Dérivée de la pression suivant une direction. — Ce
théorème peut être complété de la façon suivante :
Remarquons que la pression variant avec a?, y, z, la différentielle de sa valeur quand on' passe du point P(a?, j/, z) au point P' (x + dx, y -h dy, z + dz) a pour expression, *en vertu de Téquation (2) :
dp =1 p X dx -{- p Y dy + p Z dz.
Soit ds = ydx* -h dy* 4- dz^ la différentielle du déplacernent PP' : le quotient -p a reçu le nom de dérivée de la
pression suivant la direction PP'.
Désignons par a, g, y l^s cosinus directeurs de cette direction, on a évidemment :
d'où :
dx Q-^^y __ rf^
ds^ ds^ ds
Représentons par p F = p I/X= 4- Y* 4- Z* la force extérieure, on trouvera, en vertu des é(iuations (4) :
-'- = pF (Aa + [x? 4- vy);
ou enfin, ô étant Tangle du déplacement PP' avec la direction de la force :
Si Ton représente la dérivée de la pression suivant PP' par un segment PQ égal à y;» porté dans le sens PP' si dp
est positif, et en sens inverso si dp est négatif, on peut intei'préter ainsi Téquation (5) :
La dérivée de la pression suivant une direction est égale d la projection de la force siir cette direction.
420 COURS DE MÉGANIQUE.
Prenons en particulier pour direction du déplacement
celle de la force extérieure ; en désignant par j- la dérivée correspondante, on a :
Comme pF et dn sont positifs, dp est positif.
Or, lorsque Ton s'éloigne d'une surface de niveau, p augmente ou diminue suivant le côté de la surface où s'effectue le déplacement; et Ton peut alors ajouter :
Non seulement la force extérieure en un point est normale à la surface de niveau qui y passe, mais encore :
lo Elle est dirigée du côté de cette surface où la pression augmente;
2° Elle a pour valeur la dérivée de la pression prise normalement à la surface de niveau suivant cette direction.
Ce théorème renferme les équations (1), qui résultent aussi de l'application de la formule (5) aux trois directions des axes de coordonnées.
Ce théorème offre la même utilité que celui qui exprime les projections de la force sur la tangente et la normale principale dans le cas du mouvement d'un point matériel. Il permet d'écrire les équations de l'hydrostatique dans un système quelconque de coordonnées.
14. Discussion générale des équations de l'hydrostatique. — Nous devons actuellement reprendre les équations générales de l'hydrostatique et montrer ce qu'il faut faire pour en déduire une solution effective du problème proposé.
Nous supposerons X, Y, Z donnés en fonction de .r, j/, z; et nous voyons tout d'abord que ces trois fonctions no sauraient être prises arbitrairement. Il faut en effet que
l'expression Xdx + Ydy + Zdz admette un facteur intégrant, ce qui exige que Ton ait :
('>^(^-^l)-^(rx-^>-^'^-"^=«-
âz) \dy dx)
Supposons donc cette condition remplie, et elle est néces. saire pour que Téquilibre soit possible, alors il existera une fonction ô de x^ y, z qui rend l'expression 6 {Xdx 4- Ydy -i- Zdz) une différentielle exacte d\, en sorte que :
(8) ^{Xdx-hYdy -hZdz) = rfV,
où V est une fonction de x, t/, z.
On sait qu'il existe une infinité de facteurs intégrants et qu'ils sont tous compris dans l'expression
où r {\) est la dérivée d'une fonction arbitraire de V; et Ton aura :
e r (V) (X dx -hYdy + Z dz) = f (V).dV = df{Y).
Puisque, d'après l'équation (2), la densité p doit être un facteur intégrant, il faudra que pour une certaine détermination de la fonction /"(V) l'on ait :
D'ailleurs, quelle que soit la fonction /"(V), les équations (9) vérifient les équations (4), et par conséquent la solution générale de ces équations comporte une fonction arbitraire.
Nous remarquerons tout de suite que puisque p = const., ou fiy) = const. est l'équation des surfaces de niveau, l'équation de ces surfaces peut encore s'écrire :
V = const.
et comme la fonction V est déterminée, il en résulte que les surfaces de niveau se trouvent parfaitement déterminées indépendammeyit de la fonction /"(V).
Mais Ton ne connaît pas la loi de distribution de la densité dans le fluide, et Ton ne sait pas non plus rattacher à chaque surface de niveau une valeur déterminée de la pression.
Voilà donc deux problèmes qui restent à résoudre et dont la solution est uniijuement subordonnée à la détermination de la fonction /"(V).
15. Condition complémentaire. — Il nous manque une condition susceptible de déterminer cette fonction inconnue. On trouve cette condition dans une hypothèse complémentaire que Ton fait sur les fluides, et qui consiste en ce que une relation donnée d priori existe toujours entre la pression et le volume, ou, ce qui revient au même, enti-e la pression et la densité.
Celte relation peut prendre une infinité de formes; chacune d'elles caractérise une classe particulière de fluides.
16. Solution complète du problème lorsque l'on connsût une condition complémentaire. — Remarquons d'abord que le fait de l'existence d'une relation complémentaire telle que
entraine, eu égard aux équations (9), les relations :
en sorte que 0 est une simple fonction de V. 11 en résulte
que — est une difl'érentielle exacte, c'est à dire, en se
reportant aux équations (8), que Xdx + Ydy + Zdz est une (lilTérentielle exacte.
D'ailleurs, réciproquement, si Xdx -h Ydy + Zdz est une différentielle exacte, on peut dire que 6 = 4 est un facteur intépprant; les équations (9) se réduisent à :
ce qui montre que p est une simple fonction de p.
Supposons donc comme d priori cette relation (10), et prenons alors 0 = 4, ce qui est permis, ainsi que je viens de le montrer. Les équations (0) se réduisent à la forme (44).
Les équations (40) et (41) résolvent entièrement le pi'oblême, car on déduit des équations (44) :
et de réquation (40) :
% = p = np).
(12) V = r =^, -H const. .
Cette équation donne une relation entre V et p, c'est à dire détermine la fonction /"(V). Le problème est ainsi entièrement résolu.
Si Ton veut connaître la distribution de la densité, la formule (40) y suffira, car elle donne p en fonction de p qui est une fonction connue de V, c'est à dire de x, y, z.
17. Détermination de la constante. — Il importe encore de faire observer que la solution comporte une constante arbitraire C. Pour la déterminer, on devra se donner la pression p, en un point .r^, t/„ z^ du fluide, et la formule (42) deviendra :
18. Transmission des pressions. — Cherchons à nous rendre compte de ce qui se passerait au sein du fluide si Ton faisait varier cette constante C, ou si Ton supposait que la pression en x^, y^, z^ fût devenue p^ -{- Bp..
En désignant par p + Ip la pression nouvelle au point (x, y, z), nous aurons, en ver lu de r^juation (42)' :
Cv-^ip dn V {X, y, z) — V (a?„ y„, 2,)= -7- ,
ou, en tenant compte encore de la relation (12)' :
p dp __/*'*■*- ^" dp
Jp. ¥Tp) '~Jp,4.àp. FTô)'
c'est à dire :
ou, en mettant en évidence les densités :
De là ce théorème :
Dans un fluide les variations de pressions se transmettent en chaque point proporlionnellemenl à la densité.
19. Fluides incompressibles. — Liquides. — Ceci nous amène naturellement à distinguer deux cas fondamentaux dans la forme de la fonction F(])). Un premier cas sera celui où cette fonction se réduit à une constante, et où, par conséquent, la densité reste la même dans toute la masse. La densité et, par suite, le volume sont indépendants de la pression dans de pareils licjuides, on les appelle pour ce motif incompressibles. Les corps naturels qui trouvent dans ces fluides Tiniage la plus parfaite de leurs propriétés sont ceux que Ton appelle vulgairement des liquides. En se
reportant à la formule (13), puisque dans de pareils fluides on a p = p„ il en résulte que 3p = hp^, c'est à dire :
Dans les fluides incompressibles les variations de pression se transmettent intégralement.
20. Fluides compressibles. — Gaz. — Pour toute autre détermination de la fonction F, la densité et le volume varient avec la pression; le fluide est alors compressible.
Le cas le plus important, et en même temps le plus
simple,* est celui où la densité est proportionnelle à la
pression
La constante a caractérise chaque fluide compressible de cette famille. Les corps vulgairement appelés gaz, pourvu qu'ils se trouvent éloignés de leur point de liquéfaction, sont ceux dont cette hypothèse représente le mieux les propriétés.
Dans les fluides compressibles, les variations de pression ne sauraient se transmettre intégralement.
Il y a cependant un cas où cette transmission aurait lieu, c'est celui où la pression serait constante dans toute la masse.
Mais il faudrait alors qu'aucune force extérieure ne vînt agir sur le fluide, car les équations (1) donnent, puisque p est constant :
Ce cas se trouve fort à peu près réalisé par une masse gazeuse enfermée dans une enceinte suffisamment petite pour que l'on puisse négliger l'action de la pesanteur. Il existe même une expérience classique qui a pour objet de démontrer dans ce cas l'égale transmission des pressions.
21. Principe de Pascal. — C'est au principe de la transmission des pressions dans un fluide incompressible que se
rattache le principe de Pascal. Deux surfaces planes S et S', faisant partie de la paroi qui limite le fluide, et que nous supposerons contenues dans deux surfaces de niveau, éprouvent les pressions totales
S.p et S'./?',
où p et p' sont les pressions relatives à chacune des deux surfaces de niveau. Si Ton exerce de Textérieur du fluide sur la première surface une action équivalente à une variation S Bjp de la pression totale, il en résultera sur l'autre surface une variation S' 5p de la pression totale, puisque la variation Ip se transmet intégralement.
Si la surface S est 100 fois plus petite que la surface S', la pression totale supportée par la surface S' sera 100 fois plus grande que la pression totale exercée sur la surface S.
C'est le principe tel que Pascal lui-même l'a énoncé ; il a servi de base à Tinvention de la presse hydraulique, dont l'usage si répandu s'étend jusqu'à certains appgtreils de précision destinés à enregistrer de fortes pressions.
Nous avons supposé les deux surfaces S et S' situées chacune dans une surface de niveau. Mais toute surface plane S peut être décomposée en bandes infiniment étroites par des surfaces de niveau infiniment voisines ; sur chacune de ces bandes on peut regarder la première par unité de surface comme constante, et répéter pour chacune d'elles le raisonnement précédent. On arrive aux mêmes conséquences.
Ajoutons enfin que le principe de Pascal s'étend aux fluides compressibles, lorsque le premier est ou peut être considéré comme constant dans toute la masse.
