MN = M'N

Cela posé, clierclions les composantes de Tatlraction exercée par le premier ellipsoïde sur un point extérieur N, ^ ayant pour coordonnées a, p, y.

Nous aurons :

ou :

d'où :

A = f^pfJJ^J^i^ ^^ ^y ^^^

On peut donc écrire :

udu

dx "

n dx

r, du i

y et r ayant des valeurs déterminées. Intégrons relativement à cCy nous aurons :

-—-dx = i'

dx «, m'

en désignant par m, et m, les distances du point N aux deux points où la parallèle à 0.r déterminée par les valeure «lonnées de y et r rencontre l'ellipsoïde (4). On aura donc :

OU rîntégration doit s'étendre à toutes les valeurs de j/ et z

Despeyrous, — Mécanique, U. 2

18 COURS DE MÉGANIQUE.

qui sont les coordonnées des points contenus à Tintérieur de Tellipse :

Fig 179

u^ et u, seront des fonctions données de y et z.

Cela posé, laisons passer par le point N un ellipsoïde homofocal au proposé, et soit sur le premier ellipsoïde le poinlN'(a',p',Y')

correspondant dcN. Supposons ce second ellipsoïde homo^^ène^ et rempli de la même matière que le premier,

et cherchons son attraction sur le point intérieur N';

soient A', B', C les composantes de cette attraction, \h la

masse du point N' la même que celle de N. Nous aurons, en opérant comme précédemment :

JW.N

''='^^Mr!.ù'''''

La parallèle à Ox déterminée i)ar y = 7/ etz = z' rencontre la surface du second ellipsoïde aux points M,' et M,' ; u[ et ul désignent les disUmces N'M| et N'M,'. Dans (G), les intégrations doivent s'étendre à tous les points intérieurs à TeHipse :

Or, dans nos deux intégrales (4) et (6), faisons correspondre 'es éléments, de manière que y et z ayant des valeurs déterminées dans (4), on preime dans (6) :

On aura alors ces trois couples de points correspondants :

donc :

n'm; = nm,; N'm; = nm.,

c'est-à-dire :

«; = tt„ «; = u^;

donc (6) deviendra, en y remplaçant en outre dy' dz' par -x^dy dz:

Poui" les limites de y' et z', l'équation (7) donne :

ou :

h' comme pour les limites définies par (5) ; donc :

bc d'où :

au'

Donc, les composantes A, B, G de Tattraction exercée par le premier ellipsoïde sur le point extérieur N se ramènent à celles A', B', C de l'attraction exerc^ée par le second ellijH soïde sur le point intérieur N' ; or, nous savons calculer A', B', C ; nous en déduirons donc A, B, G. On aura, par les formules relatives au point intérieur :

sin 0 cos*ô dô

A'=-47:/ixpa'fc'c' P

K(a'*sin'e4-fc'*cos*0)(a"sin'0 4-c"cos'6) En vertu de (8) et de :

et des relations :

on trouvera :

,^, . , ^ a abc /•? sînOcos'Orfe

K(X + a'sin'O + fc*cos'0)(X+ a'sin'ô + c*cos'0) Reste à déterminer X, ce qui se fera au moyen de l'équation :

qui exprime que le second ellipsoïde passe par le point N (a, g, y). On peut l'écrire :

Cette équation du troisième degré en X admet une racine comprise entre zéro et + oo, une autre entre — 6* et — c% et une troisième enti^e — a' et — 6*, (a* < b* < c*). La seule valeur qui donne un ellipsoïde est la première racine.

Résumons nos formules, et introduisons la masse M de

l'ellipsoïde :

M = . zabcp,

et nous aurons :

1*» Pour un point intérieur (a, p, y) :

(a) A = — 3/[jL M - I ' ^

« J 0 ^/(a^ sin' e 4- fc' cos' 0) (a' sin' ô + c" cos« 6;

et pour B et C des expressions qu'on déduit de la précédente en permutant abc, a p y.

2^ Pour un point extérieur (a, g, y) :

(ft) A=— 3/}j.M I * ^

Ka*-h/y ° |/(A4-a*sin'0H-fc*cos'6)(^X+a*sin*ô-+-c*cos»e)

et pour B et C des expressions semblables; X désigne la racine positive de Téquation :

+ Tr=— -. H- -=-i— : —1=0.

Dans les deux cas, on est ramené à des intégrales elliptiques. Lorsque le point attiré est sur la surface même de lellipsoîde, on a :

il en résulte X = 0, et les deux formules (a) et (b) donnent bien la même valeur pour A, B, C.

06. Remarques sur le théorème dlvory. — Ce théorème, démontré précédemment, peut s'énoncer ainsi :

Les attractions que deux ellipsoïdes homofocaux exercent,

parallèlement à chaque axe, sur deux points correspondants^

placés sur leurs surfaces respectives, sont entre elles comme

les produits des deux axes perpendiculaires à chaque corn-

posante.

Soient A, B, C les composantes de l'atti'action de l'ellipsoïde E aux axes 2a, 2b, 2c sur le point extérieur M (a, jî, v) ;

A", B'y C les composantes de l'attraction de rdlipsoïde E' aux axes 2a', 2b', 2c' sur le point intérieur M' (a', p', y') ; A', R', C les composantes de l'attraction de l'ellipsoïde E' sur le point M de la surface. On aui*a, par le théorème d'Ivory :

A" b'c' B' c'a' G" a'b' A" bc'

Fi3 180

Mais on a aussi, d'après ce qui a été démontré relativement à Tattraction d'un ellipsoïde sur un point intérieur :

De (44) et (42) on déduit :

C^ a'b'c' '^ C~ abc'

D'où ce théorème :

L'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point extérieur a la même direction que celle qu'exercerait sur lui un ellipsoïde homofocal passant par ce poi^it, et leurs intensités sont entre elles comme les volumes de ces deux corps.

Soient maintenant deux ellipsoïdes homofocaux E, E,, aux axes 2a, 26, 2c, 2a„ 26„ 2c,; et A, B, C, A„ B„ C, les composantes des attractions exercées par ces deux ellipsoïdes sur un même point extérieur M; E' un ellipsoïde homofocal aux deux premiers, dont la surface passe par M, 2a', 2b', 2c' ses axes, A', B', C les composantes de l'attraction qu'il

exerce sur le point M; on aura, p ir le théorème précédent :

d'où

ABC abc '

B. C, afi,c, 3"*''°''''

B C abc 4 ^

^ii: abc

D'où ce théorème dû à Maclaurin :

Deux ellipsoïdes homo focaux homogènes exercent sur ^m même point extérieur aux deux, des attractions de même direction et dont les intensités so7it proportionnelles aux volumes de ces corps.

Remarquons que le théorème dlvory a lieu quelle que soit la loi d'attraction. En effet, supposons l'attraction proportionnelle à une fonction quelconque de la distance ç (it), on aura :

^ ~ ^^dî/^ ^"^ ^^ ^^ ^* ^^ ^ ^^^fff^'^^^^ dl ^^ ^* ^^' Posons :

on aura :

A^bV

donc : p . V p / x ( FW = F0O,