I. — Db3 PKRCUSS10M
Considérons un point matériel de masse m, soumis k l'action ds différentes forces. Soient a:, g, «les coordonnées de ce point à l'instant f, 9i, V,, V, les composantes de la vitesse au même instant, Xf, T,-, Z, celles de l'une quelconque des forces qui agissent sur le point. On aura les équations ;
Im~ =X,-[- ... +X„ „^ = Z, + ...-HZ., et, par conséquent, si l'on désigne par foi, va,, v», les composantes
COUnS DE MÉCANIQUE.
delà
itcssc du mobile ii l'instant 0, on aura:
m,,-m,„=£'x,il + ... +£'X.''I,
1 «,.-,n,,=£z,dl-t... +fy.d'.
Ces équatians peuvent a'interprétar de la manière suivante. Appelons, avec différents auteurs, impultion de la force (X, Y, Z) la quantité géométrique dont les composantes sont :
f'xdt, fYdt, f'zdt;
les équations (2) donneront lieu au théorème suivant :
L'accroittment géométrique de la quantité de mouvement d» point matériel dans un intervalle de tempe Uni quelconque ett égal à la somme géométrique des impulsions des/i/rca qui agîsient sur et point pendant tintervalU de temps considéré.
Il résulte de ce théorème .que si des forces agissent sur un point matériel, et si l'on connaît seulement leurs impulsioua dans un intervalle de temps donné, on pourra déterminer raccroiasement géométrique de la quantité de mouvement du point sur lequel elles agissent, et par conséquent, si l'on connaît la masse et la vitesse initiale du point, on obtiendra en grandeur et en direction la vitesse finale. Mais il importe de remarquer que ton n'aura auctme notion sur la position de ce moWe à Vinstant final.
Imaginons maintenant que l'intervalle.da temps pendant lequel les forces agissent devienne de plus en plus petit, mais que les impulsions de quelques-unes des forces conservent une valeur finie, ce qui exige que ces forces deviennent de plus en plus grandes : le changement de vitesse se produira dans un intervalle de temps de plus en plus court, mais il sera toujours fini. D'ailleurs, si l'on suppose que les impulsions des forces relatives à tout intervalle de temps compris dans celui, que nous considérous demeurent inférieures à des grandeurs fixes, les changements de vitesse dn point matériel demeureront finis et le déplacement du point matériel deviendra de plus en plus petit quand l'intervalle de temps diminuera.
En effet, réduisons toutes les forces k une seule dont lea composantes à l'instant 0 soient Xg, Yg, Zg, et considérons la projection du mouvement sur l'axe des 3! par exemple. Oq a :
x — x^ — v^t=\ (Ï9 / 'Xflie,
Nous supposons que l'impulsion / X$ tf 0 demeure, quel que soit 0, inférieure k un nombre fixe M, On aura donc, eu valeur absolue :
< Tm de
« — «0 — V'< M(, et, par conséquent, z — £, diminuera quand l'intervalle de temps deviendra de plus en plus court (').
(<) Noui InlrodulMDS, on Is voil, uns condilion qui, d'habilude, n'^l poB énoncée explIcllemeDi : c'est que l'impuliion de la force dans une partie quelconque Je l'ialetvalla de temps conildéré demeure tofârletireA une fjrandBurflie quand rintervalle -de temps dlmlQue. CelLo cocdillon esl toujours sallsfnilo dans les applicnlious, car od n'y considère que des pErcuMicas doijl la direclion na varie pas aonalblomoal dnaa toute la durée de l'inlervaile pendant lequel ollej agiasenl. Par oicmple, dnna le choc de deui corpa, la force qui s'eicrce au pulnt de raotacl sur l'un des corps na peut ngirquft dBQs un sens déterminé, de manière à écarter les deux corps. Alors l'inlé-
XB^tcoosscveson signaet ne cesse de croître-, elle demeure donc intérieure à sa valeur finale, qui, par bypoltiàse, osl Unie.
Hais. flU'on se place à un poin) de vue eiclusïvomeat théorique, il est aisé de trouver des forces qui, dans un temps Irés court. Imprimeront des clianHemeotB Unis ou même nuls de vitesse, tout eo déplaçant le mobile d'une qusnliié Snie. Considérons, par Biample, un point qui sa meut en ligne droila et qui e}t aoumis ft l'actioD de la force dont l'eiprentoD A llaslont S est :
T 4e)c . Bit Oit
Xfl = -i^Y sin 1J,- 00» -,p * ,
e et T éliflt des cooilantes. On aura :
dvz 4en . du Bit
et par salle, si l'on appelle u la vitesse Infllala,
On se rapproche donc de plus en pius d'ua état limite dans latjiiel le mobile, sans changer de position, éprouverait une modlflcation brusque de sa vitesse. C'est cet état limite que l'on étudie dans la théorie des percussions, et il résulte immédiatement de ce qui précède que, pour déterminer le changement de vitesse du mobile, il suffit de connaître les impulsions des difTérentes forces auxquelles il est soumis. Ce sont ces impulsions auxquelles on donne le nom de percutions. Il est clair que les percussions provenant de forces finies, telies que la pesanteur, peuvent être considérées comme nulles.
Je ne m'arrêterai pas à discuter une objection que l'on adresse quelquefois à la théorie des percussions. Quelques auteurs, en s'sppujrant sur ce qu'il n'existe pas de force rigoureusement instantanée, préfèrent ne pas employer la notion des percussions et les théories qui déterminent leurs efi'ets. Il n'existe pas de point géométrique ni de ligne droite dans la nature, et cependant nous trouvons utilité et intérêt & étudier ces abstractions. Il 7 a sans doute, quand on passe aux applications, it examiner les erreurs que l'on peut commettre en appliquant les théorèmes de la Science pure, mais cette question ne nous paratt pas devoir être mêlée su développement de la Science elle-même.
On sait comment se mesurent et se représentent las percussions. Au fond, ce sont des quantités de mouvement, qu'il suffit de composer avec celles des points sur lesquels elles agissent. Je rappellerai rapidement
•i l'on suppose i|uo lo tomps T Jovicnne île plui en plus pelil, e demeuranl contUnl, nura uno Torire trùs uranilo aqissaiil punilanl un leinps tris court, «< pr&duliant Mi« (hanstnuni de tititsi tt déplaçant li point d'une quanUH fuikonque e. duia il cal fiicllo i!e rocoimnilro que lï raudilloii énoncée dîna le tsilB dbbb IrouTS 13 roinpiie, puisque l'inipulaioa pari le Ile
J^Xflrf» =
2«^^,eii
ne demeure pu Baie, pour 4 = -= piir eiemplo, quand T tend vers léro. D'allleors, Il eel aisé d« reconnaîtra que la fori^ ctiango <le aena au milieu de son action.
C'est uns force de ce Renre qu'une locomoliie doit déployer |iour eiôculet uns de ces opéruliona gui soûl al fréquoDios dnna lea gares ul ameuer rapidemeot un ou plusieurs -wagons, sans lileise, d'une pasition dans une autre.
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NOTE XXI. tlâi
les règles relatives à leur effet sur le corps solide et je préiienterai en même temps quelques remarques nouvelles sur leur application.
Si la corps solide a un axe fixe, le produit du moment d'inertie relatif h cet axe par l'accroissement de la vitesse de rotation est égal i la somme des moments des percussions par rapport a cet axe.
Si le corps a un point fixe, désignons par p, g, r les composantes de la rotation suivant las trois axes principaux de ca point, et par A, B, C les moments d'inertie relatifs à ces trois axes; les vitesses prendront des accroissements \p, àg, Ar définis par les formules :
/ Aip = L,
(3) Bi? = M,
( Cir = N,
o!i h, M, M désignant les somuies des moments des percussions par rapport aux trois axes.
Les formules précédentes peuvent être remplacées par une construction géométrique très éléganta dont Poinsot a souvent fait usage. Soit Ole point fixe. Supposons qu'on y transporte les quantités de mo|ivement de tous les points du système et que l'on compose les couples qui 'naissent de ces translations: le couple résultant sera le couple des guaniitéi de mouvement transportées en 0. Il est lié, cdmme on sait, d'une manière très simple à la rotation. 1° L'axe de rotation est le diamètre conjugué du plan de ce coupla par rapport à l'ellipsoïda central du point 0, et il est du même côté de ca plan que l'axe du couple. 2° Si G désigne le moment du couple, Ha longueur du demidiamètre intercepté dans l'ellipsoïde par Taxe de rotation, et S la distance du centre au plan tangent à l'ellipsoïde à l'extrémité de l'axe de rotation, la vitesse angulaire de rotation a pour valeur :
On voit donc que, ai l'on connaît le couple des quantités de mouvement, on aura immédiatement le mouvement du corps solide.
Or, les formules précédentes peuvent se traduira comme il suit. Transportons toutes les percussions au point fixe et composons tous les couples qui naissent de cette translation : on obtiendra un couple résultant. Il si^ra de composer et couple aeec ceM dee qMnliUs de
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MOUMOient antérUnremeut ac^uiset pour avoir le nouoeaK conple da
quanti tét dt mouvement.
Dans le caa ou le corps solide est entièremeot libre, désignonaparM la masse du corps, par Vz, V^, V, les composantes de la vitesse du centre de gravité, par X, Y, Z celles de la résult&nte générale des percussions transportées au centre de gravité. On aura :
miV, = X,
iMiV^= Y,
et ces équations s'interprètent comme il suit : La nouvellA vitesse du centre de gravité sera la même que si la masse entière j était concentrée et toutes les percussions transportées parallèlement à elles-mêmes.
Quant an changement que subit la rotation autour du centre de gravité, on le déterminera en considérant ce centre comme un point fixe et en appliquant, soit les formules (3), soit la construction géométrique de Poinsot qui leur est équivalente.
La forme linéaire de toutes ces équations nous montre tout de suite : l" que l'on obtiendra la nouvelle vitesse d'un point quelconque en composant la vitesse antérieure avec celle que détermineraient les percussions si elles agissaient sur le corps au repos; 2" que Ton obtiendra le même résultat, soit en faisant agir simultanément les percussions, soit en les faisant agir successivement dans un intervalle de temps suffisamment court; 3° enfin que, 'si l'on multiplie les percussions par un nombre quelconque p, les vitesses qu'elles déterminent sur le corps au repos sont toutes multipliées par p. Tous ces résultats s'étendent d'ailleurs, sans difficulté, au cas oii le corps solide est soumis ^ des liaisons d'une nature quelconque, et les composantes de la viteiisc que prend un point quelconque sont toujours des fonctions linéaires des composantes des percussions qui agissent sur le corps solide.
Nous remarquerons, en terminant, que les constructions géométriques données précédemment permettent de résoudre d'une manière simple certaines questions. Supposons, par eifemple, qu'il s'agisse de trouver les percussions qui, appliquées à un corps solide libre, lui impriment au début une rotation. On reconnaîtra aisément que les lignes d'action de ces percussions doivent être perpendiculaires à leur
polaire par rapport à l'ellipsoïde central du centre de gravité; elles fonnent donc un complexe bien connu et qui a été étudié par divers
Considérons, en effet, une percussion P appliquée h un corps solide. Elle imprimera au centre de gravité une vitesse de translation qui lui sera parallèle. Quant à la rotation autour du centre de gravité, nous avons' vu qu'elle commence autour de la droite qui est le diamètre conjugué du plan passant par la percussion P et le centre de gravite. Pour que le mouvement initial soit une rotation, il fout que la translation imprimée au centre de gravité soit normale i l'axo de rotation; c'est-à-dire que' la ligne d'action de la percussion P soit une droite perpendiculaire au diamètre conjugué, par rapport à l'ellipsoïde central du centre de gravité, du plan passant par cette droite et par le ceutre de gravité ; on, ce qui est la même chose, il faut que cette ligne d'action soit une droite perpendiculaire à sa polaire par rapport à l'ellipsoïde central du centre de gravité.
IL — DSS FORCES VIVES DANS LA THéoiUE DES FBRCU3SI0NS,
Reprenons les équations relatives à l'effet des percussions sur u point matériel :
"~ 'xde,
Zdt.
Multiplions-les par », + Pm, v, + Oojn "i + »•* 8t ajoutons-tas. Nous aurons, en désignant par Dd, v les vitesses initiale et finale,
/ « (c" - vl)
Le second membre de cette formule a une signification géométrique très simple. Si la force (X, Y, Z) agissait, pendant toute la durée de
554 COURS DE MÉCLVNIQUE.
son action, aur un mobile animé de la vitesse constante dont les
composantes sont :
son travail élémentaire serait :
s; ("r + P»r) At+^ (e, + r^) (î( + Z (». + o„) i(,
et son travail total dans l'intervalle de 0 à f serait précisément l'intégrale qui figure dans le second membre de la formule (6). Nous avoaa donc la propositioa suivante :
Thborkme I. — QKOKi den pereusslont offUsent tw un poi»t matériel, la tarialUm dejbree vise est égale à la tomme des travatuc çue produiraient leijbrces d'au prooietinent cei peretutioiu li, peiida"! loule la durée de le»r action, le point matériel contenait itse vileste cotutante égale à la tomme géométrique de tes vitesses initiale et finale.
Multiplions maintenant les équations (5) paro^, f,, o, respectivement et ajoutons- les. Nous obtiendrons une équation que l'on mettra aisément sous la forme suivante :
imej — mo' = m [{v^ — P„y ■+■ {r, — v„y + (e, — e^)*]
Cette équation, interprétée comme la précédente, coudait à cette nouvelle proposition :
Thôorème II. — Laperte de jbree vive etC égale i la/itrce vive due à la vitetse perdue moins le double de la tomme det travaux que produiraient let'prces si le point matériel eontervait, pendant toute la durée de Inr action, wu vitesse conttanle et égale à la vitesse Anale.
Enfin, si l'on employait comme multiplicateurs 0)„ d«„ v^,, on aurait de même l'équation :
;■ MP' — mv\—M [(P, — B,,)» + {V, — V„Y -h (C, — t>^)*]
qui s'JDterprèta comme il suit :
Thboréub III. — Le gam iejbrce vive est égal à la/orce eiee due à la vileue gagnée (ou perdue), augmentée du double dei IrapoMX que produiraient leijbrces ti, pendant toute'la durée de leur action, le point matériel consereail VM oiteue conitante el égale d la viteste initiale.
Il est aiaé da reconnaître que cette dernière proposition est un simple corollaire des deux précédentes, mais il peut ^ avoir quelque intérêt à en faire usage.
Considérens maintenant un système composé d'un nombre quelconque de points matériels. Ëcrivona les équations analogues à l'équation (6) pour chacun des pointa et ajoutons toutes ces équations. Nous aurons :
!Smo* — 2«1>Î
IcB sommes qui figurent dans le premier membre s'étendaat a tous les points matériels, et celle qui figure dans le second à toutes les forces. Cette équation conduit au théorème suivant :
Théobèue IV. — La variation de la force vive totale Sun sysUme eil égale à la tomme des travaux que produiraient lee percustiont, tant intérieure» qu'extérieures, ii chacun des points d'application de ces percussion» conservait, pendant toute la durée de leur action, une vitesse constante égale à la tomme géométrique de ses vitesses initiale etjlnale.
De même, l'équation (7) nous conduira à la suivante :
/ ÏBie» — Zmvl = 2m [(v, — rj" + (p, — »„)' + (v, — v)']
^"^i -222XW + Y^.-HZ..)i^ ^
ce qui donne le théorème suivant :
Théorbub y. — La perte dt force vive du lystime est égale à la force vive due aux vitesses perdues, diminuée du double de la tomme des travaux que produiraient les percussions, tMtintérieuresqu'exUriewet-,ti chacun de
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leurs poinu d'application conterpait, pendant tou(e la d»rie de Uar action,
une viteise conttanle, /gale à sa viteut Unale.
Toutes 1q9 propoaitioQS prâc«dente3«'appliqueot aux forces agissapt pendant un tampn quelconque. Mais, si le flystème matériel est un corps solide et si les forces agissent pendajit un temps très coart, c'est à dire sont de véritables percussions, il est aisé de démontrer que les termes correspondants aux percussions intérieures se détruisent deux à deux et disparaissent des équations (9) et (10).' Soient, en effet, m, m' deux points du corps solide entre lesquels s'exerce ans force (X, Y, Z). Appelons p,„ v„ ... les vitesses du point m, et o«» K, ••• celles du point m'. Les termes qui proviennent de la force (X, T, Z) dans les équations (9) et (10) sont composés des deux expressions :
f (p^ - p; )j'xdl + (», - v; )JYdt + (e. — v', )fzdt,
i (Pw - of'^'it + (Pw - Pu») /Vrf( + (o, - i>i,)fzat.
Les deux points m, m' étant maintenus, par hypothèse, à une distance invariable, les vitesses initiale et finale satisfont aux conditions :
X, y, s, a' , y\ z' désignantles coordonnées des deux pointa. D^aillonrs, la percussion étant dirigée suivant la droite qui joint les deux points, on a :
fxtfi z:±\{s- x'), Ç\dt = X (p — y'), fzij = X (« — /),
et, par conséquent, les deux expressions (11) sont nulles, en vertu des formules (12). Ainsi les percussions intérieures disparaissent dans les formotes (9) et (10).
La démonstration précédente n'est pas absolument irréprochable, parce qu'elle suppose que les distances des différents points soient
demeurées les rnSmeg pendant toute la durée des percussions. Il est aisé de reconnaître d priort que cette condition n'est pas nécessaire et qu'il suffit, pour que les théorèmes aieut lieu, que les distances mutuelles des différents points redeviennent les mêmes après les percuaaions. Eu effet, dans ce cas, les théorèmes du mouvement du centre, de gravité et des moments permettant de trouver le nouveau mouvement du corps solide, et par suic« la variation de force vive. Or l'application de ces théorèmes est indépendante des déformations passagères qui peuvent se produire pendant l'action des percussions. Ou voit donc qu'il en sera de même de la variation de la force vive, et, par suite, les expressions que nous avons trouvées en supposant les distances invariables doivent subsister dans tous les cas, pourvu que les distances reprennent leurs valeurs initiales quand les percussions ont cessé leur action. Nous allons, du reste, en nous servant seulement des équations ordinaires, obtenir une vérification des propositions précédentes.
Four cela reprenons les équadons (3) et (4), que nous écrirons :
^a Vit '< désignât les coordonnées du point d'application de la percussion (X,, Yj, Z^) par rapport aux trois axes principaux du centre de gravité.
En multipliant ces équations par T^ + V,^, ..., p + p^, .■■ respectivement et en les ajoutant, on a :
' wV* 4- A;»» + B?' + Or* — mV; — A^fJ — BjJ — CrJ (13) =X(V,.t-V^) + Y(V, + VJ + Z(V.+ V^
( + L {;» -H /)() + M (? + fj + N (r + r^.
Le premier membre représente la variation de force vive. D'autre part, si l'on appelle c",, ..., ou, — les composantes des vitesses initiale et finale du point d'application (2|, p,, si) de la percussion
{Xi, Y(, Z(), on a :
eî, = V^ + tf,a, — r^Vi, sj, = V^ + çt, — r/„ eî, =:V„^ + fj»; — ?»«« »* = V, + r»( — px;,
»î. = v,^ +Ayf— tfe'i'i. *■« = ■^. + P^i— «*.-,
et l'on obtient, p&r ou calcul- facile :
S Xi {v^ + «!,) + Y, (fi^ + eU + Z, K + "!.) = X (V, + V J + Y{f, + V„) + Z (V. -(. V„) + (/"+?•) "^ + (? + ^») M + (' + *"•) N. Eu comparant à l'équation (13), on a :
i mV* + AjB» + Bj' + Cr" — «VJ — Api — BïJ — CrJ,
et cette équation ne diffère de l'équation (9) qu'en ce que les termes provenant des actions intérieures ont disparu. Nous avons donc la proposition suivante :
Teéorèub VI. — QuMd àsi pereuititMs agittaU tur vn corpi lolide, la variatioa de Jbree vive e»t égale à la tomme da travaux qu'elle» proitùraienl si leurs poinlt d'applicalion eoiutrvaieni, pendant toute la durit de leur action, une viteue constante égale à la sonnu géométrique de leur vitesse initiale et de leur vitesse finale.
On vérifiera de la même manière l'équation suivante :
l hp\ 4-.B?î + Cr; + mV; — A/i' — B?' — Cr* — wV (15) = A (?-;-,)' + B (y -?,}' + C(r-r,)' + «(V-V.)>
( — 22(X^Oi, + Tie^ + ZiPi.),
qui ne diÔére de l'équation (10) qu'en ce que les termes provenant des percussions intérieures ont disparu et qui conduit au théorème suivant :
Théorème YIL — La perle de force vice éproueie par le corps solide est égale à Ut force site due aux vitesses perdues moins le double de la somme des travaux que produiraient les percussions si Us poiKlt sur lesquels elles agissent conservaient, pendant toute la durée de leur aeUon, une vitesse constante égale à leur vitesse Jlnale.
xûTE xxr. 551»
Il est bon de remarquer que si le corps solide est soumis à des liaisons, s'il a, par exemple, des points fixes, ou des points assujettis k demeurer sur une surface fixe, ou des surfaces assujetties à passer par des points fixes, etc., les termes provenant dans les équations précédentes des percussions de liaison seront tous nuls, pourvu que l'on néglige le frottement. Par exemple, s'il ; a un point fixe, la percussion que le corps reçoit de l'obstacle fixe, s'exerçant sur un point dont la vitesse est et demeure nulle, ne donnera de terme dans aucune des équations (14) ou (15).
D'après cela, si une seule percussion agit sur un corps solide au repos, la force vive imprimée au corps sera, en vertu du théorème VI et de l'équation (14), égale au produit de cette percussion par la projection, sur sa direction, de la vitesse que prend son point d'application, li faut donc que cette projection soit positive et, par consé' - qnent, que le point d'application cide sous l'action de la percussion qui lui est appliquée. C'est là un résultat conforme à notre expérience de tous les jours; mais le théorème précédent, qui le met en évidence, nous conduit, en outre, à la considération d'un élément nouveau qui ae rapporte aux droites d'un corps solide et que nous allons définir.
Concevons une droite D et supposons qu'une percussion égale k l'unité ait Gett« droite pour ligue d'action. Soit A le point de D où elle est appliquée. Elle communique à ce point A. une vitesse dont la projection sur la percussion et par conséquent sur la droite est
positive; nous désignerons cette projection par -> et il est clair
qu'elle demeurerait la même si l'on faisait glisser la percussion sur la droite D; car on sait qu'alors le mouvement imprimé au corps demeure le méme,'et d'autre part, dans ce mouvement, les projections sur la droit« des vitesses de tous les points de cette droite sont égales. Nous appellerons cette quantité i^, essentiellement positive, le paratnèlre de la droite. Quand on l'aura détenninée, on saura que touU percuetio» égale dP et dirigée tmvant Ut droite déterminera e» toit point d'appUcaliott
p une vitette dont la pr<geelion nr la percussion tera positive et égale à — .
Cherchons quelle est la valeur du paramètre dans les cas principaux que l'on a à considérer.
1° Supposons d'abord le corpB libre, et soit une percussion agissant suivant une droite XX' (j^. 877). Désignons par M la masse du corps, La percussion P imprimera d'abord ii tous les points une vitesse de
p translation égale k - ; elle produira, en outre, une rotation autour du
diamètre GL, conjugué au plan GXX' dans l'allipsoïde central du centre de gravité Q. Appelons p la distance 6H du centre de gravité & la droite XX'. Le moment G du couple qui résulte de la translation de U percussion en G sera Pp, et, par conséquent, la vitesse de rotation autour de GL sera donnée par la formule :
w — PpU,
oii l désigne la longueur du demi-diamètre GL de l'ellipsoïde central autour duquel s'effectue la rotation, et S la distance GK du centre au plan tangent à l'extrémité de ce diamètre. Nous pouvons d'ailleurs décomposer cette rotation en deux autres, l'une u' dirigée suivant G K et égale à u X r ou Ppî*, l'autre u' dirigée dans le plan XX' et dont nous n'avons pas besoin de connaître U valeur.
D*après cela, la vitesse d'un point quelconque de XX', par exemple du pied H de la perpendiculaire abaissée de G, se compose de trois vitesses : 1° la vitesse de translation dont la projection sur U droite
p XX', prise dans le sens de la percussion, est -; 2° la vitesse due à
la rotation u>', vitesse qui est dirigée suivant XX' et qui a pour valeur ut'p ou Pp'S*; 39 la vitesse due à la rotation u', qui, étant normale à XX', donne une projection nuHe. On voit donc que la projection sur la direction de la percussion de la vitesse imprimée au point H, projection qui conserve la même valeur pour un point quelconque de XX', est :
Oa B donc c|ana ce cas, pour le parmmètre de la droite XX', l'expression très simple :
: = iB +?'»'■
Le paramètre, généralement inférieur à la mnase, lui devient égal quand la droite passe au centre de gravite.
Si le corps a un point fixe, les raisonnements sont les mâmes; seulement il n*; a pas  tenir compte de la vitesse de translation, et l'on a :
le centre de gravité étant remplacé par le point fixe.
Bnfln, si le corps a un axe fixe, soient XX' (Jlg. S78) la ligne d'action de la percussion, 6 l'angle qu'elle bit avec l'axe a<x', et d sa plus courte distance k l'axe. Désignons par m la vitesse angulaire imprimée et par M^* le moment d'inertie par rapport à aa.' . On aura :
MA*u = Prfsine.
La vitesse du pied B de la plus courte
Fiï;.278 ^. P<i*siu6
distance sera — — — ^ — > et sa projection sur
Oo aaT& donc ici :
Nous noue bornerons à ces trois cas principaux. Pour les autres, nous nous cont«nteron8 de rappeler que le paramètre jjl est essentiellement positif.
