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en mettant en évidence les quantités qui figurent dans H, on peut écrire :

(3) H = H {t, q,, 9„ ..., Qn', p„ p., ..., p.).

Voici en quoi consiste le théorème de Jacobi.

Supposons qu'on ait trouvé une fonction S de f, (7,, ç„ ..., ç« et de n constantes arbitraires a„ a„ ..., a.; ces n constantes sont essentiellement distinctes de celle qu'on peut ajouter à S, sans cesser de vérifier l'équation (5) :

(4) S = ^ (^ î„ î„ ..., Qni a„ a„ ..., On);

vérifiant identiquement l'équation aux dérivées partielles ci-dessous :

on voit que la fonction H qui figure dans cette équation, se déduit de l'expression (3) de H, en y remplaçant j>, par -^ >

p, par -y— » ... Il arrivera donc que (4) étant substitué dans (5),

on devra avoir une identité, quels que soient f, </,, g,, ..., ç^, a,, a„ ..., a«. Je dis qu'en désignant par 6,, 6,, ..., h^ n nouvelles constantes arbitraires, on aura pour les intégrales générales des équations (4) et (2) le système suivant :

On voit qu'en portant l'expression (4) de S dans (6) et (7), les équations (6) donneront les p en fonction du temps, des q et des n arbitraires a„ a„ ..., a«; les équations (7)

dS àq~^-

donneront les q en fonction du temps et des 2n arbitraires «„ a„ ..., rt„, 6j, 6„ ..., b„. Donc, en somme, (6) et (7) déterminent les variables jp et ^ en fonction du temps et de 2n arbitraires. Il ne reste plus qu'à démontrer que ces fonctions du temps et des 2n arbitiaires vérifient les équations (^1) et (2), quelles que soient les valeurs attribuées à ces 2n arbitraires.

On tire de la première équation (7), en différentiant relativement au temps :

da^ dt da^ dq^ dt da^ ôq^ dt

ou bien :

c^'S à^ /àS\ dq^ â /âS\ dj,

da^àt àa\dqj dt (^dixàqj dt

ce qui peut s'écrire encore, en tenant compte de (G) :

/ (?'S , dp.dq, Op.dq, ^àp.dq,

ôa^ dt ÔA, .7 da^ dt da^ dt

On aura de même :

(8) ^ ^'S ^ dj^ dq, ^àp,dq,^ ^dp^dqn^ âa^ dt âa^ dt ôa^ dt '" ôa^ dt '

t?'S , dp, dq, dp, dq, dp, dq,

"T- -; — —rr ~T" ••• "T" -; tt — U.

dUn dt dUa dt dOn dt da„ dt

C'est là un système de 7i équations du premier degré aux

dq^ dqn

n inconnues, -. » •••' -rr*

' dt dt

D'autre part, on déduit de (5) et (6) que l'équation

^^^ Tt'^^ ^''' ^^' ^^' '" '^'' '^' ^» •" ''^^ ~ ^

doit devenir identique, en y remplaçant S par sa valeur (4) et les variables p par leurs valeurs en fonction de t, des q et des a, tirées de (6); on pourra donc différentier l'équation (9) par rapport à chacune des arbitraires a„ ..., a.; ce qui donnera :

/ â'S ^ dHdp, ^ dttdp, ^ ^^^ = 0

(10) ^ dt da^ dp^da^ dp^da^ *" dpnda^

d*S dndp, âttâp, âHdp^ ^

\ ât dUn dp^ âa ôp^ da^ '" dpn àa^

C'est là un système de n équations du premier degré aux n mconnuesT— »•••» — ; ce syMeme est le même que (8);

les inconnues ont donc les mêmes valeurs dans les deux systèmes; ainsi, on a :

^^ iW dp,' fit dp,' "" af^dp.

Les équations (1) ont donc bien lieu.

Partons maintenant de Féquation

nous en tirerons :

dp, d^?> à'Sdq, à'S dq, â^S dq^

dt ôq^ât ôq\ dt àq^âq^ dt '" dq, âq^ dt

OU bien, en tenant compte de (il) :

dp, (?*S (^'SrfH (>*S (?H c^'S JH

di'^dq,dt dq]àp, àq^àq^dp^ '" dq,dqndp^*

ce qui, en tenant compte de

dq\'^ dq,dq,~ dq,' dq.dq,'^ âq, ôq^" âq'

peut s'écrire :

dt dq^dt àp^âq^ àp^àq^ '" dp^dq^

Or, on tire de (9), en différentiant par rapport à q^ : ^'S da dH dp\ (?H dp, dH dp. ^

dtâq^ âq, dp.ôq, dp^ôq, ôp.dq,

En retranchant cette équation de (12), il vient :

dt dq^

Ainsi se trouve démontrée la première des formules (2); on démontrera les autres de la même manière. Le théorème ^ de Jacobi est donc démontré.

Considérons en particulier le mouvement d'un point matériel libre, et supposons qu'il existe une fonction des forces U, indépendante du temps; on aura, comme on sait, les équations :

^x dM dt* ~ âx '

d*y âV

dt* ~ dy '

d*z âV dt* ~ àz

En posant :

dx , dt=''-^

dt * '

dz dt--"

il vient :