Remarques générales sur les surfaces limites. — Le
problème général que nous avons résolu, à savoir la détermination de la pression en chaque point, contient la solution
de plusieurs questions, dont deux sont particulièrement importantes. La première consiste à déterminer Faction que le fluide exerce sur une surface solide finie qui le limite. Nous traiterons seulement dans un cas particulier cette première question, à propos des liquides pesants. La seconde concerne les surfaces limites du fluide, quand ces surfaces le séparent non plus d'un corps solide, mais d'un autre fluide, ou même du vide absolu. Dans ce dernier cas, la surface porte le nom de surface libre.
Toute surface libre est une surface de niveau; car, puisqu'il n'y a pas de solide ni de fluide balançant extérieurement la pression que le fluide exerce de l'intérieur sur un élément de cette surface libre, il faut que cette pression soit nulle. La surface libre appartient donc à la surface de niveau :
Supposons maintenant qu'il s'agisse de la surface de séparation de deux fluides. Il est clair qu'en chaque point de cette surface la pression sera la même pour les deux fluides.
Si nous appelons p la valeur de la pression en un point P de la surface de séparation, et dp la variation de cette pression qui correspond à un déplacement PP' =ds sur cette surface, 0 et 0, les angles que font avec PP' les forces qui agissent sur le point P considéré successivement comme faisant partie du premier et du second fluide, p F, p, F» ces forces elles-mêmes, on doit avoir d'après la formule fondamentale (5) :
dp ^ dp „
^=pFcose, ^=p.F. cose,,
d'où :
pF cos ô = p,F, cos 0,.
Ceci exprime que les deux forces pF et p^F, ont même
projection sur toute direction prise dans un plan en P à la surface de séparation ; c'est à dire que ces fore» se projettent suivant le même segment sur ce plan tangent^ ou encore :
La différence géométrique des deux forces pF, p^F, qm agissent sur le point P, considéré comme faisant partie successivement des deux fluides, est parallèle à la normaSe en T? à la surface de séparation.
Pour que la surface de séparation soit une surface de niveau dans les deux fluides, il est donc nécessaire et suffisant que Ton sache à priori qu'en tout point P de cette surface la direction de la force p,F, est la même que celle de la force pF. Ce fait se présente en particulier si les deux fluides sont soumis à la même force extérieure, par exemple, la pesanteur, et l'attraction par les mômes centres, ou en vertu d'un même potentiel.
Enfin, ce fait se produira encore si l'un des fluides n'est soumis à aucune force.
Il est clair que ce qui précède ne doit pas s'étendre aux gaz; ils se diffusent les uns dans les autres quand on les met en présence. Mais les liquides en contact entre eux ou avec un gaz suivent la loi précédente.
Nous écartons ici tout elTet dû aux variations de température, ou aux actions chimiques.
Nous n'ajouterons rien aux généralités qui concernent les formules de l'hydrostatique, et nous allons aborder l'étude spéciale des différents problèmes particuliers.
statique des fluides pesants.
23. La pesanteur doit être considérée comme gardant une direction constante, lorsqu'il s'agit de déplacements peu considérables à la surface de la terre. Les surfaces de niveau seront donc des plans horizontaux. Les surfaces
libres, les surfaces de côntîict de deux fluides pesants seront des plans horizontaux, pourvu, bien entendu, qu'aucune autre force n'intervienne.
Si nous comptons positivement vers le haut les distances verticales z des plans horizontaux au-dessus d'un plan horizontal fixe, en appliquant la formule (0) du numéro 13, et remarquant (jue la force agit dans le sens des z décroissants, on aura :
p désignant la densité et ij l'accélération constante due à la pesanteur. Nous distinguerons doux cas, suivant que nous aurons affaire à un fluide incompressible ou à un fluide compressible.
Fluides incompressibles pesants.
24. Dans le cas des liquides, la formule (1) donne par intégration, en remarquant que p est constant :
(*) P — Po = ?^(-« — 2);
on sait qu'il faut, pour la détermination complote du problème, se donner la pression p, qui correspond au niveau z^,
La formule (2) est susceptible d'une interprétation très simple. Remarquons d'abord que des éléments superficiels égaux décrits autour d'un même point P éprouvent la même pression totale.
Considérons alors un cylindre découpant dans deux plans horizontaux z et z^ des éléments w et w^, évidemment égaux et entourant l'un le point P, l'autre un point P^. Les pressions totales sur ces deux éléments se représenteront par pw 'etpo^o» oujPoW puisque w^ = w; leur différence (p — y^) w s'exprimera, d'après la formule (2), sous la forme :
En sorte que Ton peut énoncer le'théorème suivant : La différence des pressions totales »ur deux éléments superficiels égaux, infiniment petits, est égale au poids d^un cylindre de liquide qui aurait pour baàe Vun des éléments et pour hauteur leur distance verticale,
25. Plfin de charge. — La formule (2) où l'on fait p = 0 donne :
Il existe donc un plan horizontal z, tel que si le liquide l'atteint, la pression y est nulle. D'ailleurs en introduisant cette valeur dans l'équation (2), on trouve :
ce qui prouve que le liquide ne peut s'élever au-dessus de ce niveau. On remarquera sur la formule (2)' que tout se passe, au point de vue des pressions^ comme si le liquide avait une surface libre dans le plan z^. Ce plan a reçu le nom de plan de charge.
Dans la réalité le plan de charge n'est jamais atteint par le liquide, car sa surface prétendue libre n'est autre que celle qui le sépare de l'air ambiant, ou de tout autre gaz avec lequel il est en contact et dont la pression n'est jamais nulle.
Si l'on désigne par ; la distance au plan de charge, comptée vers le bas, d'un point quelconque du fluide, la pression en ce point s'exprime par la formule
On voit que la pression sur un élément infiniment petit quelconque se représente par le poids d'un cylindre de liquide ayant pour base l'élément et pour hauteur sa distance au plan de charge.
C'est une forine particulière du théorème précédemment énoncé.
26. Pression sur une paroi. — Profitons d'un résultat si simple pour essayer de résoudre un problème que nous n'avons pas traité dans le cas général :
Trouver l'action du fluide sur une paroi solide.
Prenons le cas d'une surface courbe quelconque. Considérons un point M sur cette surface, un élément w décrit autour du point M, et soient a, p, y les cosinus directeurs de la normale en M dirigée vers l'extérieur du liquide. On a pris pour axes une verticale OÇ dirigée vers le bas, et deux horizontales 0;, Or< rectangulaires dans le plan de chai-ge. Les projections de la pression totale et ses moments seront respectivement :
pwa, pwP, pwY, Pw(t;y— ÇP), pw(Ça — 5ï), pw(Çp — Yja).
Si l'on prend la somme de ces projections et de ces moments, on trouve pour les six coordonnées du système de forces qui s'exerce sur la paroi, considérée comme un corps solide :
k=jjpx.(ù, B=jjp^.(ù, C==jJpY.(i),
L =Jfp (r,Y - K&)'io, M =jjp (ïa - iy).i^,
N==jJp(ÇP-t)a).u).
Ces équations sont applicables au cas le plus général de l'hydrostatique. Mais ici on connaît p en fonction de Ç, en sorte que l'on a, eu égard à l'équation (2)' :
A = P?jjî«w, B = 99 jj^^^. G = pgfj^y^^ L = p^jJç(^ï-îP)co, M = pjfjj!;(;a-5Y)o),
432 COURS DE WrÉCANIQUE.
I.es intégrales doivent être étendues à tous les ciléments de la paroi pressée.
Le système fini de forces qui est équivalent au système intégral de toutes les pi'cssions ne se réduit pas généralement à une seule force. Il faudrait pour cela que l'équation
AL -hBM + CN = 0
fût vérifiée.
27. Cas d'une paroi plane. — Prenons le cas simple d'une paroi plane; toutes les pressions sont parallèles et se composent en une seule, appliquée normalement en un de ses points Q. Le point Q est le centre de pression. Quant à la pression totale, elle est évidemment la somme des pressions élémentaires.
Adoptons pour axes :
OXj intersection du plan de la paroi avec le plan de charge ;
Oj/, perpendiculaire àOx dirigée vers le bas;
Oz, perpendiculaire au plan de la paroi.
Appelons 0 l'angle que fait Oy avec sa projection horizontale, angle qui mesure le dièdre formé par la paroi et le plan de charge. On aura évidemment, ï conservant sa signification précédente :
; = y sin 0,
et la pression s'exprime ainsi :
/) = pflfsin O.y;
d'où, pour la somme des pressions :
P=JJ/^w = p</sinojJy
Soient .r,, y, les coordonnées du point lî, contre de pression. La lliéoi'ie ordinaire des forces parallèles nous
donne :
c*est à dire :
Pjt. =jjpx(ù = zg sin o| rryw, Py. =JJPy'^ = P^ sin 0 jTf i/iù,
' ffxy.
II"'
If"'
Ces formules montrent que le centre de pression coïncide avec le centre de percussion de la paroi, lorsque Von prend pour axe l'intersection de son plan avec le plan de charge,
