IV. Du CHOC, BN TEKAST COMPTE DU PHOTTBMENT

Jtuqa'îci j'ai négligé l'influeDCe du frottement qui se produit au contact. Les eipériences du général Morin paraissent établir que, même dans ce cas, le frottement suit les lois ordinaires. Toutefois, dans la théorie des machines, on n'a eu à s'occuper que de problèmes relativement simples, pour lesquels il est facile de recoundltre à priori que la vitesse relative au point de contact des deux corps a une composante tangent! elle dont la direction demeura constante pendant toute la durée du choc. II n'y a donc alors qu'à introduire, en mâme temps que les percussions normales appliquées aux deux corps, des percussions taugentielles égales k la valeur commune des percussions normales multipliée par le coefficient de frottement, et ayant une direction invariable pendant le choc, celle de la composante tangentîelle de la vitesse relative au point de contact. Je citerai un travail de Poisson, Sur le/rottaaenl dti corps qui tournent {Bulletin de Férasiac, t. VI, p. 163) et les recherches de Coriolis sur le choc des sphères dans sa Théorie matàématigue des effeti du Jeu de billard.

Si l'on se propose de traiter le problème général, la question devient beaucoup plus compliquée. On sait que, dans le cas où il n'y a pas frottement, la vitesse relative au point de contact passe progressivement, pendant la courte durée du choc, d'une valeur à une autre, tout à fait différente eu grandeur et en direction; il en est de m£me quand il ; a frottement, et si l'on veut tenir compte rigoureusement des effets de cett« force, il faudra, à chaque nouvel instant du choc, donner an frottement une direction nouvelle en sens inverse de la vitesse relative à cet instant. Cette direction de la vitesse relative dépend, d'ailleurs, du frottement qui s'est produit aux époques antérieures du choc; on peut donc prévoir qu'il y aura une équation différentielle donnant la loi du phénomène et dont l'intégration constituera la principale difficulté du problème; et l'on reconnaît aussi que si l'on voulait, malgré le changement de la vitesse tan^entielle relative au point de contact, conseiiTer k ce frottement une direction constante, on pourrait commettre des erreurs du même ordre que les effets dont on veut tenir compte.

M. Phillips, dans un beau traTaJl inséré au Journal de ZiôwilU (t. XIV, 1" série, p. 312), a le premier abordé I9 question k ce point de vue et intégré l'équation différentielle qui ho présente dans cette théorie. Depuis, dans une Note insérée aux Comptes rendus des xéancei Je l'Académie des Sciences (t. LXXTIII, p. 1645), j'ai obtenu les mêmes résultats par une méihode différente et à quelques égards plus simple. En étudiant de nouveau cette question pour présenter une étude complète de la théorie du choc, je me suis aperçu que, si les recherches que je viens de citer suppriment la principale difficulté de la question, elles ne donnent pas cependant la solution complète du problème; car elles négligent ce fait capital que la vitesse relative (angentielle peut devenir nulle pendant la durée du choc. Nous avons repris l'étude de cette question dans le Bulletin des Sciences Mathématiques, en ayant égard aux circonstances qui avaient été négligées dans les recherehes antérieures.

Prenons pour axe des e la normale commune aux deux corps «u point de contact, la partie positive do l'axe dos e étant dirigée vers le corps (Mj. Les axes des x et des y seront dans le plan de contact. Le point de choc du corps (M) a, par rapport au point de choc du corps (H'), une vitesse relative dont nous désignerons par m la composant» normale et pare la composante tangentielle. Si la vitesse e Tait avec l'aie des x l'angle ç, les trois composantes de la vitesse relative suivant Ojr, Ojr, Qe seront :

V cos ç, V sin 9, w.

Désignons par N la force normale qui s'exerce à l'instant t sur le corps (U). La force de frottement aura, suivant Ox, Oy, les deux com posantes :

— /K cos ç, — /H sin ç,

/désignant le coefficient du frottement. Par suite, les trois composantes de la percussion reçue par le corps (M) depuis le commencement du choc seront :

— fJNcxiB(fdt, ~ f j K Bin 1} dt, . I Hdt,

et le corps (M') aura reçu dans la même temps des perçussions ^les et contraires. Gela posé, d'après les lois de l'effet des percussions, les composantes de la vitesse relative des deux corps seront des fonctions

Nrf(,

NOTE xxr. 509

linéairea de cea percussioas, et l'on aura :

cco8? = OaC03ç,— a/ / Hcoa^di — ùf j na\n^iil4-c jmi,

(25) ' painçl=DoSinso — «■/■/ Ncoa^rfî — S'// Nsinçrfi+ c' |Kii(,

w = w„ ~a'f I HcoBodi—b'fj Naiiiç<ii + c'| N

«g, S,, fp^ dûsignant les valeurs initiales def, e, «>. Quanta a, S, £, ..., ce sont des coostantes que l'on détermine sans difficulté et qui dépendent de la forme et de la position relative des deux corps : a, a\ 4* sont les composantes de la vitesse relative qui serait imprimée aux pointa en contact par deux percussions égales à l'unité dirigées siiivant l'axe des£etappIiquéesraneaucorp3(M), l'autre au corps (U'), la première a^ant le sens de la partie positive de l'axe des x, l'antre ayant le sens contraire; b, ô', y,e, c', c' ont des déflnitions analogues relativement à des percussions dirigées suivant Oy et Ot. Il n'y a donc aucune relation entre ces neuf constantes, qui, dans le cas des corps libres, dépendent de vingt paramètres. Il est vrai que les équations précédentes ne supposent nullement les corps libres et qu'elles ont lien d'une manière absolue, quelle que soit la nature des liaisons. Mais, dans la discussion, nous pourrons les supposer quelconques; il nous suffira seulement de montrer que, dans tous les cas, elles satisfont ii des inégalités, dont noua aurons à tenir grand compte dans notre discussion, Nous allons d'abord indiquer quelles sont ces relations d'inét,'alité. Si deux corps (M), (M') sont en repos, et qu'en un de leurs polots de contact on leur applique respectivement deux percussions P, — P égales et contraires, il est facile de montrer que la vitesse relative que prendra lepoint de contact de (U) par rapport au point de contact de (M') aura toi^ours une projection positive sur la percussion P appliquée au corps (M). En effet, nous savons que la percussion P imprime à son point d'application une vitesse dont ta projection sur P

P est - > |i étant le paramètre de la ligne d'action par rapport au corps (M).

l* De même la percussion — P imprime au point du corps (M') oh elle

P est appliquée une vitesse dont la projection sur — P sera H — ^<

570 CODRS DE MÉCANIQUE.

[x' étftnt Ifi paramètre de la ligne d'action par rapport au corps (M'):

et par conséquent la projection de cette vitesse sur P sera ; - La

projection de la vitesse relative sur P, étant la différence des projections des deux vitesses absolues, sera :

et, par congéfuent, sera toujours positiee.

D'après cda, revenons aux deux corps (M), (U') supposés au repos, et appliquons à l'origine au corps (M) une percussion quelconque dont les composantes sont X, Y, Z, en appliquant au corps (M') la percussion égale et contraire. La vitesse relative qui sera imprimée par ces deux percussions sera définie par les formules :

v,~aX + bY + cZ,

V, = a'X -f- S'Y + c'Z, cette vitesse étant toujours celle du point de (M) par rapport au point de (M'). La projection de cette vitesse sur la percussion appliquée au corps (M) devant Stre positive, nous devrons avoir :

Xd, + Yp, + Zv, > 0,

et par conséquent :

aX» + d' Y' + c'Z' + (c' + fi') YZ -f- (c -t- 4') XZ + {ft + a') X Y > 0.

Ainsi, les constantes (t, b', e' doivent satisfaire b toutes les inégalités qui expriment que l'expression précédente est positive, quelles que soient X, Y, Z. Par exemple, on aura :

( a > 0. fi' > 0, c' > 0,

Nous aurons à faire usage de ces inégalités.

Après ces remarques préliminaires, reprenons les équations (25) et différentions-leb. Si nous posons :

A. =c — a/cos f — bfaia ç, A' = c' — «'/cos ç — fi'/sin ç, A*= c' — a'f cos ç — b'fsin ç,

nous auronB :

(STÏ)

ce qui donna :

I cosçtfc — » ain ? rfç = AN (i(, [ »a ^ dv -h V coB ç df = A.' K dt,

A C08 9 — A ain o Posons, pour abréger,

H = A' sin f + A cos ç, À ^ A' cas 9 — A siD ç.

Nous obtiendrons :

et, t> une fois connu, on dèduirs de l'expreâsion de Kdli

C'., rfi>d<f r?kvd,

lA Jf. A * * *• J,. i

(29) J Ncosçi,=j^ ^^. rsmç=...s.nç.-HJ^ ^.

Ces quadratures donnent la eolution complète de la question; elles feront connaître lea diverses circonstances du choc tant que la vitesse e ne deviendra pas nulle, auquel cas on ne connaîtrait plus la direction du frottement.

On peut interpréter fréométriquement les formules précédentes. Construisons dans le plan tangent la courbe auxiliaire, lieu du point dont les coordonnées à l'instant t sont :

od?

3! = fj'n tmifdt, y = fj'ti s

On voit que le rayon vecteur de cette courbe représente en grandeur et en direction la percussion tangentielle. L'arc de la courbe, compté

à partir de rorigine, a pour valeur :

Nrfï,

et par conséquent il est éj^l k la percussion Dormale multipliée par le coetBcient de frottemeat. Si l'on différentie d'ailleurs les formules qui donnant x et ff, on trouvera :

= tang f .

La direction de Is tangente à cette courbe auxiliaire est donc la mS.-ne que celle de Is vitesse relative tangentielle à l'instant (. Oit peut donc énoncer la proposition suivante :

Il exitU une courbe giluée dant le plan de «Mlaet, paaent a* point de contact et donnant la lui da choc. Son rafon vecteur représente la pereiatiom tançentielU due au frottement; sa tangente a la direction de la vitesse relative et ion arc, compté à partir de (origine, est égal au produit du coefficient de frottement par la percustiûn normale reçue par chacun des corps depuis le commencement da choc.

11 résulte des formules (2^) que cette courbe satisfait à l'équatioD différentielle

dy p, sin 9, — a'x — b'y + c's

dx p, CO8 if^~ ax — Sy + es

et par conséquent les recherches précédentes peuvent Stre considérées comme donnant l'intégrale de cette équ&tion (i).

-o générale l'équailon dlfTérootieUa

0 fOn<-tiiia de In seule vsrinble m. Il sit oM de reconaaliro