III. — Du CHOC DBS CORPS

Le clioc des corps a été l'objet de nombreuses rcclierclies. Poisson, Despevrous. — Uécanique. IT. 3C

dans lâ Tome II de sa Mécmisue, commeace par traiter le choc des corps mous et il obtient la solution complète du problème en ajoutant aux douze équations roiirnies par les principes du centre de gravité et des moments une équation nouvelle qui exprime qu'à k fin du choc les vitesses normales au point de contact des deux solides sont égales. Puis il passe de Ik au cas des corps élastiques, en remarquant que le choc peut alors se décomposer en deux parties séparées par l'instant de la plus grande compression. Dans la première, le phénomène est le même que si les deux corps étaient dépourrus d'élasticité. Dans la seconde les corps reviennent à leur forme primitive, et il admet qu'ils reçoivent une percussion égala k celle qui s'est développée k leur contact pendant la première partie du choc. Il est aisé d'établir que la force vive totale reprend sa valeur k la fin du choc, ce qui fournit une espèce de vérification de l'h^rpothèse de Poisson.

En 1636, dans le Beiimé des Leçons donnéee â l'Êctle det Ponts et Chaussées, Navier a remarqué que, si l'on Ait abstraction des vibrations communiquées par le choc aux molécules des deux corps, la force vive totale doit reprendre la même valeur. Cette remarque lui a permis d'obtenir la percuBsion totale qui se produit au contact des corps, et par conséquent de donner la solution complète de la question.

En 1874, M. Resal a adopté la marche proposée par Navier, dans une Note importante qui figure aux Complet rendu des tiaxett de l'Académie des Sciences {l. LXXVIII).

Toutes ces âifférenCes solutions sont analytiques; elles reposent sur la considération de treize équations du premier degré et ne laissent pas voir la signification géométrique très simple des résultats. Je me suis proposé, en 1874, de donner une solution purement géométrique de cette question, et je vais indiquer ici les résultats que j'ai obtenus.

Soient (U), (M') deux corps solides se choquant en uu point A, L'effet du choc peut se représenter par deux percussions égales et contraires, dirigées suivant la normale en A aux deux surfaces en

contact, l'une jN(f( appliquée au corps (M), l'autre — J^"^' appliquée au corps (M'). Soient w,, m les composantes suivant la normale au point de choc de la vitesse initiale et de la vitesse finale du point de (U) qui se trouve en A, et soient irû, fo' les mêmes quantités

relatives au corps (M').

Digitizeû by ^lOOQ IC

Si nous appliquons succeaaîTCment le théorème VI aux deux corpa (M), (M'), nous aurons :

i2n {«!>' — MPÎ) = (n> + «,) jtidl, ?

Smi £m' désignant les forces vives des corps (M), (M') respectivement. Il est a remarquer que ces équations, qui ont évidemment lieu pour des corps libres, sont encore vraies si les corps ont des points fixes ou sont assujettis h d'autres liaisons, car nous avons vu que les percussions de liaison ne peuvent introduire aucun terme dans les seconds membres des équations générales (14) et (15), et les formules (11) ne sont que l'application particulière de l'équation (14).

En ajoutant les deux équations précédeates, on aura, pour la variation totale de la force vive, la formule :

(18) Swo* — L«»; = (nt — w' + »„ — »;) /Nrf/,

qui va nous donner la solution complète de la question.

Supposons d'abord que les corps soient parfaitement élastiques et que la perte de force vive doive âtre nulle; il faudra que l'on ait :

Donc, l'effet du choc dans le cas des corps parfaitement élastiques est de changer de tigne ta compotanle normale de la eileste relative da deux points de choc $ans chaîner la grandeur de celle competaitte. Tel est le résultat très simple auquel conduit immédiatement notre théorie.

Cela posé, décomposons le choc en deux parties par la condition que les intégrales J Ni; relatives à ces deux parties soient égales. Les percussions imprimées aux corps solides, dans les deux parties du choc ainsi divisé, ont par hypothèse même grandeur, et elles agissent suivant la même droite. Donc, d'après les règles connues de l'effet des percussions, les vitesses gagnées par les points de l'un quelconque des solides sont les mêmes en grandeur et en direction pour ces deux

Digitizeû by ^lOOQ IC

parties du choc. Cette remarque permet de déterminer les composantes normales des vitesses des points des deux corps placés en A, k la fln de ]a première partie du choc; car soit » la composante normale de la vitesse du point de choc de (U), on devra avoir :

équation qui exprime que la composante normale de la vitesse varie de la même quantité dans les deux parties du choc. Donc :

Si ft' désigne la quantité analogue k « pour le corps (M'), on aura de même :

Si l'on tient compte de l'équation (19), on aura :

Ainsi, quand l'intégrale J Ndï a acquis la moitié de sa valeur définitive, les vitesses normales des deux points de clioc sont égales. Si le clioc cessait ï. cet instant, on serait dans le cas des corpt mous. Donc, si, dans It cas des coi-pi par/ditemeat élastiques, oa sépare le choc en deux parties par Vùtstant oà les vUesseï normaiet des deux poinO de choc sont égales, les percussions relatives à ces dtas parties du clioc sont égales. En d'autres termes, la percussion dans le cas des corps élastiques est double de celle qui se produit quand les corps sont mous. Cest le point que l'on admettait dans la théorie de Poisson.

Dans le cas des corps mous, le théorème TIC trouve son application immédiate; les points en contact ayant la même vitesse normale dans les deux corps après le choc, les travaux des deux percussions, tels qu'ils doivent être évalués dans cette proposition, sont égaux et de signes contraires. On voit donc que, dans ce cas, la force vive perdue est égale îi la force vive due aux vitesses perdues. C'est le théorème bien connu de Carnot, théorème qui n'a d'ailleurs d'autre avantage

que de montrer qu'il j a perte de force vire, sans appreaclre à eu mesurer la graodeur.

Pour étudier le choc d'une manière plus complète et comprendre tous les cas, nous allons chercher les formules qui relient les vitesi^oa «, le', à un instant quelconque du choc, à la percussion qui s'est produite jusqu'à cet instant, et, en faisant ensuite les h^pothè^es particulière?, nous retrouverons tous les cas.

Désigiions par (x, (x' les paramètres de la normale au point de clioc par rapport aux corps (M), (U') respectivement. La percussion J Ni< appliquée au corps (M) donnera au point de choc la vitesse normale :

(20) «> = «', + - jNtf/,

initiale w, et de Ci int du repos. De mêmf donnera au point d<

précédentes nous conduisent au [XW 4- Ji' »' = JJ-Wj + [Ji' w

»—»'=», — wi + f- + -7) iîidt.

Introduisons les vitesses relatives :

W = «J — «>' , ■ W, = n, — wi .

L'équation précédente s'écrira :

Si nous substituons la valeur dejNifï dans la formule (18), nous

résultante de la vitesse initiale w, et de CdUe qu'imprimerait la percussion au corps partant du repos. De même la percussion — | îidl appliquée su corps (M') donnera au point de cboc de ce corps la vitesse normale :

Les équations précédentes nous conduisent aux deux suivantes :

(22) [xw 4- ji' »' = jj-Wj + ii.'wi

5G6 COURS DE UËCANIQUE.

aurons :

Quant à la variation de force vive pour chaque corps, elle sera donnée par les formules (17), qui deviennent :

ShM (o' — f î) = (w + Wj) -

as^mules ne diJ2real e» rien dé cellet qui seraient relatieei ait ckoe de deux spUres de masies \x, [j.'. Il eat donc inutile de les discuter en détail. On obtiendra le choc des corps mous en faisant W ^ 0 et celui des corps élastiques en posant W ^ — W,.

Cela nous conduit à dire un mot d'une hypothèse bien connue de Newton, reUtive aux corps imparfaitement élastiques. Newton admet que pour ces corps le choc aéra terminé quand on aura.:

W = — (tW,,

f étant une fraction positive qui dépend de la «ature des deux corps. On voit que cette hypothèse comprend comme cas extrêmes celles qui répondent au choc des corps mous {e =: 0) et su choc des corps parfaitement élastiques (« =: 1). 11 est aisé de reconnaître quelle sera la perte de force vive. Si nous nous reportons )i la formule (24), nous trouvons pour l'expression de cette perte :

Vf'

On peut donc caractériser l'hypotlièse de Newton en disant qu'elle

conduit à une perte défont zlaeqai est une /racUo» détemtiitée, (I — «'), et toujours la mime, de celle qui se produit dans le choc des corps mous.