CHAPITRE PREMIER
1. Considérations générales. — Les fluides.^— Pris dans toute leur complexité, les corps naturels sont inaccessibles aux mathématiques, qui ne peuvent s'appliquer qu'à des êtres idéaux géométriquement définis, rappelant sinon en totalité, du moins en partie, les caractères des corps naturels.
Mais il doit forcément arriver dans certains cas (jue les c^iractères que l'on avait néglif^és dans la construction du type géométrique, jouent à un moment donné un rôle important.
Le corps solide rigide, pai* exemple, dont les propriétés mécaniques ont été exposées dans le cours, rentre dans la catégorie de ces êtres abstraits dont nous parlons. Or, à l'occasion de l'indétermination des pressions d'un solide reposant sur plus de trois points d'appui, on a fait remarquer combien insulïisante était cette conception, au point d'entraîner des conséquences contradictoires avec les faits observés. C'est qu'il n'existe pas en effet de corps parfaitement rigide, pas de corps qui ne fléchisse et se déforme plus ou moins, même sous l'action de très petites forces.
Négligeables dans certains cas, ces déformations ont maintenant le rôle principal ; et Ton sent alors la nécessité d'une conception nouvelle qui se substitue à celle du solide rigide, lorsque colle-ci tombera en défaut. Or, c'est là le but que se propose la théorie de l'élasticité, qui a pour objet l'étude mécanique du nouvel être abstrait qui s'appelle le corps solide élastique. Mais, hàtons-nous de le dire, malgré sa conception plus large, le solide élastique a lui aussi un rôle limité, et il doit s'effacer dans bien' des cas, soit pour faire place à quelque autre conception abstraite, soit pour laisser le champ libre à l'empirisme; car dans un ordre d'idées qui touche de si près aux applications industrielles, les exigences de la pratique sont bien plus étendues que les développements de la théorie.
2, Il y a notamment une classe spéciale de corps qui s'écartent trop nettement des solides naturels pour que l'on puisse songer à prendre le solide rigide, ou le solide élastique pour base d'une première approximation, et où, tout au contraire, la grande mobilité des diverses parties, l'extrême facilité avec laquelle elles cèdent au moindre effort, ont conduit à chercher pour ces corps une première approximation dans l'hypothèse d'une mobilité absolue, et d'une essentielle instabilité de forme.
Il n'y a pas cependant non plus de liquide, ni de gaz qui n'oppose une certaine résistance aux déformations; mais, la faiblesse de cette résistance justifie la conception du fluide, tout aussi bien que la petitesse des déformations des solides naturels justifie celle du corps parfaitement rigide.
A vrai dire d'ailleurs, nous n'avons pas à justifier ici ces diverses conceptions; pas plus que l'on n'a cherché à justifier les principes fondamentaux qui servent de base à la mécanique. Nous nous bornerons à donner une défini-
tion claire et précise des fluides, et à en développer ensuite les conséquences légitimes.
3. Définition du fluide. — Un fluide sera donc pour nous un système de points matériels extrêmement voisins, agissant les uns sur les autres, de telle sorte que dans leurs déplacements relatifs, ils glissent entre eux sans qu'il en résulte de frottement. Cette expression de glissement sans frottement demande à être expliquée, et acquerra plus loin une signification très précise.
4. Principe de la solidification. — Tirons d'abord parti de ce qu'un fluide est un système de points matériels, et appliquons le principe suivant de la statique :
Lorsqu'un système de points matériels est en équilibre, on peut, sans troubler Véquilibre, introduire des liaisons compatibles avec la figure d'équilibre.
Nous pourrons donc, dans nos raisonnements, supposer qu'une partie du liquide est solidifiée, c'est à dire que les points matériels qui le composent, se trouvent invariablement reliés entre eux, aux distances mêmes de la position actuelle d'équilibre.
5. Pression. — Envisageons donc un fluide et prenons tous les points matériels du système, répartis sur un élément superficiel infiniment petit d'aire w, élément que nous pouvons supposer plan. Solidifions le système ainsi obtenu. Tout le fluide situé d'un même côté du plan de l'élément exerce une action sur chacun des points de cet élément, et toutes ces actions, qui, en vertu de la continuité, sont très peu inclinées les unes sur les autres, se composeront en une fofce P, du même ordre infinitésimal que w, appliquée en un point quelconque 0 de l'élément, et en un couple d'un ordre infinitésimal de deux unités plus élevé. On ne
il2 COURS DE MÉCANIQUE.
tient pas compte du couple, et il ne reste que la force P qui
est la pression totale sur Félément w.
p Le quotient - a reçu le nom de pression rapportée à
Tunité de surlace ou simplement de pression.
6. Direction de la pression. — La composante tangentielle de la pression totale, c'est à dire sa projection sur le plan de l'élément, est regardée comme représentant l'action tangentielle du fluide sur cet élément. Or, si les glissements doivent s'efl*ectuer sans frottement dans le fluide, cette action tangentielle ne peut exister, et la signification précise de l'expression de glissement sans frotte- «
ment qui figure dans la définition du fluide, consiste justement en ce que la composante tangentielle de la pression est nulle.
Nous admettrons donc comme un fait découlant de la définition même du fluide que :
La pression est normale à Vêlement pressé.
7. 11 semble au premier abord qu'il y ait lieu de considérer deux pressions sur un élément, à savoir celle qui provient de l'action du fluide situé d'un côté A de l'élément et celle qui provient du côté opposé B.
Pour élucider ce point, cherchons les conditions de l'équilibre de translation du système solidifié w, et appelons, comme précédemment, P la pression exercée par la portion A, Q celle qui est exercée par la partie B.
L'élément w est en équilibre sous l'influence de P, de Q et de la résultante des forces extérieures, qui comprennent les forces d'inertie s'il y a lieu. Cette résultante qui est de l'ordre de la masse, c'est à dire du volume, est donc d'un ordre infinitésimal, supérieur à celui de P et de Q, en sorte que la condition d'équilibre de translation consiste en ce que P et Q sont égales et contraires.
Ce fait est tout à fait analogue à celui qui se présente dans la définition de la tension des fils flexibles et inextensibles. Il nous montre que lorsque nous parlerons de pression totale, il faudra toujours préciser le sens dans lequel agit cette pression.
8. Problème de l'hydrostatique. — Nous pouvons maintenant énoncer le problème fondamental de la statique des fluides ou hydrostatique.
Déterminer en tout point du fluide et pour une orientation quelconque d'y^n élément décrit autour de ce point la pression correspondante.
Soient ic, t/, z les coordonnées rectangulaires d'un point A; a, p, Y ï^s cosinus des angles que ftiit avec les trois axes la normale au plan d'un élément entourant le point A.
Le problème consiste à exprimer la pression en fonction de X, y y z, a, p, Yj lorsque l'on connaît les forces extérieures qui agissent sur les points matériels dont se compose le fluide.
9. Simplification du problème. — Or, et c'est là un fait bien remarquable, la fonction cherchée ne dépend pas de a, p, Y> ^'^st à dire de l'orientation du plan de l'élément,
en sorte que la pression varie seulement avec le point autour duquel l'élément se trouve décrit.
Pour démontrer ce théorème important, envisageons deux éléments passant pai' un même point A, et dont les plans BAC, B AD se coupent suivant la droite AB : avec ces deux plans, avec deux autres plans perpendiculaires à AB, infiniment voisins, et un cinquième parallèle à cette droite et également incliné sur les deux premiers, formons un prisme
Fig.270
droit isocèle infiniment petit ayant en A un sommet. Solidifions tous les points du fluide intérieurs à ce prisme, et remarquons que les pressions totales, agissant sur les faces de Textérieur à Tintërieur, et les forces extérieures doivent se faire équilibre sur le prisme solidifié. Projetons alors sur la droite CD les pressions et les forces extérieures, qui comprennent les forces d'inertie s'il y a lieu. En appelant P la pression totale sur la face BAC, Q la pression totale sur la face BAD, et F la projection sur CD de la résultante des forces extérieures, il faudra avoir, a étant l'angle ACD, lequel est égal à A D C :
P sin a — Q sîn a 4- P = 0.
On remarquera que P et Q étant de l'ordre des faces sont du second ordre, tandis que F est de l'ordre du volume, c'est à dire du troisième; si Ton désigne alors par co la valeur commune des aires égales BACE, BADF, on aura, après division par w sin a :
ce qui exprime que la pression par unité de surface, ou simplement la pression, est la même pour les deux orientations d'éléments BAC et BAD prises quelconques autour du point A.
Ainsi se trouve démontrée la proposition importante sur laquelle se fonde la simplification que nous avons énoncée. 11 ne reste donc plus qu'à trouver la pression en fonction des coordonnées du point (a?, j/, z) par où doit passer l'élément pressé.
10. Équations de l'hydrostatique. — Pour résoudre ce problème, enfermons dans un parallélipipède infiniment
petit, dont les arêtes soient parallèles aux axes, une masse de fluide et solidifions-la.
Le solide ainsi obtenu doit être en équililibre sous
l'influence des pressions totales qui s'exercent sur les faces de l'extérieur à l'intérieur, combinées avec les ; forces extérieures qui agissent sur chaque point matériel de la masse.
^9*^^' Exprimons donc que la
somme des projection^ sur Oo? de ces diflerentes forces est égal à zéro.
Soient (a?, y, z) les coordonnées du sommet A, le plus rapproché de l'origine, et a, 6, c les longueurs des arêtes AB, AC, AD. Désignons aussi par p la valeur de la pression au point (a;, y, z). En un point infiniment voisin {x + oXy y 4- 3t/, z + 8z), la pression aura pour valeur :
^P ^ àp ^ àp ^
en particulier, au point B elle sera :
âp ox
Or, les seules pressions totales qui ne soient pas rectangulaires avec Oxy sont celles qui s'exercent sui* les faces ACB'D, BD'A'C Elles se projettent d'ailleurs eu vraie grandeur, et en mettant les signes en évidence, la pression totale sur la première face donne :
p. te,
et la pression totale sur la seconde :
d'où finiilement, pour la somme des projections sur Ox des pressions :
âp
âx
D'autre part, la projection sur Ox de la résultante des forces extérieures peut se représenter par
Xdm,
où dm désigne la masse totale du fluide renfertné dans le parallélipipède. On a donc Téquation :
— -r^ abc -+• X dm 9=0.
âx
ou encore :
âp dm
âx ~" abc ^ Et en opérant de méihe pour Taxe Oy et Taxe Oz :
âp __ dm ây~~ abc '
âp dm
âz abc
Maintenant on remarquera que le quotient de la masse (Iw d'un volume élémentaire par ce volume n'est autre que la densité p du fluide, en sorte que les équations précédentes s'écrivent ainsi :
âp
1 = px,
âx ^
11. Il importe d'ajouter que ces équations suffisent pour traduire l'équilibre des pressions et des forces extérieures
qui agissent sur le parallélipipède. On se représente en effet la force extérieure comme appliquée en un point I intérieur au parallélipipède, et Ton peut supposer la pression totale sur chaque face appliquée au point suivant lequel le point I se projette sur cette face.
Toutes les forces que Ton considère sont alors concourantes au point I, et les équations (1) suffisent pour traduire leur équilibre.
Il en résulte que les équations (1), si elles sont vérifiées en un point 'quelconque du fluide, assurent l'équilibre de toute la masse.
12. Surfaces de niveau. — Les trois équations (1) contiennent la solution générale du problème de Thydrostatique. Elles se résument dans la suivante :
• (2) dp = p{Xdx-hY dy -hZdz);
c/est à dire que Texpressîon Xdx + Ydy + Zdz peut être rendue intégrable par l'introduction d'un multiplicateur, et que la densité p est l'un de ces facteurs intégrants.
Appelons donc U (ir, ?/, z) une fonction entièrement déterminée, admettant p(Xd;c + Ydy + Zdz) pour différentielle totale ; l'équation (2) nous donne :
où C est une constante que l'on déterminera en se donnant la pression p^ en un point o^o, j/o? ^o- La constante étant supposée déterminée, nous pourrons la faire rentrer dans la fonction U, et nous aurons :
Le problème de l'hydrostatique sera donc entièrement résolu lorsque l'on connaîtra la fonction U. Nous reviendrons plus loin sur sa détermination, mais nous allons
Despkyiious. — Mccaniqtie. 11. "21
présenter tout (rabord quelques considérations sur les surfaces de niveau.
Le lieu des points pour lesquels la pression est la même est une surface représentée par l'équation :
U {X, y, z) =p = constante.
Les diverses surfaces que Ton obtient ainsi, ont reçu le nom de surfaces de niveau.
Par tout point du fluide il passe une surface de niveau, lieu des* points pour lesquels la pression est la inême qu'en ce point. J'ajoute que :
En tout point du fluide, la force extérieure est normale à la surface de niveau qui passe en ce poiiit.
Les cosinus directeurs a, {jl, v de la force ont en effet pour valeur :
KX'4-Y*-HZ* KV4-Y«4-Z' KX«+Y«-4-Z*
D'autre part, les cosinus directeurs d'une des deux directions de la normale à la surface de niveau sont égaux à
âV dV
àx à y
dz
et comme l'oji a :
ces expressions coïncident avec les expressions (4).
