formules à la premiers solution, celle pour laquelle on a :

(3 (ai) := A»* H- Ba + 0, et par conséquent :

Comme P{x) ne peut être nulle, A sera nécessairement différent de zéro. En utilisant la remarque déj& faite d'après laquelle on peut ajouter à le tme constante quelconque, nous pourrons faire disparattre le terme en «; et en changeant les notations, nous écrirons :

ce qui donna :

De réquation (15) on tira :

CommeaçonB par supposer i* ^ 1, nous aurons :

ou, en integrant,

c'est à dire

La surface est donc une sphère.

QuaDtà la force, onpeut eu donner différentes expressioDs(<). Voici la plus élégante. En vertu de l'équation de la surface, la fonction des forces peut s'écrire :

et en différentiaat cette expreasion, on obtiendra les deux composant» de la force : l'une, R, dirigée suivant le prolongement du rayon du

(■} OasBllen effet que, dans le mouvem sQl d'us pointaur UDeBurTacB.laloidii nKnvement oe dépend qua de la composante taUf^euLiel la delà furce, la cotnpoflaale Dormile n'inlarvaDant quednas la caicul de la presaioD d a point inr losurhice. Daai la pinblune qui nous occupe, ou pourra donc auppoiei à la Torca telle dirsclïon que l'oa vondis. pourvu qu'elle aolt normale au rayon du parallèle. Sipareiemplalalbat^tiondaahceal Ml eiprlmieau moyen du rayon vecteur par ia furmule /{r}, la dtrivAe /'(r) donnari lu grandeur de laforceauppagêe dirigea suivant le proloageiuenl du ra 70a du piraltèlg Utls on peut, au moyen de rôquallan de la gurtace, eipritaer la faniiliaii dos rofcw au moyen de t par la Tormule \(ii; et alors la dérivAs \'{ij dAUnin la força, qai len ■upposée dans ce ces parallèle â l'aie de la aurface. SI I on exprima dem«me la tondioa

de* torcet nu moyen de - ptr la Tonnule g ('Y tea deui conipoeaDtet

la force loujoura normale au parallèle, mais dirigée celle fois dans la pUa

parallèle, l'aatre, Z, parallèle k l'axe des s. On trouve ainsi :

I l/ri

B = - 1/C -,. Z = KC -, l^Z' + R> = l-^f' f- r'

Ces expressions noua montrent: 1° que la force est tangente au méridien; 3" qu'elle est en raison inverse du carré de r, c'est à dire du carré du sinus de l'arc de cercle compris entre le point attiré et le pdle. L'analogie avec la loi de Newton est évidente.

On sait en effet qu'avec cette nature de forces la trajectoire sera une conique sphérique dont le pâle sera un des fojers (').

On peut ramener, nous l'avons vu, au cas précédent tous ceux pour lesquels -^ ne sera pas égal à l'unité ; car ils donneront des surfaces applicables sur la sphère. Uais il nous reste & traiter le eas où C =: 0* qaiest exclu par l'analyse précédente.

On a alors ;

Supposons d'abord (:t ^ 1, on aura :

• ç' ^ 0, « = const.

C'est le casoii le mouvement a lieu dans un plan et où la force, dirigée vers un point fixe, est en raison inverse du carré de la distance K ce point fixe.

Si [Ji était quelconque, on aurait :

Cette équation convient à un cône de révolution qui est, comme il fallait s'y attendre, applicable sur le plan ; la force est une attraction dirigée vers le sommet du cdne et en raison inverse du carré de la distance.

Examinons maintenant la seconde hypothèse, celle pour laquelle on a i') PaulSeriet. — THerii jfomftrlstie «t tufeanijut du Nftut dioiiil<eviir!rrrt,p.^i

expression qu*oii peut toujours ramener à la forme

ts(x) — - + 3a + C,

en changeant £ es « + K. On aura ici :

(21) \ = ^+Bg + G,

m> /'^V- 4t.*A (A + Bs' + Cx) ~ (A -

^ ' \ds>/ Ax (A + Bai* + C*)'

Il faudra effectuer la quadrature qui donne s, et l'on aura ainsi les expressions de « et de r en fonction de ir. Pour obtenir la fonction des forcée, on exprimera x en fonction de r en résolvant Téquation (21). Les résultats sont, on le voit, assez compliqués.

Traitons d'abord le cas oii l'on a

et prenons 2;t= 1. Nous ponvons, d'après la remarque faîte pins hnut, nous borner à considérer cette Talear particulière de ii. On a alors :

et par conséquent :

Ainsi la surface correspondante à ces hypothèses est encore one sphère. La fonction des forces peut s'exprimer, en fonction de r et de t, par la formule homogène :

Sous cette forme elle donne naissance aux deux composantes : „ 2A f , 2Af'

La résultante de ces deux forces est encore dirigée Buivant la tangente an méridien; sa grandeur est donnée par la formule :

' l^R* 7» — ^^ !1 — ^^ BJPft

C KC ** ^ oos' ô'

Q désignant la distance du mobile au pOle.

Dans cette loi de la force, on obtient en effet comme trajectoire une conique ephérique ajraat le pAle pour centre (*).

Si B et C sont nnls en même temps et si l'on prend encore 2^=:l, on trourera :

de=.0, e = const.

La surface se réduit i> on plan et la fonction des forces est alors

a =: Ar',

c'est le cas où il ; a une attraction proportionnelle à la distance.

Si iL était quelconque, on obtiendrait un cOne de rerolution ; la Force serait une attraction émanant du sommet et proportionnelle à la distance.

Js laisserai de cOté la discussion, nécessairement pins compliquée, du cas où A, B, C sont quelconques.

Dans ce qui précède, nous avons pris d'abord le rayon r du parallèle comme une variable indépendante. Uais il n'arrive pas toujours que, sur une surface de révolution, cette variable puisse prendre toutes les 'valeurs possibles. Par exemple, dans la sphère, le rayon du parallèle doit Stre inférieur \ celui de la sphère ; par conséquent, si la trajectoire du mobile est située dans les deux hémisphères, le rayon r du parallèle pourra croître d'une limite inférieure a à R, R désignant le rayon de

(■) Voir Vavl Suiet, ouvrage Cilé, p. iOB.

la sphère, puia déeroTtre de H à une autre limite. Or lee i&tégratioDS que nous avons faites pour obtenir Q supposent que r soit réelIemeDt indépendante et ne s'appliquent pas à cette hjpottièse. La méthode que nous avons suivie est donc sujette à une objeclioa qu'il est d'ailleurs facile de lever, au moins dans un cas très étendu.

En effet si U trajectoire est toujours fermée, comme nous le supposons, on pourra déterminer les constantes C et A qui figurent dans

dr réquation (1) de telle manière que — s'aunnle pour deux valeurs x

et 0 aussi rapprochées qu'on le Tondra, pourvu toutefois que la fonction des forces satis&sse à uue condition qui est évidente ipriùri. On aura en effet, d'après les formules données !> Tarticte ï :

Pour que la valeur de C soit positive, il est nécessaire que la fonction f{r) décroisse quand r croît. C'est à dire que la force puisse se représenter par une attraction dirigée vers l'axe. Ainsi ;

Toutes les fois que la force k laquelle le mobile est soumis pourra âtre considérée, dans une région de la surface, comme une attraction dirigée vers l'axe de la surface, on pourra faire en sorte que la trajectoire du mobile soit placée entre deux parallèles aussi rapprochéa qu'on le voudra; et l'on pourra par conséquent choisir ces parallèles de telle manière qu'ils ne comprennent pas dans leur intervalle as parallèle de rayon maximum ou de rayon minimum.

Alors notre méthode deviendra applicable et elle nous fera connaître la loi de la force et la forme de la surface. II y aura lieu cependant, dans chaque cas particulier, de faire une discussion relative aux trajectoires qui traverseraient un parallèle de rayon maximum ou minimum, ou qui rencontreraient les cercles-limites de la surface. Nous allons voir précisément que cet examen des parallèles de rayon maximum ou minimum joue un rJSla prépondérant dans la discussion du CBS particulier de notre problème que nous avons réservé, celui o'u l'on cherche les surfuces de révolution dont toutes les lignes géodé> siquea sont fermée.*. Nous allons maiotenaut étudier d'une manière

NOTE XV. 47f

détaitléa ce cas particulier auquel no s'applique pas la méthodi précédente (*).

CuasidéroDS une surrace de révolution et une li^ne géodésiqui quelconque tracée sur cette surface. L'équation différentielle de cetb ligna s'obtient en remplagant dans l'équation (1) f{r) par 0, ce qu donne:

Si t désire l'angle que fait en un point quelconque la ligne géode sique arec le parallèle qui passe en ce point, l'équation différentielL précédente pent aussi s'écrire

rco3i= a,

A désignant — =■ Partons du parallèle de rayon a; la ligne géodésiqu

lui est tangente et elle se dirige du cAté oh le rayon du parallèl augmente. Si ce rayon croit toujours, la ligne géodésique s'éloigner indéfiniment en coupant les parallèles sous un angle qui s'approcher de plus en plus d'être droit. Si la surface n'avait pas de parallèle d rayon égal à a, on partirait d'un parallèle quelconque et l'on obtiendrai les mêmes conclusions.

Supposons au contraire qu'il y ait un . parallèle maximum, é rayon S, que j'appellerai nn équateur. Si nous prenons a un pe inférieur it K, il y aura deux parallèles de rayon'a, voisins l'un d l'autre, l'un au-dessus, l'autre au-dessous de l'équateur; la ligi géodésique définie par l'équation

r coai^ a

sera comprise entre ces deux parallèles et par conséquent sera, dat tout sot) parcours, à distance finie. Je vais chercher le condition poi qu'une telle ligne soit toujours fermée.

. ,__ noQS laluons enllèronent ile cûlé le cm oii U foDclioD ^{r) sen

... Il croisMQle, o(i la force Mraii une réputsioD pour louloi lei laleurade

Nous laissoDB su lecteur le gola d'nppliquar t cotte b^palhèse la mélhodu que no' BlloDi Jéveloppsr relatlvemenl aui lignes géodAsIquea.

i80 COURS DE MÉCANIQUE.

On déduit de Téquation (23), en remplaçant h par ~ et intégrant:

L'équation de la surfîtce est, comme on sait :

Si nous déai^ons par u, l'angle dont le plan méridien passant par le mobile aura tourné, quand on arrivera sur l'éqnateur, on aura évidemment :

Le mobile, après avoir décrit cette portion de la ligne g^odésiqne que nous supposerons placée dans la région de la sur^e inférieure à réquateur, passera dans la région supérieure; et si l'équation de cette nouvelle région est :

l'angle m, dont te plan méridien aura tourné quand le point décrivant aura passé de l'équateur au parallèle supérieur de rajon a, sera donné de mSme par la formule :

L'angle total dont le plan méridien aura tourné dans le passage da parallèle inférieur de rayon a au parallèle supérieur de mdme rayon sera donc :

et pour que la ligne géodésique soit fermée, il faudra que l'on ait :

û z= 2 lis,

{n étant un nombre commensurable constant.

Il suffit d'uQ peu d'atteatioD pour reconnaître que l'intégrale Q est aux notations près, celle qu'on rencontre dans la recherche des courbe tautochrones pour uu point matériel pesant; et l'on est ainsi condui à la solution du problème donnée par la formule :

(36) KiTTï + yïTV' = -4^ ■

On voit que l'on pourra choisir arbitrairement l'une des fonctions ou <!/', l'autre sera déterminée par une quadrature.

Traitons le cas où la surface est symétrique par rapport à l'équateui On aura alors :

et l'équation précédente deviendra :

(sn) KrTT' = -4^-

KR'-r' Étudions d'abori) le cas où l'on a :

On trouvera en intégrant :

^ = KR* — r', «' + r* = H'.

C'est l'équation de la splière.

Nous avons vu d'ailleurs que lorsqu'on donne à jj. des valeu quelconques, on ne peut obtenir que des surfaces applicables s celles qui correspondent à une valeur déterminée, particulière, de En utilisant cette remarque, développée ii l'article I, nous obtenons théorème suivant :

Zes teula sat/acet de réuolulion ayant Uurt lignet gfoiéiiguet /erméet admetCaitt de plut u» de leurs parallèiet pour plan de sj/mélrie soitlla npM

Despeyhous. — Mécanique. II, 31

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et certainet sar^ei applicabUi tur lu sphère atsigeUie» à la condition

tuitaaU :

Dam deta sw/aces de réoolalim applicabUt l'une mr l'au^, deux parallèUi eorrespondanU onl Umjoan leur» rayons dans «m rapport (MUtuMl; ici ce rapport eonsbait devra dsplus avoir une vt^eur commentwable.

On saie que, parmi les surfacas de révolution applicables sur la sphère, les unes ont un point conique sur Taxe, les autres ne rencontrent pas l'axe. Pour les premières, toutes les lignes géodésiques seront fermées. Ponr les autres, qui peuvent être assimilées à une zone limitée par deux cercles de rebroussement, il fandm écarter les lignes géodésiqoea qui viennent frapper les cercles limites; toutes les autres seront fermées.

Parmi les surfaces de révolution dont les lignes géodésiques sont fermées, je signalerai les deux suivantes :

La première a son élément linéaire défini par la relation :

il» ~/~ — l\ (dp' 4- p* d^%

oii 0 désigne l'angle du méridien passant par le point de la surface avec un méridien-origine et oti p est liée au rayon r du parallèle pur la relation :

r* = ((.'p(2ff-^p),

|A étant un nombre commensurable quelconque.

La deuxième surface serait, avec les mêmes notations, définis par les relations :

( ds' == (a' - f) (dp* + p' rfO'),

SVVl ONE EXT£NSIOIT Dn THÉORÈME D'ITORT RELATIF A L'ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES.

J« me propose cle hire connaître ici une extension de la méthode d'iTorj, d'où résulte un théoràme nouveau, relatif à l'attraction des ellipsoïdes- J'ai déjà donné cette proposition dans une étude titr lu Ihéoriate» £Ivory et de Jaeobi, Tel&tiJI aux tw/acei komq/bcaUt du tecond degré qui a paru dans les Mimoirei de la Société dei Scieuces pkysiguei ti naturelles de S rdeaux (t. VIII, 1810, p. 253)..

Considérons un ellipsoïde homogène (G) défini par l'équation :

et cherchons l'action qu'il exerce sur na point matériel U de coordonnées a, p, Y> «D supposant la loi de l'attraction représentée par la fonction f ' if). On a vu dans le texte que si l'on désigne par «, et u, l«s distances, an point M, de^ deux points de l'ellipsoïde qui se projettent sur le point de coordonnées y, t du plan des ty, on a, pour la composante A de l'attraction parallèle à Ox, l'expression

(8) A.=Jj'[,(u,)-^{u,)ldi,de.

Ftisons correspondre h chaque point de l'ellipsoïde le point (Ç, r„ 0 de la sphère de rayon 1,

défloi par les formules :

L'équation (2) prendra Is forme :

^ = àcJJ[7 {*,)-<? (9,)] d!:dr,.

et si l'on désire par d^ l'âlémeut-de surface de la sphère, on recon naîtra aisément que cette intégrale peut être mise sous la forme :

(5) X = bc iU («) cos {N, x) d<: ;

(N, le) désignant l'angle de la normale extérieure \ la sphère avec la partie positive de Ox et l'intégrale étant étendue à toute la surface de la sphère. Nous noua dispenserons d'écrire les expressions analogues que l'on aurait pour les composantes B, C. La valeur de « en fonction des coordonnées Ç, r,, !| est donnée par la formule :

(8) »' = (a= - ay -t- (iTi - ?)' + (c; - Y)'.

Cela posé, considérons un autre ellipsolda (G') défini par l'équation :

et un autrs point M' de coordonnées a', g', y'. Clierchons l'action exercée par cet ellipsoïde sur le point M' suivant une loi d'attraction représentée par la fonction <Ji'(i'). La composante A.' analogue à A sera donnée par la formule :

cos (N, x) du.

(8) A' = »'«'j[) '+("') analogue à la formule (5), et oîi l'on aura :

(9) .'• = («'»- .')■ + (S', - ffy + C«'î - 1')'-

Cela posé, s'il est possible de déterminer les constantes a', b', c', i', ^', Y et la forma do la fonction <b de telle manière que l'on ait,

pour toutes les valeurs de §, tj, i; se rapportant aux différenU de la sphère :

on en déduira :

Se' „, „ a'c' „, „ a' b'

oc ae ad

et la recherche de l'attraction de l'eltipaolde (G) avec la loi d'att) f ' (r) sera ramenée à celle de l'ellipsoïde (Q') avec la toi diSTéreute Examinons par conséquent s'il est possible de vérifler l'équatic pour toutes les valeurs de Ç, ij, Ç qui satisfont à l'équation (3), dire qui sont les coordonnées d'un point de la splièrs de rayon I Si l'équation (10) a lieu identiquement, l'équation M = entraînent la suivante :

*' z=: const.,

et par conséquent les deux ellipsoïdes représentés par les équati

o\i c' est une fonction convenablement choisie de c, devront se c suivant une courbe située sur la sphère de rayon I. Il faut comi sait, pour qu'il en soit ainsi, que l'on ait :

pour toutes les valeurs possibles de Ç, y„ ^, les constantes A et À convenablement choisies. Si l'on remplace «*, »'' par leurs valei ai l'on désigne, pour abré^r, par — i* la constante c* — hc' aura l'équation :

qui devra être vérifiée identiquement. On reconnaîtra aisément remplaçant l'ellipsoïde (G') et le point M' par un système semb on peut réduire à à l'uDité, positive ou négative. Supposons A ■

48G COURS DE UËCAHIQUE. «

les équatioDs d^identiâcation dans cetM hypothèse devieadroDt :

On djiluit de là :

S' = Ks- - X,

' Vc--:

Sapposoas donnés a, p, y, (i> &, e, ^. La dernière éqaation fournint toujours une valeur de X, qui sera réelle et inférieure à e*. Par suite, a', fl', y', a', i', & seront réels et il ; aura un ellipsoïde (G'] déterminé par la formule (T). Oet ellipsoïde sera d'ailleurs bomofoeal it l'ellipsoïde donné (G).

On a ici :

»' := »'* — t*, •" = m' + A*, et par conséquent :

On voit donc que :

Si l'en tait trouver Pat^aetton d'ttit elUptotde Jiomoghu quelconque attc la loi d'attraction exprimée par lajiirmule

on saura également trouoer l'att'oction dont Ct cas oli la loi serait repré-

tenUe par la/ormale :

k détiçHMl MM eomiante arUtraire.

Par exemple, pour Is loi de la nature, on a :

Le tliéorème précédent permettra de trouver l'attraction a exprimée par la fonction

Si Ton développe cette fonction suivant les puissances ( positives de k, tes coefficients contiendront toutes les puissai et négatives de r. En opérant de mSme sur les trois compi l'attraction, on déterminera évidemment l'atti^ction de 1' dans le cas où la loi d'attraction est représentée par une entière paire et négative quelconque de r.

Si l'on développait suivant les puissances négatives < troaverait de même l'attraction de l'ellipsoïde, quand la loi aentée par une puissaoce entière impaire et positive qaeloon distance.

3DR L'HERPOLfiODIE ET SUR QUELQUES PROPOSITIOKS RELATIVES A LA THEORIE DE POIHSOT.

On a vu dana le texte l'expoaition des résultats de Poinsot, relatifs k la rotation aatour d'Un point fixe d'un corps solide qui n'est soumis k l'action d'aucune force accélératrice. Le mouvement peut Stre représenté géométriquement de la manière la plua claire par le roulement d'an ellipsoïde (E),a7ant pour centre le point fixe, sur un plan Sxfi(P): la grandeur de la rotation étant k chaque instant proportionnelle au nyoa vecteur qui va du centre de l'ellipsoïde au point de contact de cet ellipsoïde et du plan. Noua nous proposons d'abord de donner quelques développements relatifs à cette belle théorie de Poinsot.

Soit:

l'équation de l'ellipsoïde d'inertie. Les équations d'Euler prendront ici la forme :

f dr e jb — a)

NOTE XVII. et admettront les deux intégrales :

Si l'on désigne par a, y, t lea coordonnées du pOle, c'est à dire du point oii Taxe de rotation perce l'ellipsoïde (E), on aura évidemment :

et par conséquent ; (4) .

yî yi Vi

La polhodie, ou route du pôle dans le corps, seia donc définie par les équations :

que l'on obtient en romptafant dans les formules (3) p, g, r par leurs expressions eu function de x, y, s. Les équations (3) ou (5) expriment, comme on sait, que le plan taogent & l'ellipsoïde (E), en un point

quelconque de la polhodie, est à une distance constante, — -> du centre

de l'ellipsoïde (E). Si l'on forme une combinaison homogène des équations (5), on trouvera la relation :

qui représente évidemmenl le cdne, lieu de l'axe instantané dans le corps.

Soit M un point quelconque de l'ellipsoide ; on a vu que le plan

tangent en H, mobile dans le corps, est fixe dans l'eapace, Piopoacnunoua de définir la courbe décrite par le point M sur ce plan fixe st la manière dont elle eet parcourue. Poinsot lui a donné le nom à'herpolhoiU ou route serpentante du pôle.

Pour cela noua abaiBserons du centre 0 de l'ellipsolda une perpendiculaire sur le plan (P), tangent en U et, en désignant par I le pied de cette perpeadiculaire, noua rapporterons l'IierpolhodJe k un système de coordonnées polaires ayant pour pOle le point I. On a évidenunent, dans le triangle rectangle OIH :

01 = ---. IM = yOM — CI >

ou en désignant par p le rayon vecteur IM :

En remplaçant x, y, t en fonction des rotations et désignant par v, la grandeur de la rotation totale, on trouvera :

On sait comment on définit u en fonction du temps. Si l'on ajoute aux équations (3) la relation

on peut exprimer p, g, r en fonction de u, par les formules :

^ (a — *) (a — c) = w' — (S -H c) A + bel*,

(8) 1 (d a) (S — c) = «■ — (« + c) A + acl\

^ (c — a) (c — *) = u' — (a 4- S) A + abi*.

On a d'niileurs :

dia dp dq dr (a — S) {b — c) (c — a)

Il safflrft de remplacer ji, g, r par leurs valeun, pour rstrouver la formule :

donnée à la page 239; elle fait co»naltre u et par conséqu^t p en fonction du temps.

Pour définir l'herpolhodie, Poinsot a employé une métbode ingénieuse : Comme le c9ne, lieu de l'axe instantané dans le corps, roule sur le cAne ayant pour base l'herpolbodie, les arcs correspondants décrits par le pâle, sur la polhodie et sur l'herpolhodie, seront nécessairement égaux. Or, on peut évidemment exprimer la difi'érentielle de l'arc de la polhodie, et l'on obtiendra un résultat de la forme

il = F (m) dit,

ou, en exprimant m en fonction de p, au moyen de la formule (7) :

dt = F, (p) df.

Par suite de la propriété signalée par Poinsot, cette équaUon convient également à l'herpolhodie et suffit évidemment à la défiair. Nous nous contenterons d'indiquer cette méthode, qu'il nous paraît préférable de remplacer par la suivante :

Puisque le cdne, lieu de l'axe instantané dans le corps, roule sur le cAne fixe ayant pour base l'herpolhodie, les aires décrites sur ces deux odnes par le rayon vecteur OM dans le mfime temps seront égales.

Par conséquent, si l'on considère l'aire influiment petite décrite dans le corps par le rayon vecteur OM, pendant le temps dl, et si on la projette sur le plan tangent en M, on aura l'aire décrite dans le même temps dt par le rayon vecteur p, aire dont l'expression est, comme on sait :

■ ip'«,

6 désignant l'angle polaire relatif h l'herpolhodie.

L'aire d^ décrite par le rayon vecteur OM a évidemment pour

projections sur les trois plans principaux :

dl^ =zi{gdx — x dz),

dZ, = -{xdy—ydx).

En remplaf&nt z, y, < par leurs valeurs tirées des formules (4), et tenant compte des relations (vl), on trouve pour ces projectiona les

valeurs

D'autre part, les cosinus directeurs de la normale au plan tangent en U sont : '

al' hC cl On aura donc, pour la projection de d^ sur le plan tangent, Tes-

Or, si dans les formules (8) on remplace u^ par son ezpressioD en fonction de p', on a

Portant ces valeurs de;% ;', r- dans la formule (10) on trouve, pir

un c&lcul très facile :

^rj . ^ (A-»;')(»-«'i(<-tnn ^

Si l'on ajoute à cette équation colle qu'on déduit de l'équation (1), en y remplaçant u* par son expression en fonction de p :

-V -V *' — û' — l" ■*■-■ — w- — JL^ * — «i —

on obtient un système de deux équations qui défloissent à la fois rtierpolhodie et le mou?ement du pftle sur cette courbe. Ces deux équations appartiennent à lu forme générale :

3'— = Mp' + »,

ou m, », k sont trois constantes et oïl F(^) désigne un polynôme du troisième degré commençant par le terme x'. Nous allons Toir que, réciproquement, tout système de la forme (13) déâuit une herpolhodle, pourvu toutefois que n ait une valeur déterminée et qu'on étende la théorie de Poinsot au cas où les constantes a, b, c, qui figurent dans les formules d'Buler, ne sont plus assujetties à des relations d'inégalité et peuvent même prendre toutes les valeurs réelles.

En effet, désignons par a, ^, f les racines du polynôme F(2). L'identification du système (13) aux formules (11) et (12), nous donne les relations :

^ ') (A— «')(A— c^') (A— ni') (A— ri*) {h—al^){h~bl*)

Cee six équations ne contiennent que cinq inconnues; elles ne pourront donc être vérifiées que s'il existe un certaine relation entre

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i, M, n, a, ^, ■(. Cotte raUtion sb trouve d'aillears îmmédistemeDt,

elle eal :

On peut récrire :

.Sv = -p-

et l'on trouve Blore :

Les Tormules (13) ne peuvent évidemment définir une courbe réelle que si F («) est négative pour certaines valeurs positives de t, et d'autre part l'équation de condition (15) nous montre que la même fonction sera positive pour «^0.11 résulte de là que le polynôme F {x) aura nécessairement trois racines réelles, dont deux positives. Les valeurs de a, 6, c seront donc réelles; mais elles ne seront pas uécessairement positives et, si elles sont positives, elles ne satisforont pas nécessairement aux rslations d'inégalité qui caractérisent l'ellipsoïdo d'inertie. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Les égMtioM :

(A F («) détignt %» polynôme du troUilme Asgré, pour Uquel le coeffleiett de a* ett égal à i, dijtnisseat, pourvu gue Ton ail .-

: ± ik'F(O),

Vherpolhoiie correepondanle av moavemenl de Peinsot, ou d ci mouBement dans Uguel TeUiptotde d'inertie terail remplacé par une lur/aee à cetUn quelconque du tecond degré.

Nous verrous qu'il j a utilité à introduire dans la théorie la coDsidération de ces mouvements plus généraux.

Od peut présenter soua un autre point de ?ue la déSnition de

dt rberpolhodie. Si l'on cherche la vitesse du pOIe -- 1 les equatione (11)

nona donnent :

L'équation (18) exprime la condition nécessaire et ButBgante pour que le second membre soit divisible par p*, c'est & dire pour que la vitesse soit donnée par une équation de la forme :

(80) 0* = - **p' + Mp' + N.

On obtient donc cette nouvelle définition de la trajectoire du pâle : L'herpolhodie ett une courbe pareoarue par un point dont la -mttMse

dd

aréolaire p* — e»l d chaque ùtsloat une fonction linéaire dn carré d»

rtifon veetewr, la vitesse totale étant une/onction bicarrée du mime rayon. dam laquelle le coefficient de p' eil ne'ffali/.

Nous indiquerons, en terminant cet article, la remarque suivante :

Les formules (11) et (12) qui déterminent l'herpolbodie relative au mouvement défini par les formules (1), (3), (3), ne présentent que les constantes A et /, associées h des fonctions symétriques des axes. On pourra donc les écrire sans résoudre l'équation du troisième degré qui détermine les axes principaux de l'ellipsoïde central. La détermination de p* ou, ce qui wt la mdme chose, de u' en fonction du temps, exigera donc l'inversion d'une intégrale dliptique; mais cette inversion une fois exécutée, la détermination des composantes de la rotation relatives aux axes quelconques auxquels est rapporté l'ellipsoïde central ne dépendra plus que d'un calcul algébrique.

On peut du reste diriger les calculs et représenter les équations de l'herpolhodie sous une forme qui mettra complètement en évidence la propriété que nous venons de signaler.

Soit:

f{x) = {x — a)(x — b) (« - c) = «' — Px" + Q» — K = 0, l'équation qni détanaine les carrés des axes de rellipso!Je central.

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196 COURS DE UËCANfQUE.

)n a d'abord :

D'autr^part, od peut écrira :

F (p-) = n (p- + j-^) = ~ n t P-* + .i - .iV |,

et par cODséquent :

^<'''=^ve-^').

Introduisons la variable auxiliaire ;

pM + m

un calcul facile nous donaera lea équationa :

qui défiDisseat complètement rherpolhodîe. On p«nt leur ajouter l'équation :

qui fera connaître l'arc de la courbe. Les ralears que peut pnodre la Tariable » sont déâaies par la double condition de donner das valeurs

réelles pour p et— ; c'est ii dire de rendre positifs les deux produits;

On déduit facilement do cette condition la règle suivante :

a, d, c désignant les carrés des axes rangés par ordre de gruideur,

Digltlzcil by ^lOOQ IC

« doit TBrier dans celui des intervalles (a, à) (b, c) qui ne contient

Les formulea précéden'es permettent de résoudre très aisément une qnestion qui, dans ces derniers temps, a été l'objet d'un assez grand nombre de tr&Taux. La représentation de Poinsot, ausai bien que les formules, montre que l'herpolhodie est comprise entre deux cercles ayant le pOle pour centre et qu'elle serpente de l'un k l'autre. Poinsot paraît croire, comme l'indiquent les figures qui accompagnent a% ThéorU noueeUe de la Rotation d'un eorpi solide {Joarwal de Liouoille, 1" série, t. XVI), qu'an moins dans certains caa l'herpolbodie a des pointa d'infiexion. La coaclusion contraire a été établie en premier lieu par M. de Sparre {Comptet reniai, t. XCIX). Nous allons reprendre ici cette recherche en utilisant les formules .démontrées à la an de l'article précédent.

L'expression du rayon de courbure plane en coordonnées polaires est donnée par une formule que l'on peut écrire de la manière suivante :

T. - 2 tf P '^''

Cette forme se prSte à un calcul facile, et les équations (21), (22) noua donnent :

dt' / /R Q

Si l'on veut obtenir les points d'inflexion, il faut exprimer que le rayon de courbure devient infini; et comme ta variable w n'atteint

t jamaii

(24) Desfeirous. — Mécanique. II.

Si t'OQ ne voulait pas calculer le rayon de courbure, on obtiendrait immédiatemeut la valeur précédeate de ti en écrivant l'équation ■

qui fait connaître les points d'inflexion.

Il T6stt ik reconnaître si la valeur de u définie par l'équation précédente correspond à des points réels. Pour cela, il faudra, d'après la règle donnée à la fia de l'article précédent, qu'en rangeant les cinq 2R

l'une ou l'autre des deux suites :

Considérons par exemple le cas oii la surface qui roule est un ellipsoïde. Les relations d'inégalilé qui caractérisent l'ellipsoïde d'inertie peuvent s'écrire :

Donc, fAerpolAodU correspondante au mouvtment cCm corps uiiâe M'a jamais de point ^injtexien.

Mais quand la surface qui roule est un ellipsoïde qui ne satisfait 2B , 2R

présentant nécessairement des inflexions. Des distinctions analogues se présentent pour les hyperboloîdes ; nous ne nous 7 arrêterons pas. On peut encore se demander s'il existe des berpolhodies pour

lesquelles la vitesse angulaire — du rayon vecteur peut changer de

signe, en sorte que le rajon vecteur, au lieu de progresser toujours

NOTE XVIt.

dans le même sens, ait un mouvement oscillatoire, L'czpreaaio donnée par la première des formules (21) nous montre qi circonstance se présentera toutes les fois que u pourra prc Yalaur 0 ; ce qui aura lieu, d'après la règle donnée à l'article pn si les deux produits :

Hf)j, = -'i'f,' -f

sont positifs. La premier ne pourra l'être que si la surface bjperbololde à une nappe ; et la valeur du second nous moût

que la constante ^ devra être comprise entre les cari-és a%\b i

réels de la surface, c'est à dire que la polhodie devra être tracéi de l'axe réel majeur.

Il est aisé de confirmer ce résultat par quelques consid géométriques. Pour que le rayon vecteur ait un mouvement osci il faut évidemment que l'angle de la tangente et du rajon puisse s'annuler ou devenir égal à x. Or, dans l'herpolhodie I vecteur et la tangente tonl deiui langmte$ conjuguées de la m roule. Biles ne pourront donc se confondre que si les courbun surface sont opposées, c'est à dire si la surface est réglée.

Le mouvement du corps est maintenant complètement dé: connaît le cAne lieu de l'axe instantané dans le corps. Ce cAnc du second degré et a pour base la polhodie. On connaît : cône (H) : il est transcendant et a pour base l'herpolhodie. I de faire rouler le premier cdne sur le second avec une vit rotation :

« = y/t. ÔM,

constamment proportionnelle à OM.

On a fait h cette solution de Poinsot un reproche qui, au' abord, paraît fondé. On objecte qa'elle ne reprétente pat le tem est certain que si on avait réalisé matériellement les deu

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précédents et si, par ua engrenage par exemple, on les obligeait à rouler l'un sur l'autre, on n'aurait pas encore la représentation complète du mouvement; il est difficile de comprendre comment on pourrait imprimer au cône du second degré une vitesse de roulement, constamment proportionnelle & OM. Mais nous allons voir qu'on peut atteindre ce résultat eu établissant un rapprochement entre la repr^ sentation précédente du mourement et une seconde représentation, qni est encore due à Poinsot.

ConserTons toutes les notations précédentes. Soit M le point de contact de l'ellipsoïde (E) et du plan (P), I la projection du centre 0 de l'ellipsoïde sur le plan (P). Si par le centre de l'ellipsoïde nous menons un plan (P') parallèle au plan (P), ce plan (P') demeurera fixe dans l'espace, comme le plan (P], Soit M' la projection de M sur ce plan (P'). Il est clair que la rotation totale OM Ka peut se décomposer en deux; l'une dirigée suivant 01 dont la valeur sera constante et égale à

l'autre dirigée suivant OM' et égale à

|/I DM'.

Si dono nous imprimons au plan (P') une rotation constante, égale

à-i autour de 01, le mouvement de Tellipsolde par rapportau plan (P')

devenu ainsi mobile se réduira à la seule rotation autour de OM'. Par conséquent, si nous construisons le cAue (C) lieji des diverses positions qu'occupe la droite OM' dans l'ellipsoïde, le mouvement relatif de l'ellipsoïde par rapport au plan (P') se réduira au roulement du cOne (C ) sur le plan (P'), la vitesse de roulement étant constamment égale à KÂ OU'. Ainsi : '

U moavemenl du (xrpi peul auiti te repritenler par U roulement d» cCne (C) lie» de OM' tur le plan (P'), ce roulement l'ej^ectuant avec U

eiteite OM' (^À, pendant que le plan tourne avec une titette eonttgntej autour de sa normale 01.

C'eat ta seconds représsDtation da Poinsot. Pour la déflair complètement il Bu£9ra éridemment da trouver le lieu des diverses positions du point M' par rapport à l'ellipsoïde.

Or le point M' est à l' intersection de la normale en M, définie par les équations ;

X — fl! Y — y Z — *

avec le plan parallèle au plan tan^nt en U :

Xx Yy Za — + -î + — = 0.

Ces ^uations combinées donnent pour les coordonnées «', y', z' du point M' les valeurs suivantes :

) , br — k

' , cl» — h

Tirons de ces équations les valeurs de x, y, s, et portons-les dans le système formé par l'équation (5)° et la seconde dea équations (5). Noua aurons ainsi les deux relations :

qui définissant complètement le lieu de H' . D'ailleurs OM' est évidemment é(r&l au rayon vecteur lU de rherpolhodie, que nous avons désigné par p et l'on a :

Od peut déterminer aussi U trace laiBsée par le poÎBt M' sur le plan tournant (P'). Si l'on désigne en effet par 6' Tangle polaire que fait OM' avec une droite fixe OU, entraînée dans le mouTement du plan (P'), on a évidemment, puisque OM' et IM sont parallèles :

• dl;

0 désignant toujours l'angle polaire, relatif à l'herpolliadie, qui flgure dans la formule (11). Tirons de l'équation précédente la valeur de d% et portons-ls dans cette formule (11). Noos aurons :

(A — gf) (A — »■) (i ~cn .

Al'

-dl.

Cette relation, jointe à la formule (12), définit complètement la route tracée par le point M' sur le plan (P'). On voit que Vairc décrite par le rayon OM' est propor&mnelle an temps.

Cette seconde représentation géométrique du monvement étant bien

comprise, considérons les deux cOnes du second degré, (C) lieu de OM, (C') lieu de OM', invariablement liés l'un à l'autre; et faisons rouler le cAne (C), avec la vitesse requise, sur le cAne fixe (H), ayant pour base l'herpolliodie. Le cOne(C') restera en contact avec le plan inTarisble(P'); mais il aura un double mouvement: il roulera sur ce plan avec la vitesse Vh. OM' , et il tournera en mSme temps autour de 01

&TCC la ^

de 0[ et imaginons en mSme («mps une disposition, par exemple nn ■ engrenage ou un état rugueux des surfaces en contact, forçant le cûno (C) à rouler sur le plan (P'). Alors, pendant le mouvement le plan ^P') sera entraîné par le cône (C) et tournera autour de 01 avec la vitesse constante -- Par conséquent, si l'on considère une partie quelconque du mouvement, l'angle dont ce plan aura tourné, multiplié par-i mesurera le temps qui s'est écoulé dans le passage de la position initiale & la position finale du corps. Inversement, si nous réalisons matériellement toute cette disposition; le cOne (H) fixe dans l'espace, les cAnes (0) et (C) invariablement liés l'un à l'autre, te cône (C) assujetti h rouler sur (H), le plan (P') mobile autour de 01 et assujetti à rouler sur le cône (C); il suffira, comme il s'agit d'un système à liaison complète, de faire tourner le plan (P' ) sur lui-mâme,

avec la vitesse constante y pour voir le cône (0) rouler sur (H) avec

la vitesse qui est exigée par la représentation de Poiasot. Ainsi, pour obtenir cette vitesse variable, il suffira d'imprimer k un plan mobile autour d'un axe une vitesse constante de rotation.

Cette disposition, qu'un constructeur pourrait aisément réaliser, fournit l'interprétation complète des deux équations que nous avons données relativement a rherpolhodie et qui contiennent le t«mps. Ce qui a motivé peut-être l'objection faite à la solution de Poinsot, c'est que cet illustre géomètre, après avoir obtenu par un procédé ingénieux la relation entre 6 et p qui définit l'herpolbodie, s'est contenté d'indiquer, sans faire les calculs, un moyen de trouver l'autre équation, celte qui définit te mouvement du pôle sur la courbe.

rv

Dans un Mémoire inséré aux Philosophical TrSHsaetion» (t. CLVI, 1806), On the Motion of a Sigld Boiiy acted on by no txUmal Forcei, M. Sylvester a démontré relativement à la représentation de Poinsot quelques propositions curieuses et qui la complètent de la n

plus heureuse. Noua allons exposer ces propositions en nous plaçant k un nouTeau point de vue.

Nous commencerons par démontrer le théorème de géométrie suivant : Étant donnée unepolAodU (P), tracée tar tts elliptosde o» t»r toute atiùt iur/aee à centre du eecond deçré (E), H Ton porte det lonçueure égales nr lei normalei à la surface aj/ant leur pied sur la poUodie, le lie» dei extrémitét de cet longueur! est vfl« nouvelle poiAodie (P,), tracée tur wu nouoetle sur/ace (B,) homo/bcaU à nne ewfaee homothéUqae de (B). De plu let nonnalet à h tur/ace (Ë), aux diférenU points de (P), sont aussi normales à la sur/ace (G,), aats points correspondants de (P,) ('),

Si nous conservons les notations précédentes, la polhodie (P) ecra déflnie par les équations (5). La normale en un point quelconque {œ, y, t) de la polhodie aura pour équations :

La valeur commune des rapports précédents est :

^ K(X - xy + (Y - y)'

' Si donc on porte sur la normale une long^ueur constante \ — - l'extrémité (x„ p„ e,) de cette longueur sera' déflnie par les équations ;

\ étant considéré comme positif quand la longueur constante est portée dans le sens contraire à celui de la perpendiculaire abaissée da centre sur le plan tangent.

(') Oa peut encore mllnctier à cette tliforle le tlidar6ma de géométrie saiTEUit, dont U lecteur trouvera sans peine la démonstration ;

Élmtt données âtvmsurjaaieimcenttiqiitue,), l'i,i) tl Itlla qvt l'tnt loll hoaiotMtiim à vfM Ktrfac» lianiqfocalt dt t'autrt, tOts oui mu ln/Mié de immioUi mm>iiw« An») in piide SéeHtati nr Ut Stum twrfact* du polkoSUi,

On déduit des équations précédentes :

et si l'on pc^te les Tsleurs de x, y, « déduites des équfttions précédentes dans celles de la polhodie, on obtiendra deux relations qu'on ramènera aisément à la forme suiTante :

le - X)-

Ces équations démontrent le théor&me proposé. Biles représentent en eflbt une polhodie tracée sur la surface (E,) dans laquelle les carrés des axes a', i', c' ont pour expressions :

la distance du centre au plan tangent étant la valeur absolue de

Les formules (30) nous montrent que (E,) sent bien homofocale à une surface bomotbétique de (E); d'autre part les équations (28) expriment que les normales aux points correspondants de (E) et de (B,) coïncident et que par conséquent les plans tangents en ces points ■ont parallèles.

Cela posé, considérons le mouvement dans laquelle ta première surface (B) roule sur le plan fixe (P), et soit M le point de contact. Portons sur la normale en U la longueur :

D,g,tizccbyG00gIc

dans le sens déjk défini. Le plan (P,) mené par M panllèlemsDt au plan (P) sara fixe dana l'espace; et d'aprèa le tliéorème précédeitt rellipso!de (B,) sera constamment en coittact avec c« plan. Proposonsnous de définir le mouvement de (E,) par rapport à (P,).

La rotation OM l^Â peut évidemment 6tre considérée comme la résultante d'une rotation égale à :

OM. i/i.

B Tiitation constante :

dirigée suivant 01. Si la première existait seule, elle déterminerait le roulement de (EJ SUT le plan (P,). Or, pour détruire la seconde il suffit de supposer que le plan (PJ est lui-même animé d'une rotation constante )./ autour de OL Nous obtenons donc la proposition Bui Tante :

le mouBtmmt peut être représenté par U roulement de /'mm çuelconçue det iw^aea (E,) sur le plM corretpmdanl (P,), U)»nia»l autû*r de 01 avec la oiletse txMtslanteXl.

Examinons quelques cas particuliers. Si l'on donne à X une des valeurs a, 6, e la surrace (E,) se réduit i. une conique, qui sera, nous l'avons vu, homothétique U l'une des focales de (E). Donc :

£e mouiiement peut se représenter de deux mattièret dijêrexles par U roulement d'tme ellipse sur un plan Jlxe et d'une seule naniire par le roulement d'une hyperbole, chacun de ces roulements étant accompagné . iTune rolalio* constante autour de la perpendiculaire au plan ^e (*).

s àea deux a arc d< la

e UiaLioguenl d E Butier But la plan et IlieriioIliodiB coireipoatiai] l. Pour l'nulre ellipsB lo pfllo décr.' " urlie el l'tierpulbodia correspondante aura dei puinls as relira UBaemenl, corrt»indaniH ùlu valoiir minimum du rayon verleur. DaQS te ras oii la courlie roulmle ra une iiyperbule, le pôle décrira soulement un nrc de la courbe el itierpothodie aura is rebioussemeals ; mais iU corrispondrunl alors a la valour mastpaim du rayon

NOTE \vn.

li y aurait ouwi à examiner le eus particulier oii l'on a :

mais comme il donne la seconde représentation géométriqae de Poînsot étudiée à l'article préeédent, il est inutile d'jr roTenir ici.

Parmi les Surfaces (E,) il 7 a évidemment deux séries d'ellipsoïdes : les nns, correspondants aux valeurs de X Biipérieures à n; les autres aux valeurs de X inrérieures k e. Pour des râleurs trds grandes de X ces ellipsoïdes se rapprochent de la sphère. Il y aura donc une valenr de X ï partir de laquelle ils satisferont à la relation d'inégalité qui caractérise l'ellipsoïde d'inertie. Doac :

Le roulement d'une surface quelconque du second degré sur un plan tel que nous l'avons défini peut toujours se ramener, et d'une infinité de manières, su roulement d'un ellipsoïde d'inertie accompagné d'une rotation constante autour d'une perpendiculaire au plan invariable (}).

Si l'on veut obtenir Therpelhodie relative tu roulement de la surface (E,), il suffira évidemment de remplacer dans les fonnules (II) et (12), (ffl par

<f6 + XI dl.

ce qui donnera :

(,lJ = K=rîF(F).

On peut encore obtenir les résultats de cet article par la méthode analytique suivante :

Considérons le corps mobile et supposons qu'au lieu de le rapporter

[') lpi encore s'offre un mofsn île représealer mâcaniquemont le lempi. Si (E) esl un elUpsoIde (l'inertie, Il entraloeta dan» son mouvement les lurTaires (Eii. SI ce1lee-«i ne peuvent que niulsr sur les plans coirespondanlB (Pi), elle* eDlràtneront duis tour mouvement loosMSpIeni, qullourneroatunifonnémenlautouKle IsurperpeDdiculsire comEiuDe menée par le cenlre.

à des axes fixes, on le rapporte h dea axes tournant uniformément autour de la perpendiculaire 01 au plan invariable. [)éBignons par

la grandeur de ta rotation imprimée aux axes. Comme elle est dirigée suivant 01, ses projections sur les axes principaux de la anrtaee (B)

s'obtiendront en multipliant par XI les cosinus — i — > — des angles

'^ al 61 cl ^

de 01 avec ces aies. On aura ainsi :

pour les expressions de ces projections. Par conséquent la rotation de (B) par rapport aux axes mobiles aura pour eomposantes :

ant dans les équations d'Euler les express tp', ç', r', on trouvera :

En eubstituant dans les équations d'Euler les expressions de p, ç, r a dap', ;', r', on trouvera :

et les équations analogues^ Or, ei l'on pose :

(33) «'=»(« — X), J' = w (S — X), c' =mie — X),

ces équations reprennent la forme primitive :

dp' a' (^ — b') , ,

Tt ~ 7J' ^ ""' '■'

et par conséquent tes rotations relatives;', g', r' définissent la roulement d'une surface dont les axes seraient donnés par les formulek (33). Les équations \32) qu'on peut écrire :

(34) »(-j=z-i M — ^-i ut — ^-»

montrent que 1& direction du plan invariable n'a pas changé ; ce qui achève d'établir la proposition de M, Sylvester.

Si l'on désigne par t et A' les Douvelles valeurs de /et de i, on trouve, comme conséquence des relations établies :

Les propositions que nous venons de démontrer permettent de présenter l'interprétation géométrique d'un résultat de Jacobi qui résulte d'ailleurs immédiatement de la théorie de Poinsot. Imaginons que l'on considère cette période du mouvement pendant laquelle le pOle instantané décrit entièrement la polhodie. Il est clair que, lorsque la révolution du pOle sera achevée, le corps sera dans la mSme situation que s'il avait tourné, tout d'une pièce, d'un certain angle autour de la perpendiculaire 01 au plan invariable. Si donc, au lieu de rapporter le mouvement à des aies fixes, on snppoae que les axes Os, Oy situés dans le plan invariable soient animés d'une rotation uniforme, de manière à tourner du même angle que le corps ^ana la période du mouvement considérée, on voit que le mouvement relatif à ces axes mobiles sera oscillatoire et périodique. I<e mouvement absolu peut donc être considéré comme se composant d'une rotation constante autour de 01 et d'un mouvement oscillatoire auquel Jacobi a donné le nom de mouvement otcillaloire tnoye%. Les remarques précédentes . permettent de le définir géométriquement.

Nous avons vu que ce mouvement peut âtre représenté par le roulement d'une surface sur un plan. Mais ici l'herpolhodie doit être une courbe fermée pour laquelle l'angle polaire 0 reprendra la même valeur après une révolution complète. Et par conséquent la Burfoce qui roule devra être, comme nous l'avons établi, nn hjperbololde k une nappe. Ou peut mSme ajouter que, dans ce cas, la polhodie sera tracée autour de l'axe réel majeur de la surface.

Les équations déjk données de l'herpolhodie vont nous permettre de déterminer le mouvement oscillatoire moyen.

Heprenons en effet les équations (31) et soient s et ^ le^ valeurs extrêmes de p. L'angle total 6, dont tournera le rayon vecteur quand p

510 COURS DE UÉCAMQUE.

varie de ^ à a est donné par la relation :

\ ilJ^V~h F(p*) Jp p |/ A F (p»>

D suffira de déterminer X par la conditioa que cet ang'Ie e'aniiùle et Ton connaîtra ensuite le monrement (B,).

SDR L& THÉORIE DE P0IIT30T ET SDR DEDX HODVEHENTS DIFFÉRENTS, CORRESPONDANTS A U HÉHE POLHODIE.

Dana Is note précédante nous avons conaidéré la ^néraliafttion du mouTement de. Poinaot qui conaiste à faire rouler sur un plan, non plus un ellipsoïde, dont les axes sont même assujettis à certaines relations d'iné^litj, mais une surface quelconque k centre du second degré. Co mourement est défini par les équations :

(' dp a (e — 6)

[ Jï ~~ bë ^''' 4^ i (g — c)^^^