CHAPITRE II

HYDRODYNAMIQUE

1. L'hydrodynamique a pour objet Téfude du mouvement des fluides. Soient (a?, j/, z) les coordonnées rectangulaires à Tépoque t d'un point M de la masse d'un fluide en mouvement, et ti, v, w les projections sur les axes de sa vitesse, on aura évidemment :

,ix dx dy dz

Si Ton envisage la masse fluide à l'époque t, la grandeur et la direction de la vitesse de chaque point sont des fonctions de ses coordonnées actuelles. Mais ces fonctions varient d'un instant à l'autre pour un même point de l'espace, du moins en général, en sorte que l'on devra considérer m, v, w comme des fonctions parfaitement déterminées de a?, j/, z et t.

Le jfroblème se trouve alors ramené à la détermination de ces fonctions, et une fois qu'on les aura trouvées, les équations (1) feront connaître le mouvement d'un point quelconque de la masse fluide.

2. Équations qui déterminent le régime. — La détermination de u, v, w constitue la recherche du régime du mouvement du fluide.

Pour trouver les équations propres à cette déterminatioa,

il suffira de remarquer que la force d'inertie relative au point M, et qui a pour projections sur les axes :

tPx (Py (Pz

""Pdî^' -^d?" "^d?'

peut être représentée à Taide des dérivées totales de w, v, u/, puisque Ton a, en vertu des équations (1) :

du d^ dv __ d'y dw d^z dt'^dt^' Tt'^dë' lî^d^'

On se l'appellera alors que les équations de rhydrostatique s'étendent au cas du mouvement, pourvu que Ton fasse figurer parmi les forces extérieures les forces d'inertie, et les équations :

dp -. d^x

que l'on obtiendrait ainsi, deviennent alors, grâce à la remarque précédente :

/ du i dp

i ai p ox

dw i dp

dt ^ dz

3. Équation de continuité. — Ces équations n'expriment pas la continuité du fluide, c'est à dire l'absence de vide au sein de la masse en mouvement. Considérons un parallélipipède rectangle ABCD A'B'C'D' infiniment petit, dont les arêtes soient parallèles aux axes, et dont les coordonnées du sommet A le plus rapproché de l'origine soient a;, y, z.

Appelons a, b, c les longueurs infiniment petites des arêtes AB, AC, AD, et p la densité au point A à l'époque t.

HYDRODYNAMIQUE. 447

La masse du fluide qui, à Tépoque f, remplit le parallélipipède, a pour valeur :

p abc.

Or, la densité p varie généralement d'un point à Tautre, et de plus, pour un même point, peut varier avec le temps : donc p est une fonction explicite de x, y, z, t. Au bout du temps dty la densité au point A s'est accrue de sa diflerentielle due à la variation du temps, elle est devenue

(p -i- -^ • dty et la masse du fluide qui à Tépoque t + dt remplit le parallélipipède, a alors pour expression :

(p + ^ dt) abc,

en sorte que dans le temps dt cette masse s'est accrue de la quantité :

afrc-rf • dt.

Mais nous avons une seconde manière d'évaluer la variation de masse du fluide intérieur au parallélipipède : il suffit d'évaluer la masse qui a pénétré dans ce solide pendant le temps dty et celle qui en est sortie, et de faire la diflerence.

Par la face ACB'D, dont l'étendue est mesurée par le produit 6 c, pénètre une masse représentée par l'expression

hc,fu,dt.

La face opposée A'G'BD' donne au contraire passage à une masse égale à cette expression, augmentée de sa différentielle due à la variation a de l'abscisse Xy ce qui donne :

. / d (om) \ ,

Mais la première expression représentant une masse qui

entre dans le parallélipipède, l'autre exprime une masse

qui en sort, et leur différence :

représente une masse résiduelle restée intérieure au parallélipipède. Les- deux autres couples de faces opposées donnent deux termes analogues, ce qui par addition nous donne :

\ dx dy dz / .

pour la variation de la masse du fluide intérieur au parallélipipède. S'il n'y a pas de discontinuité dans ce fluide, cette variation doit être identique à celle qui résulte de la variation de la densité, et nous avons ainsi, en égalant ces expressions différentes:

^ ^ dx dy dz ât

4. Conditions complémentaires ('). — Les équations (2) et (3) ne suffisent pas pour déterminer les cinq fonctions w, v, î(;, p, p des quatre variables x, j/, r, t. Pour compléter la détermination, il faut introduire' une condition nouvelle définissant d'une manière plus spéciale la nature du liquide.

Si, par exemple, le fluide est incompressible, dans le sens le plus général du mot^ la densité doit rester constante pour un môme point de la masse du fluide, et p est une fonction dont la dérivée totale par rapport au temps doit être nulle. On a alors :

dp dp dx dpdy dpdz dp^

Tt'~'dxTt'^Tydt'^Tzdi'^dt'^ '

{}) Voir sur les conditions supplémentaires un mémoire de M. Bjcrkncss, au tome IV du journal Ada Mathematica^ publié par M, MitUg-Lcnier, chez M. Hermann, libraire.

HYDRODYNAMIQUE. 449

OU, eu égard aux équations (1) :

/ex ^P ^? ^? ^P A

^ ^ dx dy dz dt

Cette hypothèse réduit Téquation (3) à la forme :

^ ' dx dy âz

et Ton a alors dans les équations (2), (4) et (5) le nombre de conditions nécessaires pour déterminer les cinq fonctions.

L'hypothèse la plus ordinaire et celle qui trouve le plus d'applications, consiste à introduire comme équation complémentaire une relation connue à priori entre la densité et la pression. D'ailleurs, il est facile de se rendre compte du degré de particularisation de cette hypothèse.

Supposons en effet que, par Tintroduction de conditions complémentaires convenables, on ait entièrement déterminé les fonctions et les constantes du problème; les quantités w, t;, u», j), p seront cinq fonctions des quatre variables x^ y^ ^j t; et il existera par conséquent au moins une relation entre u, t;, w, p et p :

F (m, r, ti\ p, p) = 0.

L'hypothèse spéciale que nous introduisons consiste donc

supposer que la vitesse ne figure pas dans cette relation,

que l'on peut supposer donnée à priori. Nous prendrons

donc comme cinquième équation, ou comme équation

complémentaire, une équation de la forme ;

et nous avons aussi dans les équations (2), (3), (6) les cinq relations voulues entre nos cinq fonctions u, i', u;, p et p.

5. Détermination des constantes ou des fonctions arbitraires. — L'intégration de ces équations simultanées intro-

Despeyrous. — Mécanique. II. 21)

duird certaines constantes ou fonctions arbitraires qu'il s'agira de déterminer.

. On y parviendra par la considération des données initiales et des surfaces limites.

Supposons qu'à un instant t le fluide soit limité par une surface A, qui variera généralement avec le temps. L'équation de cette surface sera généralement de la forme :

où A représentera une fonction de a:, y, z, t. On admet qu'un point du fluide situé sur cette surface doit s'y mouvoir tangentiellement, en sorte que l'on doit avoir, soit identiquement, soit en vertu de l'équation A = 0 :

dk dk àk dk ^

dx dy dz dt

On remarquera que si l'on forme les équations des caractéristiques Ç de cette équation aux dérivées partielles du premier ordre et linéaire :

dx __dy __dz dt ^a a U V 10 1 "~*

on tombe précisément sur les équations (1); en sorte que si a, b, c sont les trois intégrales des équations (1), la fonction A doit pouvoir s'exprimer à l'aide de a, &, c seulement, et être de cette forme :

k = fia,b, c).

6. Fonction de forces. — Nous supposerons dans tout ce qui suit que X, Y, Z soient les dérivées partielles d'une même fonction U par rapport à a;, y, z. On aura alors :

\dx + Xdy + ldz = d\}.

En multipliant par dx^ dy^ dz les équations (2) et remar-

HYDRODYNAMIQUE. 454

quant que Ton a, en vertu des équations (1) :

du au du du du

dt âx ây àz ôt

dv àv âv ôv âv

dt ox ày ôz ai

dw dw âw àw àw

dt âx ôy ôz ôt

on trouve :

(du ou du àn\ -

-T- w -f- -7- r 4- T- le? 4- ^-:] dx âx dy dz dt)

(dv dv dv dv\ ,

(dw dw dw dw\ . J-- dp -;— M 4- , t' 4- -r- M? 4- -r- ) rf-3 = dU dx dy dz dt) p

ce qui, en appelant V la vitesse 1/m* 4- 1?* +- ««;% peut s'écrire, d'après une transformation due à Lagrange :

' du j dv ^ dw j (du dv.\ , , -. 1 (dv dw\, . , . /dw du\ . . , .

C'est en se fondant sur cette forme d'équation que Lagrange a approfondi le cas important où il existe un potentiel de vitesse.

7. Potentiel de vitesse. — On dit que la vitesse dérive d'un potentiel lorsque u, v, w sont les dérivées par rapport au temps d'une fonction de x, j/, r, t.

do do do

ti =. — ^* t?=T^> tt? = — î« dx dy dz

on a alors :

du âv ^ âv ^W' A àw du ^

ây ôx ' ôz ôy ' dx dz

et réqualion précédente se réduit simplement à celle-ci : dx -h -r— 3- dy + —4- dz = d\J ^^d (\*),

âtâx dtôy '' ôtâz P 2

c'est à dire, en faisant rentrer dans 5 une fonction arbitraire du temps :

àt-^ j ^, 2' ce qui, eu égard à l'équalion ((5), nous donne :

d'ailleurs on a :

L'équation de continuité nous donne aussi :

^ ' Ôx ây ôz at

Par l'intermédiaire de l'équation (G), l'équation (8) donne p

do V*

en fonction de U J7 ~~ "^ ' ^'^^^ ^ ^^^^ ^ l'aide des

dérivées de ç et d'une fonction connue U. En transportant cette valeur de p dans l'équation (9), celle-ci sera simplement une équation dilférentielle en o; et cette fonction se trouvera ainsi déterminée.

Si, par exemple, le fluide est caractérisé par la relation

HYDRODYNAMIQUE. 453

on a :

*j y = *log/?,

et réquation (8) devient, par rintroduction immédiate de p :

,logp = (u-^^*V.)

Du reste, réquation (9) s'écrit :

^•9 £^*9 <^*9 f)^d\ogp <?9 c? log p r^9 (? log p dx* ây* dz^ dx âx Oy ày ôz âz

^ dt '

et la substitution de la valeur précédemment trouvée pour log p n'offre pas de diflicultés.

Malheureusement, l'équation que Ton obtient ainsi, outre les difficultés de son intégration, ne saurait être appliquée aux gaz, dans lesquels les phénomènes thermiques jouent un rôle éminemment prépondérant.

Mais dans le cas de fluides incompressibles et homogènes, p étant constant, l'équation (9) se réduit tout de suite à la forme bien connue :

dx^'^ôy^'^d?'''

qui servira à trouver 9 ; on aura ensuite :

p"" dt 2^-

Les conditions d'existence d'un potentiel de vitesse ne pouvaient manquer d'attirer l'attention des géomètres. Lagrange a démontré, en s'appuyant sur l'équation (7), que si à une époque du mouvement il existait un potentiel de vitesse, la même propriété ne cessait pas de subsister pendant tout le cours du mouvement.

on a alors :

du ôv ^ âv <^'^' /v ^M? du ^

ây âx ' âz <^y """ ' âx dz '

et réquation précédente se réduit simplement à celle-ci :

âtâx dtdy ôtdz p 2

c'est à dire, en faisant rentrer dans 5 une fonction arbitraire du temps :

ce qui, eu égard à l'équation (0), nous donne :

d'ailleurs on a :

L'équation de continuité nous donne aussi :

,Lh) ,Lp\ o{M ,

^ Ox ôy âz ât

Par l'intermédiaire de l'équation (G), l'équation (8) donne p

do V*

en fonction de U 7/ "~ T ' ^'^^^ ^ ^*^^ ^ l'aide des

dérivées de ç et d'une fonction connue U. En transportant cette valeur de p dans Téquation (9), celle-ci sera simplement une équation dilférentielle en o; et cette fonction se trouvera ainsi déterminée.

Si, par exemple, le fluide est caractérisé par la relation

HYDRODYNAMIQUE. 453

on a:

*j y = *log/),

et réquation (8) devient, par rintroduction immédiate de p :

*logp = (u-fj-lv)

Du reste, Téquation (9) s'écrit :

d'9 ^ £^'9 <^'9 <i9 (? log p <?9 <^ log p dç () log p

<^a?* (^y' dz* dx âx ây ây âz dz

^ dt '

et la substitution de la valeur précédemment trouvée pour log p n'offre pas de diflicultés.

Malheureusement, l'équation que l'on obtient ainsi, outre les difficultés de son intégration, ne saurait être appliquée aux gaz, dans lesquels les phénomènes thermiques jouent un rôle éminemment prépondérant.

Mais dans le cas de fluides incompressibles et homogènes, p étant constant, l'équation (9) se réduit tout de suite à la forme bien connue :

dx^'^lf'^d?'''

qui servira à trouver 9 ; on aura ensuite :

p-^ dt i^ '

Les conditions d'existence d'un potentiel de vitesse ne pouvaient manquer d'attirer l'attention des géomètres. Lagi'ange a démontré, en s'appuyant sur l'équation (7), que si à une époque du mouvement il existait un potentiel de vitesse, la même propriété ne cessait pas de subsister pendant tout le cours du mouvement.

D'ailleurs, si Ton a pu dans quelques cas très particuliers intégrer complètement les équations de Thydrodynamique, le problème général n'a guère avancé depuis Lagrange, et nous ne nous occuperons plus que d'un cas particulièrement remarquable, celui du régime permanent.

Du régime permanent.

8. Filets. — Le régime est dit permane)it lorsque les cinq fonctions i/, v, Wy p, p ne dépendent pas du temps explicitement; en sorte que tout point du fluide qui passe en un point (x, j/, z) de l'espace y acquiert une vitesse qui ne dépend aucunement, ni en grandeur, ni en direction, de l'époque de son passage.

Par tout point M (a?, j/, z) il passe donc une droite MT dirigée suivant la vitesse que doit posséder toute molécule du fluide, si elle vient passer au point M.

Si l'on se déplace en M' suivant MT, au point M' répond une seconde droite M'T' sur huiuelle on pourra se déplacer encore infiniment peu en M", et ainsi de suite.

Le point M se trouve alors déplacé sur une courbe C, telle que la tangente en chaque point M de cette courbe ait précisément la direction de la vitesse qui correspond au point M. On voit tout de suite qu'un point du fluide qui passe à un moment quelconque au point M doit continuer à se mouvoir sur cette courbe C, puisque la direction de sa vitesse est constamment tangente à celte courbe. D'ailleurs, puisque par le point M il passe toujours un point du fluide, on en conclut qu'à un instant quelconque la courbe G se trouve occupée tout entière par une succession de points du fluide qui la parcourent en se remplaçant les uns les autres, et acquérant chacun une même vitesse lors de leur passage par un même point de cette courbe. Cette courbe G représente ce que l'on appelle un filet du fluide.

HYDRODYNAMIQUE. 455

Supposons tt, v, IV connus en fonction de x, y, z\ les équations des filets s'obtiendront en exprimant que le déplacement MM' s'effectue suivant la direction qui correspond au point M ; ce qui donne :

dx dtf di

^^^mm *^^^ ^m^m^ ^^^^ , •

U V tt? '

comme on devait s'y attendre d'après les équations (1), qui déterminent les trajectoires des points du fluide.

9. Un cas intéressant, c'est celui où la vitesse dérive d'un potentiel, c'est à dire où w, v, w sont les dérivées partielles d'une même fonction ç de a:, j/, z :

âo 09 âo

dx dy âz

Les surfaces © = const. sont les surfaces de niveau relatives à ce potentiel ; et les équations précédentes font voir ainsi que : Lorsque la vitesse dérive d'un potentiel, les filets sont les trajectoires orthogonales des surfaces de niveau relatives à ce potentiel,

10. Surfaces de nulle résistance. — Dans une thèse intéressante sur le mouvement permanent des fluides, M. de Salvert a introduit une série de surfaces remarquables que l'on peut définir de plusieurs manières, et auxquelles il a donné le nom de surfaces de nulle résistance. Ces surfaces sont définies par la condition d'être le lieu d'une série de filets, ou, ce qui revient au même, d'être telles que le plan tangent en chaque point contient la direction de la vitesse qui correspond à ce point.

Soit 6 (aj, y y z) = 0 l'équation d'une surface de nulle résistance, la dernière condition nous donne l'équation linéaire aux dérivées partielles à laquelle doit satisfaire 0,

cîir si le plan tangent en un point doit contenir la vitesse qui lui est relative, il faut avoir :

<?0 d(i dO ^

(5) ti -7- + t? -r- 4- M? — = 0.

^ ^ dx dy dz

Eu égard aux équations (1), l'équation (5) peut s'écrire

-r- = 0, et la recherche des surfaces de nulle résistance ai

revient à celle des éléments qui, variant généralement d'un point à l'autre, restent cependant invariables pendant le mouvement, c'est à dire pour un déplacement effectué suivant un filet. Si l'on peut déterminer à priori deux de ces éléments a et g, indépendants entre eux, tous les autres seront des simples fonctions de ceux-là, d'après la théorie ordinaire des équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre. Mais nous renvoyons à la thèse de M. de Salvert pour ce qui concerne ces développements.

11. Intégrale des forces vives. — Supposons (ju'il existe une fonction des forces, la vitesse dérivant ou non d'un potentiel, et soit :

ôx ôy oz

Partons des 3 éciuations de l'hydrodynamique :

du d\} 1 ôp

dt dx p âx dv dV l^âp dt'^ dy p dy dw â\] 1 dp dt dz p dz*

en multipliant par dx, dy^ dz et ajoutant, il vient :

dx . dy , dz .ir • * j da • -t: 4- a«^ • -F7 + dtr • -7- = au dp.

dt dt dt p '^

HYDRODYNAMIQUE. 457

Mais supposons le déplacement dx^ dy, dz effectué suivant un filet, les équations (1) nous donnent, V représentant la vitesse :