PS

oii a, i, c désignent les carrés des axes de la surFace qui roule sur le plan fixe. Les rapports de ces constantes entrant seuls dans les équations, il est clair, ce qui est d'ailleurs évident géométriquement, que l'on pourra, dans la définition du mouTemeut, remplacer la surface par une surface homothétique.

Si, au lieu des équations précédentes, on prenait les suivantes :

dr ^

512 COURS DE UËCANIQUE.

OQ aurait, il est Kïaé de le recoDnaître, un mouTement plus général. Pour que les équations (3) puissent eu effet être identifiées aux équations (1), il faudra que l'on paisse trouver des nombres a, S, c dont les rapporta satisfassent aux trois équations :

L'élimination des rapports de «, t, e conduit & la relation auÎTftDte :

qui doit être satisfaite pour que les équations (2) définissent Is mouToment correspondant aux formules (1) et auquel nous donnerons, par un juste hommage, le nom de momtmeHt dr Pointât.

II résulte de W que, lorsqu'on aura obtenu un mouTement de Poinsot, dans lequel les rotations satisfont aux équations (I), on en aura one infinité d'autres pour lesquelles les rotations p' , q',i^ seront, à chaqae instant, égales aux rotations p, g, r, multipliées par des nombres constants. Si l'on pose en effet :

(5) p' = cl' p, g' = ^' g, r' = -[' r,

p', g', r' satisfont à des équations de la forme (2) dans lesquelles les eoostantes a^, 0,, y, ont les valeurs suivantes :

En exprimant que ces valeurs vérifient l'équation (4), on aara l'unique condition à laquelle doivent satisfaire a', ^', y* '■

(7) a' (c- &)(«'»-!) + S'(a-c)CP'*—l) + c'(5-a)(Y"-I)=0.

U restera-donc deux constantes arbitraires.

L'étude des relations entre tous les mouvements qui sont ainsi associés à un mouvement donné, mériterait d'être faite avec boîd. La théorie de M. Sylvester que nous avons développée dans la Note précédente repose précisément sur la considératiou de quelques-uns d'entre eux. Nous ne voulons pas entreprendre ici leur étude

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NOTE xviir.

générale; noua allons seulement examiner un cas très partici qui, comme nous le verrons, est susceptible d'une application digne d'intérêt.

CoDsidérons uu mouverneot de Poiusot, défiai par les équutioDa jointes à Tintégrale des forces vives :

et à l'intégrale des aires que l'on peut évidemment écrire, en i pliant a, i, c par une constante convenablement choisie :

Les résultats établis à l'article précédent montrent que si l'on p le mouvement dans lequel les rotations sont :

ce aéra encore un mouvement de Poinsot. La relation (7) est en

vériflée par les valeurs :

Ainsi, d'un premier mouvement (Ë), défini par les Tormules (1] et (9), on peut en déduire un autre (E'), dans lequel lu rotation chaque instant égale et contraire à celle du premier mouvement, allons étudier la relation, qui est évidemment réciproque, entn deux mouvements. Si nous désignons par a', b', c', à' les consfa relatives au mouvement (E'), l'Intégrale des forces vives et Tinté des aires dans ce nouveau mouvemeat seront :

DtspEYROUS. — Jf^caiiÎ7i(e. II. 33

514 COURS DE UÉCAMIQL'E.

et il faudra éTidemment exprimer que ces deux équations s'obtieumat en combinant linéairement les relations (S) et {9], On obtient &lnsil> BjBtème :

qui contient implicitement toutes les relations entre les deux mou-

Ces formules nous donnent deux expressions différentea pour chMon des axes a', b', c'. En les égalant, nous avons un système de trois équations, qui expriment que a, b, e sont les racines de t'équatioa du tooisième degré :

(13) (Vfl> + n') «' — (X« + I*)* = 0.

Posons pour abréger :

ab + ae + bc =

En écrirant que l'équation (13) a mâmes racines que la suivante :

«' — Pai» + Q* — R = 0,

on aura les conditions :

),* — 1*' = VP, 2X[* = — VQ, ifc* = VB,

qui. Jointes aux deux dernières formules (12), vont nous donner )., À', |t, n' etV.

Désignons par Q* la quantité définie par la fbrmule :

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et les formules (12) nous donneront a', i', tf, V. Introduisons les notations sninutes :

NOTE xviir.

noua trouverons :

i , , 4B , g' - 4BP [^ Q.' K Q. '

i = as + ae — ilî = Q-

qni résolvent complètement la question proposée. Si l'on désigne par "■'t ^'i f'i Û' I^B quantités analogues k ce, ^, f, Q et relatives an second mouvement, on en déduit les formules :

0») Q' = Û, cta.' = pp' = tY = Û»,

qoi mettent en évidence la réciprocité entre las deux mouvements. Signalons encore les relations :

Tontes les fois que le premier mouvement sera réel, il en sera de mtew du second, n suffira, pour le prouver, de faire voir que la quantité

Û* = Q*-4B(P-Ji)

eet positive. Or, i étant nécesasiremeot comprise entre a et c, le urrë

de U sera compris entre les deux quantités :

qui sont essentiellement positives; car Tune est le carré de a et l'autre le carré de y.

Bien plus, les relations (19) nous montrent que a, p, 7 auront respectivement le mSme sî^e que a', ^', Y ; et par conséquent si la surface correspondante au premier mouvement est un ellipsoïde d'inertie, il en sera de mâme de la surface correspondante au second.

in

Après avoir défini les relations entre les deux mouvements (B), (B,), nous allons déduire quelques conséquences qai résultent de leur considération simultanée. Soit (C) le système des axes mobilea formé par les axes principaux des deux surfaces (E), (E,), correspondantes aux deux mouvements. Si l'on construit le point dont les coordonnée* par rapport !t ces axes sont j), g, r, il décrira une même polliodie (P) qui sera commune aux deux mouvements. Dana le premier mouvement (E), le cane (C) ayant pour base cette polliodie roulera, avec une vitesse égale au rayon vecteur, sur un cône fixe (A) ayant pour base une herpolhodie (H); dans le second mourement (E'), le même cOne (C) roulera avec uns vitesse égale, mais en sens contraire, sur un autre cOne fixe (B), ayant pour base une autre herpolhodie (H'); et la géiiéralrict de contact du Cône (C) avec les deux cônes Jltces sera la mime à chagite instant dans les deux monnements. Au lieu de considérer les deux mouvements difierents du système (C) par rapport aux systèmes (A) et (B), rendons le système (C) fixe et obserroos les mouvements de (A) et de (B) par rapport à (C). Dans ces deux mouvements (E'), (E',), inverses dea précédents, les deux cdnes (A) et (B) rouleront sur le cGne (C), ayant pour base la polbodie (P); mais de plus la génératrice de contact sera ta mine à chaque instant et par conséquent Its deux cônes rouleront l'un sur Caulre. 11 suit de là que :

Le mouvement de (B) par rapport à (A) s'obtiendra en/iùtant rouler

direcietamt U cône aj/mt pour iase therpolhodie (H') fiir le eône ayant pour 5a*e therpothodie (H).

Dans ce moaTemeat les dsux courbas (H), (H') seront coastamment eu contact et U vitesse de rotation sera double du rayon vecteur qui ya du centre au point de contact.

Nous verrons que c'est à ce mouvement de (B) par rapport k (A) que peut se ramener dans tous les cas celui d'un corps pesant de rérolutioa suspendu par un point de son axe.

Il nous reste à faire connaître une proposition qui se rattache aux précédentes et qui concerne la polhodie.

Vintertection de deux mr/aees dtt tecond degré conceatrlquet et ayant Ut asti principaux dirigés luivant les mtmei droitet, peut eit général être cûxtidérée, et de deua manières diffrenles, comme mepolAoiie.

Soient en effet :

( A aî' + B / 4- C e' = D,

les éqaations d'une telle courbe. La proposition sera démontrée, si noua établissons qu'on peut les ramener à la forme :

ou a, b, c. A, l sont des constantes quelconques. Il faudra donc exprimer que ces dernières équations sont des combinaisons linéaires des premières. On trouve ainsi pour a, b, e les deux équations :

qui sont évîdemmsnt da la forme :

Elles déterminent en général deux systèmes de valeurs differentea pour les rapporta des axes. Cea valeurs seront réelles toutes les fois que l'on aura :

«mp (nu- » + p) < 0.

Daos ce cas, la courba sera une polhodie tracée sur deux surfaces réelles; et les deux mouvements correspondants seront ceux dont nous venons d'étudier les relations.

Si l'inédite précédente n'était pas vérifiée, les deux moavements précédents deviendraient imaginaires.

Enfin £i l'on a :

mitp (« + « 4- p) = 0,

la courbe est plane ou tracée sur une sphère et elle ne peut pas en général devenir une polhodie,

La cas où la somme de deux des trois quantités M, M, p est noU^ mérite une mention spéciale. Supposons par exemple :

Les équations (19) admettent alors la solution : a=è, c=oo.

L'une das deux Burhces pour lesquelles la courbe est une polhodie se réduit à un cylindre, de révolution autour da l'axe des g. Dana le mouvement correspondant le cylindre da révolution demeure an contact avec un plan fixe; mais la génératrica de contact tourne autour du pied de la perpendiculaire abaissée du point fixe sur ce plan, avec une vitesse angulaire constante.

L'herpolhodie correspondante est définie pac les formules de li page 493, où l'on aurait :

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Quant &a second mouTetnent correspoadant à I& même courbe, il

présents cette eeulo particul&ritô que la quantité Aéàgnéo par 7 dans

I« fonnuies (17) eat égale k zâro.

Pour toute polbodie tracée sur une sur^e dont les axea aatiafont à

cette relation :

le second mouvement ne sera autre que celui dont noua venons d'indiquer rapidement la définition.

La proposition que nous venons d'étadieneat due à M. de La Gournerie qui Ta démontrée dans ses SecitrckeM <w I» tw/aeet rfyUtt Utraich-oUi tymétriqnet, page 165. Cet excellent géomètre n'a rien fait eonnaUre sur la partie mécanique ou cinématique de la question dont nous noua occupons; mais en utilisant quelquea propositions de géométrie qu'il a données en difTérentes parties do aon ouvrage, on peut compléter eu plusieurs pointa les résultats précédents et définir lea relations géométriques qui existent entre les deux aurfacea du second degré dont la courbe d'intersection est une polbodie à la fois pourlesdoux surfaces. Noua démontrerons d'abord le théorème suivant:

La coufàe d^mttrseclitM de deux swr/acet d% second degré ayant Us wiSntes axes principaux tel normale à une injtitité de sur/aees konu^caies dre second degré Jbmamt ww des trois famiUes if m système orthogonal.

Rapportons en effet cette courbe (C) à ses axes principaux. On peut évidemment exprimer les coordonnées a:, y, s d'un de ses points, en fonction d'un paramètre variable p. par des équations de la forme :

a, b, e, M, n, p désignant des constantes. La surface du second degré déterminée par l'équation :

passe évidemment par le point considéré de la courbe et on vérifiera aisément qu'elle est normale à la courbe en ce point. La proposition est donc démontrée.

DaoB le cas o'u l'on a :

la courbe (C) est tracée sur une sphère, et les surraces Dormalea sont daa cOnes homorocaux. En écartant ce cas exceptionnel, on peut multiplier a, b, c, p par une constante et disposer de cette constante de telle maniera que l'on ait :

Alors l'équation prendra la forme :

Il résulte des formules (20) que l'intervalle dans lequel varient les valeurs de p correspondantes aux points réels de la courbe (0) ne peut comprendre aucun des trois nombres a, b, c. Par conséquent l'équation (23) ne pourra représenter que l'une des trois Tamilles d'un système triple orthogonal.

Puisque la courbe (C) est normale k toutes les surfaces représentées par l'équation (22), nous pouvons conclure qu'elle est l'intersection da deux surfaces réelles, appartenant respectivement aux deux autres familles du système orthogonal, et nous retrouvons ce théorème de U. de La Gournerie (<).

Toute courbe h-acée tiir deux turfaeet du eeconi degré afont Us mima taes principaux peut toujours Sire eontidérée comme rinterieetio» de deux suTtacet homûfocoMi réellti pour letçuellei elle ett une ligue de courbure commune.

Les paramètres p,, p, de ces deux surfaces seront définis par les équations :

(g-?.)fa-F.)^ ^,t^-p.)(^ — P.), {a — l>)(a — c) ' " [è — a){b — e)' ^ ic-p,)(.e-p,) ^ (c - a) {c - è)

(I) Ouvrage pilé, p. 163.

KOTE xvm. 521

ce seront lea racines de l'équatioa da second déféré en « :

a — tt b — « c — »

Proposons-nous maintenant de déterminer les deux surraces pour lesquelles la courba (0) est une polhodie. L'équation générale des surfoces qui contiennent cette courbe est :

A désignant un paramètre variable.

La distance P du centre au plan tangent en un point de la surface est donnée par l'équation :

1 (a — A)' a* (i — *)' y' je — ty t*

Bemplaçons x*, y*, «* par leurs valeurs relatives à un point de la courbe; et, pour exprimer que la distance P est invariable, annulons

le coefScient de p dans —, ■ Nous aurons l'équation :

(a-*)' (^ - ly

+ (^ii£> = 0

(C — p.)(C — pJ(C — ft)(C — rf) à laquelle on peut donner la forme plus simple :

(« - P.) (* - P.) (c - p.) (« — p.) [6 — pO te - P.)

Cette équation nous donnera, comme il Mlait s'y attendre, deux valeurs de k. Ces valeurs ne seront réelles que si le quotient

est paaitir, c'est à dire si p, et p, sont respectivement les paramètres

d'un ellipsoïde et d'un fayperbololde à deux n&ppes. Nous sommes

«insi conduits k cette nouvelle proposition :

JA cowht (C), toutes lesjbis qu'elle n'est pat tphèrigtie, ett *ne poUodie tracée »itr deux sur/àces diférenta; maie ces sur/^acet ne sont réelltt que da»t lecatoklee twjitees normales à la eoar^ tout des hyperbolotdet à vu nappe.

Au moyen des formules données, on vérifler& aisément U propo* sitioQ suiv&nle qui conflrme le résultat précédent.

SI l'on conitmit l'hyperhoUHide qui ett normal en »» point quekonqua M de la courSe (C), les deux généralricei reetiliçius de cet hyperiolofde gui passent en U sont les normales, en es mime point, aux deux surfaces pour lessueltes la courit est mm polhodie.

Tous C98 hjperboloides homofocaux, normaux à une mâme polhodie, possèdent une remarquaUe propriété cinématique que nous sUons d'abord établir.

On connaît la correspondance qu'a établie Ivor; entre les points de deux ellipsoïdes homofocaux; la méthode d'Ivor; peut évidemment Stre appliquée k deux surfaces homofocaleB d'une mSme famille et en particulier k deux hjperboloîdes à une nappe homofocaux. Les points correspondants sur ces deux surfaces se trouveront sur une mSme trajectoire ortbogronale de la famille des hjperboloîdes homofocaux, et le théorème précédent pourra évidemment s'énoncer de la manière suivante :

La polhodie (G) est le lieu des points correspondants tTiM pol»t dornu iTwt \yperèoloïde â une nappe sur tous Us kyperboloMts komojbeaux,

La correspondance établis par Ivory étant, comme on sait, une transformation homographique, les génératrices reomignes de l'un des hjperbola!deB auront nécessairement pour correspondantes les génératrices rectilignes sur tous les autres hyperboloEdes homofocaux. Considérons sur un des hypsrboloïdes un segment déterminé de l'une quelconque d'entre elles; quand on passera de cette surface à toutes les autres, ce segment demeurera rectiligne; de plus les trajectoires ds ses extrémités seront normales à la surface sur laquelle il se trouve et par suite an sefi:ment luî-mâme, Donc, la longiueur de ce sèment

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demeurera constante et nous pouvons énoncer la proposition suivante, dueàM. GreenhillC).

L'hyperbolotde à wte nappe eit tiueeptible d'una déJbrmatUn dont laçueUe la ginérateiat reetlliffnei demearent reetlUgna, Us lorigueuri des CStét de tous les qtadrilaiires gauches Jbrmét par ces génératrice! demeurant invariables. Si on le dispose dans (espace de telle maniire gue son centre et les directions de ses axes ret(ent Jlaet, il demeurera constamment homqfbeal d hi-mime, et les trajeeloiret de ses dijgrentt points seront normales i ses positions suecessiees.

n 7 a deux faits intéressants dans cette proposition. Signalons d'abord la possibilité de déformer le réseau formé par les génératrices reotilignes des deux systèmes, de telle manière que leurs pointd d'intersection demeurent toujours les mêmes. A.rant d'être étudiée par la tiiéorie, cette propriété avait été utilisée par la pratique, au moins dans le cas où la surface est de révolution. Tout le monde connaît ces ingénieux appareils qui servent de cache-pot, qui sont formés de deux systèmes de tiges rigides, rattachées les unes aux antres )> leurs points d'intersection et qui sont susceptibles d'une déformation très étendue. Il est aisé d'ailleurs de reconnatcre que cette déformation do Thyperboloïde est la seule possible ; il suffit de remarquer que la forme de tout le système est déterminée dès que l'on donne l'angle formé par deux génératrices déterminées. Si l'on considère en effet la figure formée par deux génératrices d'uD mSrne système et trois génératrices de l'autre système qui rencontrent les deux premières, on reconnaîtra aisément qu'elle est complètement déterminée de forme dès qu'on donne un seul de ses angles.

La proposition précédente donne lieu h, une seconde remarque; c'est que l'on peut disposer dans l'espace les formes successives que prend l'byperboloide de telle manière que la trajectoire de chaque point soit normale aux positions successives de la surface. Cette propriété donne un moyen simple d'engendrer la polhodie. Il suffira de déformer l'byperboloide de telle manière que le losange formé par ses quatre

CI VolrdaoaleJournairJelfMJ'Mijïrflf ifi.Mfm4HM, 1. 1, On Oit Deformatlo» <tfi Hodet ofaBftertohM, gui cun tienl ui du Ihéorème de U. (IrconljlU.

52i COURS DE MÉCANIQUE,

sommeta ait toujours les mâmee droites pour diagonales; ua point quelconque de l'hjperbololde décrira une polbodie tracée sur une surface (E) qui sera normale à toutes tes positions de l'une des génératrices rectilignes qui passent par le point. Il suit de là que toutes les polhodies tracées par les différents points d'une même génératrice rectiligue formeront le système que nous avons étudié à l'article IV de la Note XVII. Cette remarque tirouTera plus loin son application.

Puisque dans le mouvement précédent un point quelconque décrit une polhodie, la plan normal à l'une des génératrices rectilignes en ce point demeurera à une distance constante du centre de la surface. Comme d'ailldurs deux points diamétralement opposés par rapport au centre dans une des positions de l'hyperbololde conservent toujours cette relation dans toutes les autres, deux génératrices, parallèles dans l'une des positions de la surface, demeureront toujours parallèles et les plans normaux a ces génératrices en deux points déterminés demeureront toujours k une distance constante l'uu Je l'autre. Cette propriété de la déformation jouera un rdle essentiel dans ce qui va suivre. On en déduit par exemple le théorème suivant :

Si l'on dé/brme wt hyperioloïdt en laistattljlse une géttéralrice (ff), (eu U* points de la génératrice (jt,), parallile d (g), décrivent det plant, ptrpmdiculairee à (g).

Il est clair que tous les autres points de Iliyperboloîde décrivent des sphères ayant leur centre sur (g) ; et comme d*autre part toute génératrice (jr,) de même système que (g) rencontre (f,), il y aura toujours un point de {g,) qui décrira un plan. Donc :

Si une droite invariable (g^ a trois de ses points assujettis à décrire des sphères ayant leur centre sur (g), il y aura toujours un point de (jTi) qui décrira un plan perpendiculaire à la ligne des centres (g); tous les autres décriront des sphères ayant leur centre sur {g) (').

Revenons au mouvement de Poinaot et considérons une surhce (E) sur laquelle est tracée une polhodie (C). Soit 0 le centre de ^B), H un point de la polbodie et (P) le plan tangent en M sur lequel roule la

(■) Ce théorème présente un cas d'eiceplîoD corrwpoQdaDl au cas où l'byperholuids qui se déronus serait rempiacé pal un parabololdc. Alora la droile Ifi) fait un angla constant avec la ligne ilei centres.

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aurbce (E), avec une vitâsse de roulement que noua supposerons égale au rajon vecteur qui ya au point de contact. Considérons l'hyperbololde (H) de centre 0 normal au point M de la courbe (C) et construisons t'h^perbololde (H') homothétique de (H) par rapport au point M, le rapport d'homothétie étant - ■ Quand la surface (S) roulera sur le plan (P), l'hyperbololde (H'} variera et puisqu'il est semblable à (H), ses diETéreutes formes pourront sa déduire de Tune d'entre elles par le mode de déformation que noua venons d'étudier. Les deux génératrices passant en M seront celles de l'hyperbololde (H) ; de plus, comme la surface (H) passait par le point M' diamétralement opposé à M, la surface (H') passera par le centre 0, et les deux géuératrices rectilignes menées par ce point seront parallèles à celles qui passent en M. L'une d'elles sera par couséqueat perpendiculaire au plan invariable (P) et demeurera fixe dans l'espace. Si nous remarquons de plus que le plan tangent en M est perpendiculaire à la route de ce point dans le plan (P), noua serons conduits au théorème suivant:

Si l'on dé/ttrmt Vhyperbolotde (H') ifo leile maniire qut l'une de tti génératrices (g) demeure Jtxe et coïncide aoee la perpendiculaire aéaUsée de 0 sur le plan (P), U point m diamilralemefit opposé à 0 sera toujours dans le plan (P). Si on l'oêliç» à décrire une eourde qui soit normale auv positions sueceisives de f hyper èoloïde, cette courbe sera une ktrpoUuidie.

Si l'on assujettissait les autres points de la génératrice (^,), parallèle à (ji), à décrire de même des courbes normales à l'hjperbololde, on obtiendrait évidemment toutes les berpolhodies dont l'équation générale a été donnée à la page 508. Soient (A), {h') deux de ces berpolhodies décrites, l'une par le point m dans le plan (P), l'autre par le point m' dans le plan parallèle (P'). Bendons ce plan mobile autour de la perpendiculaire abaissée par le point 0 et imaginons une disposition qui force le point m' à rester sur [h'). Quand le point m décrira lacourbc(il), lepoint m', devant demeurer sur (A'), fera tourner e plan (P') avec une vitesse de rotation constante qui, nous l'avons vu, sera représentée par la droite m' m (p. 501). Inversement si l'on imprime au plan (P') cette ratatios constante, le point m décrink l'herpolbodie (A) avec ta vitesse qui est prescrite par la théorie de Poinsot.

Si nous remarquons d'ailleurs que l'on peut rattacher l'bjperbololde (H) à l'fayperbololde (H'); que l'un de ces bjperboloîdes entraîne l'autre en déterminant à la fois sa forme et aa position, puisqu'ils ont en commun les deux génératrices rectilignes qui se croisenteom, on reconnaîtra que le mouremant de lliyperboloïde (H) est complètement défini. Or les axes de cet hjperbololde coïncident avec ceux de la surface (B). On voit donc qus la théorie précédente donne un mojen nouveau de réaliser Ig mouvement de Poinsot par l'emploi do systèmes articulés. Le corps dont il s'agît d'étudier le mouvement sera représenté par le trièdre trirectangle dont les arêtes sont les axes principaux de l'byperboloïde (HJ.

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SOR LE HODVEMENT D'OR CORPS PESANT DE RfiVOLDTION, FIZ£ PAR OH POINT DE SON AXE.

Dans l'article III de la Note précédente, nous avons défini un certain mouvement qui est produit par le roulement du cOne (B), ajant pour base une herpolhodie (H'), sur un cdne (A) ayant pour base une autre herpolhodis (H). Considérons les deux mouvements (E), (E,) coirespondants à une mSme polbodie (P), le premier se représente par le roulement du cdne (C), ayant pour base la polliodie sur le cOne (A), avec une vitesse constamment é^ale au rayon vecteur. Le mouvement (B',) inverse de (E,) se représente par le roulement du cdne (B) sur le cAne (C); et dans les deux mouvements la génératrice de contact avec le cdne (0) est la même. Si l'on défiait la rotation par ses composantes relatives aux axes principaux du cOne (C), dans les deux mouvements ces composantes sont :

par suite, dans le mouvement do (B) par rapport à (A), les composantes de la rotation totale, relatives aux mêmes axes, seront :

ip, 2tf, 2t.- On a, comme on l'a vu :

4+»' 1;=,, ti

a', h', c', A' ayant les valeurs déâniea précédsmmeat. De plus les cosiD us-directeurs de la perpendiculaire au plan de l'herpolliodie (H) sont, par rapport aux mêmes axes :

et les cosinus -directeurs de la perpendiculaire Ihodie (H') sont :

Cela posé, nous supposerons que le système mobile (B) entraîne un corps solide dans son mouvement; et nous allons chercher quelles sont les forces capables de produire le mouvement que nous venons de définir.

La supposition la plus naturelle et en même temps la plus simple consiste à admettre que le corps solide entraîné est une sphère ayant pour centre le point fixe ; ou du moins, ce qui revient au mâme, que l'ellipsoïde d'inertie de ce corps, qui peut être hétérogène et de forme quelconque, est une sphère pour le point fixe 0,

Soit A. la valeur du moment d'inertie pour un rayon quelconque de cette sphère. Les composantes de la rotation étant :

les projections sur les mâmes axes coordotinss de l'axe du couple des quantités de mouvement seront :

2Ap, 2A.g, ZAr.

Pour plus de clarté nous appellerons axe du corps la perpendiculaire au plan de l'herpolliodie (H') et nous supposerons que la perpeodiculaire au plan de (H) coïncide avec la verticale.

Ces définitions étant admises, les équations (I) nous montrent immédiatement que la composante de la rotation, relative & l'axe du corps, qui s'obtient en multipliant 2p, 2q, 2r respectivement par les

cosinus directeurs — ^t —jt-^ — ;- et faisant la somme des produits

obtenus, est constante et é^le à — 2h'\ elles nous montrent aussi

NOTE XIK. 529

que la projection de l'axe do couple des quantitis de mouvement sur 1k verticale, doatlescosinua directeurs sont-) -• -•estausai constante

et égale k 2 A Â. Cea deux, propriétés appartiendraient évidemment au mouvement, ai le corps mobile avait son centre de gravita sur l'axe et était soumis k la seule action de son poids. Mais elles no sufflsêut pas k défluir complètement les forces qui agissent sur le corps. Considérons la force vive du corps :

Si Ton introduit l'angle 0 que fait la verticale avec l'axe du corps, cet angle sera défiai par la relation :

~ ~~â^~j6' ëc''

et il est évident que, ai l'on tient compte dea deux premières équa* tiona (1), la force vive totale peut s'exprimer par une fonction linéaire de C03 6; on peut déterminer deux constantes D et H', telles que l'on ait :

.Or on trouvera évidemment une équation de cette forme, si l'on ajoute aux auppoaitiona déjk faites la suivante : que le corps ait son centre de gravité sur l'axe k une distance d, donnée en grandeur et en signe par la formule ;

AD=zPd,

P étant le poids du corps et la verticale étant supposée dirigée vers le bas.

La détermination des forces est maintenant complète; et puisque nous avons obtenu les trois intégrales premières qui définissent le mouvement d'un corps pesant, nous pouvons énoncer la proposition suivante :

le mouvement de (3) par rapport à (A) est un dt ceux gue prendrait naturellement »n corps pétant qui admettrait lau sphire pour elliptotde ^inertie d'un de tetpoUiti et qui serait fixé par ce point.

Despevrous. -~ Mécanique. II. 34

530 couns de mécanique.

Les fonnulea précédentes coutiennent quatre constantes indépen< dantes a, à, c„ h. Le corps, au point de vae mécanique, est défini puune seule constante B. Si doue on fait varier a, b, e, k de telle nianière que D, qui est évidemment une fonction de ces quantités, conserve une mâme valeur, on aura une série de mouvements d'un même corps, qui dépendront de trois constantes arbitraires. Il semble donc qu'au mojen de la représentation précédente, on pourra obuoir tous les mouvements que peut prendre le corps soumis à la seule action de son poids, quand les circonstances initiales varient.

Pour établir ce résultat en toute rigueur, donnons-nous à priori la composante 2 B de la rotation relative à l'axe du corps, la projectitui 2AL de l'axe du couple des quantités de mouvement sur la verticale, enfin les deux constantes D et H', qui figurent dans l'équation des forces vives écrite sous la forme :

vmp* = 2A(Di( + H').

Ces constantes définissant complètement le mouvement du corps, il suffira de montrer que l'on pent exprimer a, i, e, k eu fonction deB, L, D, H'.

Les propositions établies nous donnent déjil :

Il faut en outre exprimer que l'on a :

et, pour cela, il faut écrire que cette équation est une combiosison linéaire des deux premières équations (1). On obtient ainsi le système :

Ed rcmplftfant dans la première de cea équatioDS a' par sa valeur, donnée dans la Note précédente (p. 515), on obtient la fonnule :

2 + »(9,Lf) = î^.

et les autres équations (3) noua conduiraient à la même relation, dans laquelle a aérait' remplacée par b et par c. Il suffira donc d'exprimer que réquation en x :

X ih - w)

admet les racines a, (, c. On est ainsi conduit au système ;