Nous ïivons trouvé les équations générales
dans lesquelles T est une fonction de f, 7,, 7,, ..., Çi.,
5^15 î'i» •••9 (/a? ^^ '^^ Q« ^^ï^*^ d^^ fonctions des mêmes variables. Nous avons donc A' variables, q et k variables 7'; nous allons ftiire un nouveau changement de variables, en posant :
Nous garderons les variables g, mais nous remplacerons les variables q ' par les nouvelles variables p ; les équations (2) sont des équations du premier degré relativement aux variables q'\ elles déterminent les q en fonction des p et des q. En reportant dans T, nous aurons T en fonction des p et des g, tandis qu'auparavant nous avions T en fonction des q et des q'\ nous distinguerons les dérivées partielles de T reljitives aux 7, dans les deux cas, en mettant des parenthèses lorsque T est considéré comme fonction des q et des g', et nous n'en mettrons pas dans Tautre cas. L'équation (1) s'écrira :
d nous aurons ensuite :
'ltôq\ \dqj ""
dT
d'où :
àql
7 = Pn
(Ipi
Nous supposerons les liaisons indépendantes du temj>s;
alors T est une fonction des q oi des r/', et nons aurons :
ou bien, à cause de (2) :
ce qui peut s'écrire :
àT
OU encore :
d (T - ZmD = Z (^) dQi — :Lq] dpi.
Posons :
et nous aurons :
dK = Iq'i dpi — 1 (—] dqi\
mais, K étant exprimé au moyen des p et des (/, on doit avoir :
//k = 1 -r- rfo. 4-1-7- dq,.
()pi àq, '
On en conclut, en comparant les deux expressions de dK :
àp:
(yii) donne, en i*em[)laçant q] par -. .' :
On conclut de (3) et (0) :
ilih àK
(Il Oi[i
Nous avons supposé les liaisons indépendantes du temps; alors T est une fonction homogène du second degré, relativement aux quantités (/'. On a donc :
la formule (4) donnera :
Les é(|uations (7) et (8) doimeront donc:
(il) ^=-^*o-
Supposons actuellement que les composantes X, Y, Z, ..: des forces qui iigissent sur les divers points du système, ne
contiennent pas les composantes des vitesses, -rj^ •••» mais
seulement le temps t et les coordonnées x, y^ Zj ..., et qu'en outre il y ait une fonction des forces U pouvant contenir le temps; on aura :
on aura en outre, comme on sait :
Lps é(|uations (10) et (II) deviendront :
fil âpi
On peut les (»rrire lonmie il suit, en remarquant que U ne
contient pas les variables p :
(f(/,^e?(T~U) dt âpi
dt âÇi
OU bien, en faisant :
dqi dlA
\ dt dqi
On a ainsi les é(juations canoniques (riTamilton.
H est une fonction de t et des 2/t variables g,, g„ ..., g^; Pu Ptj '"j Pk\ les équations (13), dans lesquelles Tindice i reçoit les valeurs 1, 2, ..., A;, constituent un système de 2k équations différentielles simultanées du premier ordre.
C'est Poisson qui a introduit le premier les variables p au lieu des variables q'; mais il n'était pas arrivé à la forme simple (13), donnée pour la première fois par Hamilton.
Théorème de Jaoobi.
87. La détermination du mouvement d'un système de points matériels, quand les liaisons sont indépendantes du temps, et quand il existe une fonction des forces, indépendante des vitesses, mais pouvant contenir le temps explicitement, se ramène à l'intégration du système suivant d'équations simultanées :
dq,ân dj,âH dq^^àH
^^ dt'^àp,' dt^âp,' '"'* dt^âpn
^^^ df ■" àq,' dt" dq,' "' dt '^ dq.
Despeyrous. — Mécanique. II. 26
