Ainsi, dans le cas du cercle on trouve
1® Que la pression totale est égale au poids d'un cylindre de liquide ayant pour base le cercle et pour hauteur la distance de son centre au plan de charge ;
29 Que le point Q est sur le diamètre perpendiculaire à l'axe, au delà du centre, et à une distance du centre égale à une troisième proportionnelle entre la moitié du rayon et la distance du centre à Taxe. En sorte que le point Q est le symétrique, par rapport au centre du cercle, du pôle de Taxe par rapport à un cercle concentrique au précédent et de rayon moitié.
Le cas d une paroi elliptique est identique au précédent. On trouve :
i^ Que la pression totale est égale au poids d'un cylindre de liquide qui aurait l'ellipse pour base et pour hauteur la distance du centre au plan de charge ;
2« Que le centre de pression est le symétrique par rapport
Despetrous. * Mécanique. U. 28
au centre de l'ellipse du pôle de Taxe par rapport à une ellipse homothétique et concentrique à la première, le
rapport d'homothétie étant ô*
29. On peut ramener la recherche du centre de pression à celle d'un centre de gravité.
Considérons en effet un point M de la paroi plane et élevons une perpendiculaire à cette paroi, dont la longueur MM' soit égale à la distance du point M au plan de charge. Le lieu du point M' est un plan, en sorte que si le point décrit toute la paroi, la droite MM' engendre un cylindre tronqué dont la paroi elle-même constitue la section droite de base. Si Ton plaçait verticalement ce cylindre, supposé rempli de liquide, chaque élément w de sa base supporterait une pression P, identique d'une part avec la pression que cet élément subit effectivement dans le Uquide, et d'autre part aussi identique avec le poids de la colonne du cylindre tronqué qui correspond à l'élément. La résultante de ces pressions doit donc passer par le centre de gravité du cyUndre tronqué, et l'on voit alors que le centre de presmn n'est autre que la projection sur le plan de lu paroi du centre de gravité du cylindre tronqué construit comme on Va déjà expliqua.
Cette remarque étabht un nouveau Uen entre le problème des centres de pression et les théories déjà développées, en montrant en même temps qu'il existe une relation étroite entre la recherche des centres de percussion et celle des centres de gravité.
On peut, en se plaçant à ce point de vue, chercher la pression sur une paroi rectangulaire ABCD dont deux côtés AD et B G sont horizontaux. Si l'on élève les perpendiculaires A A' et BB' respectivement égales aux distances des horizontales AD et BC au plan de charge, le tronc
cylindrique correspondant peut être considéré comme un prisme droit ayant ses arêtes horizontales et parallèles à AD et dont la base est le trapèze AB B'A'.
Si Ton considère la section droite MN N'M', équidistante des bases, on voit que le centre de gravité de cette section est aussi celui du prisme. Il suffit donc de trouver la projection sur MN du centre de gravité du trapèze MN N'M'. On trouve ainsi que Q divise MN dans le rapport :
QM 2Bb' + AÂ' ÛN"2Ââ'+bb''
30. Corps flottants. — Principe d'Archimède. — L'étude de Faction du liquide sur une paroi contient celle des corps flottants.
Mais dans ce cas les conditions du problème conduisent à une simplification remarquable qui consiste en ce que les pressions se composent dans une force verticale unique.
Conservons les notations du numéro (20). Les compo-
santés des pressions suivant une même horizontale se détruisent deux à deux comme il est facile de le montrer.
En effet, un cylindre parallèle à l'horizontale Ç, par exemple, et circonscrit à Télément w, ayant pénétré dans le corps flottant suivant cet élément, doit en sortir suivant un second élément w', qu'il découpe dans la surface immergée. Les deux éléments w et w' sont sur le même niveau, et par suite la pression p par unité de surface y est la même.
Les composantes suivant 0^ des deux pressions totales seront :
aptùy 7! più\
en désignant, comme au numéro (26), par a et a' les cosinus des angles de ces pressions avec l'axe 0;. On remarquera que ces deux cosinus sont nécessairement de signes contraires; de plus, si nous appelons c la section droite du cylindre, comme c est la projection des aires o) et (i>% on aura en valeur absolue :
en sorte que les deux composantes précédentes ont la même valeur absolue p^\ elles sont d'ailleurs opposées Tune à l'autre, et puisqu'elles ont môme ligne d'action, leur effet sur le corps solide est nul. Toutes les composantes horizontales des pressions totales élémentaires se détruisent ainsi deux à deux, et le corps reste soumis seulement à leurs composantes verticales.
Reprenons alors le même élément w que tout à l'heure, et construisons de même un cylindre vertical infiniment petit pénétrant dans le corps suivant l'élément. Soit a sa section droite. Le cosinus y de l'angle que fait avec la verticale la pression totale supportée par l'élément a pour valeur
selon que la projection verticale de la pression est dirigée vers le bas ou vers le haut. Cette projection verticale se représente donc par
±pa,
suivant le cas.
Or, envisageons une verticale traversant l'élément a> ; elle
peut traverser la surface du corps immergé en plusieurs points que nous supposerons rangés par ordre de profondeur croissante, M, M„ M„ etc. Je désignerai par jPjJPj, p„ ... les pressions aux niveaux correspondants; et par
0), u),, (0,, ... les élé-
Kg. 273
ments que le cylindre vertical infiniment petit découpe autour de ces points. Supposons, pour fixer les idées, qu'en se déplaçant à partir de M dans le sens OC on sorte de la surface; on y rentrera en M,, pour en sortir en M„ etc. La composante veilicale de la pression totale sera donc négative pour le premier élément w, positive pour w,, etc., et toutes ces forces qui ont même ligne d'action se composeront en une seule représentée par la somme :
— p? -h p^o — p,a, ... = ( — p -+- Pi — Pt ...) or.
Soient C, Ç„ Ç„ ... les distances des points M, M„ M„ ... au plan de charge, on a :
P = p?s, Pt = 99^i^ — »
d'où, pour la somme des composantes verticales dçs presk
sions élémentaires :
P5' (— î + Cl, ît, -.) ^ = — PS' U» + (!;• — O ff + —l-
On riConnaît dans la quantité entre parenthèses la somme des cylindres que notre cylindre infiniment petit vertical découpe dans la portion immergée du corps flottant.
Le produit de cette somme par pg représente donc le poids de ce même volume si Ton supposait la matière du corps flottant qui le compose transmutée en liquide. EInfin, comme ce produit est essentiellement positif, nous devons en conclure que la somme de toutes les composantes élémentaires que nous avons considérées donne une force verticale dirigée vers le haut.
En faisant maintenant la même opération pour tous les éléments de la surface immergée et ajoutant les résultats, nous parviendrons à une force unique verticale dirigée vers le haut, représentée par le poids d'un volume de liquide égal au volume immergé du corps.
La théorie des centres des forces parallèles nous montre de plus que la résultante de toutes ces forces passe au centre de. gravité du volume immergé.
Le liquide dont le volume immergé tient la place s'appelle volume déplacé ou déplacement. On peut dire alors qu'un corps plongé dans un liquide éprouve une poussée verticale représentée par le poids du volume déplacé du liquide, et appliquée au centre de gravité de ce volume.
C'est en cela que consiste le principe d'Archimède.
31. Extension aux fluides pesants quelconques. — Le principe d'Archimède, comme on a pu le voir, découle de ce fait que dans les liquides pesants les surfaces de niveau sont des plans horizontaux. Or, ce fait se présente dans le cas de fluides pesants quelconques. On doit donc étendre aux gaz le principe d'Archimède, en ayant soin de remar^
quer que dans ce cas le volume de fluide déplacé n'est plus homogène, maïs que la densité varie avec le niveau, et que par conséquent le point d'application de cette poussée ne sera pas nécessairement le centre de gravité du volume immergé dû corps, comme dans le cas des liquides.
32. Remarque. — Soient U le volume du corps et d sa densité, Y le volume déplacé et p la densité du liquide.
Pour qu'un corps flottant sur un liquide soit en équilibre, il faut que la poussée détruise son poids. Il faut donc que le centre de gravité G du corps et le centre de carène, c'est à dire le centre de gravité du volume déplacé, soit sur une même verticale.
De plus on doit avoir :
Yp = Ud, c'est à dire :
Or il est clair que V doit être au plus égal à U, ce qui exige que d ^p.
Si d < p, le corps pourra flotter et une partie émergera; car alors Y < U.
Si d = Pi le corps sera en équilibre dans toutes les positions dans le liquide, pourvu qu'il y soit entièrement plongé.
Enfin si d > p, le corps tombe au fond du liquide.
33. Forme d'un liquide pesant animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe vertical. — Les équations générales qui ont été données plus haut sont applicables au cas où les forces agissantes proviennent d'un mouvement propre à toute la masse. On sait en eflet que les formules ordinaires de la statique conviennent aux cas d'équilibre
relatif, pourvu que Ton tienne compte des forces ficlives que le théorème de Coriolis apprend à introduire.
Supposons donc qu'une masse liquide tourne autour d'un axe vertical, un point M de la masse sera sollicité par son poids, mg^ et par la force centrifuge, mwV, où r désigne la distance du point M à Taxe, et (o lu vitesse angulaire constante.
Nous pouvons représenter la force centrifuge par un segment MC égal à r, quitte à représenter le poids par un
segment M G égal à -j
La force sera représentée par la
résultante MP de ces deux segments. Les surfaces de niveau son^ évidemment de révolution autour de l'axe de rotation O2, et NQ représente la sous -normale à ^^ courbe méridienne qui passe en ^^> attendu que MP doit être norrrx^^^ à la surface de niveau. Mais ^^ deux triangles QNM, GMP s^ égaux, car tous leurs angles ^^^ égaux et que de plus PG=MG
donc la sous-normale NQ, qui est égale à M G = —
constante.
Les surfaces de niveau sont ainsi des paraboloïde^ révolution, et comme leurs méridiennes sont des parais qui ont même sous-normale, tous ces paraboloïdes de ni^ ne sont autres qu'un seul et même paraboloïde dép suivant son axe.
Reste à trouver la pression en chaque point. Puisqa * est la même sur chaque paraboloïde de niveau, il sufli t la chercher aux sommets de ces paraboloïdes =
Soit n la distance, comptée positivement vers le bas.
ommet d'un paraboloïde S à une oiîgine fixe prise sur axe. La pression est une simple fonction de n; or si Ton e déplace sur Taxe, normalement par conséquent à la
urface de niveau, la dérivée -^ de la pression se représente
ar la force extérieure, laquelle se réduit sur Taxe à la esanteur pgf. On a donc :
dp
'où :
P-P. = Pfl'(» — Wo).
Or, (n — n,) représente le déplacement parallèle à Taxe u'a subi le paraboloïde S, pour venir coïncider avec le araboloïde S. Si Ton donne à ce déplacement vertical le om de différence de niveau, ainsi qu'on le fait dans le cas es plans horizontaux, la formule précédente conduit au lôme énoncé que dans le cas des liquides au repos. Ainsi, 2 théorème : c Les différences des pressions sur deux léments égaux se représentent par le poids d'un cylindre e liquide ayant pour base l'un de ces éléments et pour auteur leur différence de niveau, » s'étend au cas d'un quide pesant animé d'un mouvement de rotation autour 'un axe vertical.
L'exemple de cette extension n'est pas particulier au iroblème qui nous occupe, on le retrouvera chaque fois ;ue les surfaces de niveau proviendront du déplacement l'une même surface suivant une môme direction.
Gai pesants. — Atmosphère.
34. Lorsqu'il s'agit de fluides compressibles pesants, la brmule (1) de la page 429 conduit à des conséquences légèrement différentes. Dans ce cas, en effet, la densité p varie
avec la pression. Par exemple, on a :
et par suite :
dp p dz ^
on en déduit :
log J- = — ag {z - z.\
Po
ce qui prouve que les résultats ne diffèrent de ceux que Ton a rencontrés pour les liquides qu'en ce que p s'y trouve remplacé par son logarithme.
35. Mais dans cette formule on attribiie à la pesanteur une grandeur et une direction invariables; on suppose constante la température, ou du moins on n'en tient pas compte, et pour ces raisons la formule (2) ne peut être appliquée à Tatmosphère.
La pesanteur est dirigée vers le centre C de la Terre, supposée sphérique; elle varie en raison inverse du carré de la distance à ce centre.
Les surfaces de niveau sont donc des sphères concentriques au globe, et si R est la longueur du rayon terrestre, z la distance d'un point M à la surface de la terre, en sorte que z + R soit sa distance au centre C, les surfaces de niveau auront pour équation z = const. Il faut en conclure que la pression sera une fonction de z. Or, si Ton se déplace sur le rayon terrestre vers le centre, c'est à dire suivant la
force, z diminue et la dérivée — J- a pour valeur la force
extérieure . . mt' ^^^ ^ donc :
rfç'^Cr + R)*'
Maintenant, si 0 est la température, a le coefficient de dilatation de Tair, on a :
d'où :
^ l-f-aO
dp fa l
~ pdz "■ 1 -h aô (;; 4- R)*'
Pour exprimer la constante f, on remarquera que |rî = 5
est l'intensité de la pesanteur à la surface du sol, ce qui
donne :
dp ga dz
36. On ne connaît pas la loi suivant laquelle 0 varie avec l'altitude. Mais a est petit, 0 varie peu, du moins on le
suppose, et le coefficient t-^ — r peut être regardé comme
constant. En intégrant, et appelant p, la pression à la surface du sol, on trouve :
1 P ga z
on a du resté, en supposant ^ petit :
d'où :
p oa ( z* z* z^ )
En supposant ^ négligeable, on ferait une première approidination, qui est précisément celle que nous avons
regardée comme insuffisante. Une seconde approximation consistera à conserver le terme en :^ et à négliger tous ceux qui suivent vers la droite ; on trouve ainsi :
'<=-rfro'('-s)
On se sert de cette formule pour mesurer les hauteurs à Taide du baromètre. On se transporte en deux points A et A„ on observe et corrige des effets de la chaleur les hauteurs du baromètre, dont le rapport est égal à celui des pressions p et p^ en A et A, ; on a ainsi, z et z, étant les altitudes de A et A, :
^ p 1 4- aÔ * \ R/ 1 + ae V R/
Soit z' la différence d'altitude des deux stations, on a z^ — z = z', d'où, pour l'équation qui donne z' :
^ p i -h aÔ L R J
On prend pour 0 la moyenne des températures aux deux stations. Quant aux constantes gf et a, on les connaît d'avance: on effectue sur g la correction due à la latitude.
On doit remarquer que cette formule suppose que l'atmosphère est en repos : on l'appliquera donc avec d'autant plus d'exactitude que l'air sera plus calme.
