THÉORIE ÉLÉMENTAIRE JDU POTENTIEL

97. Lorsque la loi d'attraction est quelconque, les composantes de l'attraction exercée par un corps G sur un point M (a, p, y) sont exprimées par les équations :

X = fHJjp? (w) ^- rf^ ^y àz,

Y = fv^jjj?^ 00 ^ ^^ ^y ^-' z = /'i^Jj[jrp? («) ^-^ ^^ ^y ^-'

ou :

tt« = (a?-a)« + (y-P)«-f- (s--r)%

a;, t/, z désignant les coordonnées d'un point quelconque de G et w sa distance au point M; p est une fonction de rr, y, r; les intégrations doivent s'étendre à toute la masse du corps G. On peut ramener la détermination de X, Y, Z à celle d'une seule fonction U ; posons en effet :

\j=fCCpF{u)dxdfjdz,

U sera une certaine fonction de a, g, v- Gherchons ses dérivées par rapport à a, g, yî "Ous pourrons différent ier

SOUS le signe | , si la fonction F {u) ne passe pas par Tinfini,

c'est-ù-dire si le point attiré ne fait pas partie de la masse du corps considéré; remarquant que :

du __ (a? — g) d% u

nous aurons :

dVi

r=-Jff?9 00^-^dxdydz,

donc

Tout dépend donc de la fonction U que Ton nomme fonction potentielle, ou simplement potentiel.

Dans le cas où l'attraction est en raison inverse du carré

de la distîince, ç(u) = -,

nous prendrons :

en désignant par dm l'élément de masse, et nous aurons :

„ - rfV „ . dW . d\ X = /'!.-^-; Y = f'^j,-, Z = /i.^;

donc, îi un facteur constant près, X, Y, Z sont les déi-ivées partielles du potentiel, par rapport aux coordonnées du point attiré.

î2(i COURS DE MÉCANIQUE.

Équation de Laplace.

98. Considérons toujours le cas où le point attiré ne fait pas partie de la niasse attirante; nous pouvons dilTéi'entier

deux fois sous le sipne / , et nous aurons :

<py £y dyy rrr lu u u

Comme on a :

' =fff^ w -^w-^d^)^'"'^'^'-

u' = {x- a)* + (y - p)» + {z- y)«, au u X — %

dfa dd u

on trouve les équations :

1* — i 3 (a; — g)* da* M* m'

dp* M* M»

d'où :

On a donc celte équation due à Laplace :

da' dS» ^ dv'

Avant d'aborder le cas délicat où le point attiré fait partie de la niasse attirante, nous allons déterminer le potentiel d'une sphère homogène sur un point de son intérieur.

Considérons d'abord le potentiel d'une couche sphérique homogène comprise entre les sphères de rayons r etr + dr

sur le point P situé à une jyi distance du centre OP = a;

on ain a :

M« z=zr^ + a* -^ iar ces 0.

On peut écriie :

or :

V = 2.pr'drpinil^

sm 6 rfô = —

par conséquent :

(1) V = 2zp "^fdu.

!«' cas. Le point est extérieur. — u varie de a — r à a + r.

M représentant la masse totale de la couche.

Le potentiel est le même que si toute la masse était réunie au centre 0.

2« cas. Le point est intérieur, r— u varie de r — aàr + a,

(2) \=zizcrdr = -'

Le potentiel est constant pour tous les points de l'intérieur.

28 corns de Mftc.xxiQUK.

99. Potentiel d'une sphère homogène de rayon R' sur un point de son intérieur, situé à une distance R du centre. —

Nous avons à faire d'aliord la somme des potentiels des couches compi'ises entre R et R' sur le point intérieur P situé à la distance R du centre; il faudra prendre l'expression (2) et l'intégrer relativement à r entre les limites R et R', ce qui donnera :

il faudra ensuite faire la somme des potentiels des couches comprises entre zéro et R sur le point extérieur P; nous devrons prendre l'expression (1), et l'intégrer relativement à r entre les limites zéro et R, ce qui donnera :

(4) = Î7:pR^

On aura donc pour le potentiel de la sphère sur le point

intérieur P :

V = (3) + (4), ou :

en conclut

rfV

-pa,

rfV

rfV rfy

rpY-

Mais nous pouvons trouver d'autre part l'attraction de la sphère sur le point P; nous avons vu (jue la partie AP

n'agit pas, que la partie OP donne, une force dirigée suivant PO, et égale à

les composantes de cette force suivant les axes sont :

On a donc dans ce cas :

Ainsi, ces formules démontrées pour un corps quelconque, dans le cas où le point attiré ne fait pas partie de la masse attirante, ont lieu encore dans le cas d'une sphère homogène, quand le point fait partie de la masse attirante ; nous pouvons

remarquer aussi que dans ce cas, V, -;-> ^' ^-» X, Y, Z sont des quantités finies et continues, relativement à a, g, y.

lOO. Attraction d*an corps quelconque sur un point faisant partie de sa masse. — On a toujours, en prenant le point attiré pour origine :

Z = r,fdm 1

Je dis que V, X, Y, Z sont toujours des quantités finies. Prenons les coordonnées polaires w, 0, '^, nous aurons :

0? = Il CCS 6,

y = w sin 6 cos «^,

z =zn sin 0 sin ^^

dm = pw' du sin (i d^ d^;

il en résulte :

I V = i i/pwrfw sin 6 rfed^J,

X = /"jj!. / 1 Ip cos 6 sin 6 (|{i d6 d«}, I Y=:f[x Çijp sin' 0 cos ^ dtt de d^, \ Z = f[K j j jp sin' ô sin y du dô d^,

les facteurs -, —, ont disparu, et il est évident que pour un

corps limité V, X, Y, Z sont de3 quantités finies.

Supposons d'abord la densité p constante, nous allons montrer que dans ce cas on a encore :

Y. rfV. Y • dV. „ ^ dV

Décomposons le corps en deux parties (1) et (2), (2) se composant d'une petite sphère contenant le point attiré P dans son intérieur, on auia en désignant par V, et V, les potentiels correspondants à chacun des corps" (1) et (2) :

V = V, H- V X = Xj H- X

Or:

puisque le point attiré P ne fait pas partie du corps (1) ;

puisqu'il s'agit d'une sphère homogène. Donc :

^ dX, rfX, , dV, , rfV. , dV

ce qu'il fallait démontrer.

Chei'chons dans la même hypothèse, p restant constant, ce que devient l'équation de Laplace, lorsque le point attiré fait partie de la masse attirante. On aura :

da» "!?"■*■ dx*

et pai' conséquent :

IV d^ d'Y /d'Y. d'Y. d'YA la» **■ d^» "*■ dv' ~\da* "*" d{i* "^ d-rV

\da' d?' dvV

Or:

dx* d'fi' df ~ '

puisque le point ne fait pas partie de la masse attirante ; on

a du reste :

dV. - 4k

dx 3

d'où

donc

et:

d'Y. d'Y. d'Y' , da» "^ d^' "^ dv' ~ ^''''

da» d^» d ce (|ui est l'équation de Poisson.

On peut étendre les tliéorùines précédents au cas où la densité p n'est pas constante, mais nous ne le ferons pas ici.

101. Attraction d'une droite matérielle homogène sur un point également distant des deux extrémités de la droite.

— Soit la droite AB et le point M situé dans le plan

mené perpendiculairement à la droite par le n^ilieu 0 de sa longueur. Considérons deux éléments symétriques C et D, leurs attractions sur le point M seront égales

^ chacune à kdz