z')i ar VtC + A
Uh
a Va'
Cherchons le potentiel relatif à Tattraclion de la droite sur
le point M :
kdz . , h -h y a* H- h*
\=2I =:2ilOg.
Soient x et y les coordonnées rectangulaires du point M; on aura :
et en désignant pai: X et Y les composantes de R, on aura :
x = ^nos'^^^'''-^'^'--''
X = - 2ÂA
Y =^ — 2/lA -^
(.r« -f- y') Ka?^ + y* 4- A'
On vérifie aisément les relations connues :
Y dV ^ d\ dx dp
Faisons maintenant tendre h vers Tinfini, x et y restant finis, la droite s'étendra à rinlini au-dessus et au-dessous du plan <lcs xy\ V tendra vers l'inlirii, et Ton aura :
Y = — 2A- -^ - f ^ i/x'-^-if
I^e potentiel V, qui est infini, peut (Hre remplacé par la fonction U :
U = — A- log (.r« -h y').
On a en eiïel :
V rfU ^ r/U
DtSPEvnors. — Mécanique. U. 3
et celte fonction des forces vérifie l'équation :
dx^ di/
lu foncliou IJ est appelée le potentiel logarithmique.
i.e résultat précédent peut être généralisé. Clonsidérons
un cylindre droit s'étendant à Tinfini de part et d^autre du
plan des X7j, Prenons à Tintérieur de co cylindre un prisme
s'étendant également à Tinfini de part et d'autre du plan
des .rj/, et ayant pour base Télément dx dy de Taire de la
section droite, répondant au point N : son attraction sur le
2K point M sera dirigée suivant MN et égale à ^r; soient x
et g les coordonnées de M, MN = w, on aura pour les composantes de l'attraction du cylindre entier sur M :
'dx dy X — %
ir, , " , " O «' = (-^^ - «)' + (y - ?)*.
" JJ u u \ Z = 0.
Le potentiel n'existe pas d'après ce qui précède, Inais il y a •une fonction des forces
U = — kffdj; dy log (m*) = — ikÇjdx dy log «.
On a en eflet :
X = lï.; ï="; Z = ff = 0.
dx d^ r/v
On vérilie aisément la relation :
d'U d*\j ^ dx' ^ r/&* '
cai* on a :
-4- . - nn: 0
dx d^ "•
La quantité U se nomme le potentiel logarithmique. Nous allons en donner une application.
102. Cherchons l'attraction de la couche comprise entre deux cyUndres circulaires droits, concentriques et très voisins, sur un point du plan des xy; les deux cylindres ont leurs génératrices perpendiculaires à ce plan, et s'étendent iiidéluiiment au-dessus et au-dessous de ce plan.
Faisons passer Taxe des x par le point attiré M, et ropi-ésentons par a la distance OM, par r et r + dr les rayons des deux cyUndres, l'élément N de la section di^oite, compris entre deux rayons infiniment voisins, aura pour expression r dr (/O, et l'on aura :
U = — A/rfrl de log(u»),
a^ z=z a* 4- r' — iar cos 6.
Nous écrirons :
u* = (/• — ae^ V -») (r — ae- ^ v -i)
= r* (1 — mo^\ -») (1 — me- ^ v -^),
Donc :
(1) \]^=—krdrj rfO } log v- + log [(1 -^ me^ v ^) (1 -^me-0\ - •) |; .
Nous écrirons :
Donc :
/»2ÏC
r^ = — krdr\ rfO \ log a' + log [(1 — ne^ \ -0(1 — ne- ^ v -"')lj.
Or, m étant < 1 , on a, en série convergente :
— ^-Ov/-i ^-30v-i...=z: — 2 T-cosO + ^ cos26... •
On en conclut :
log [(1 — me^M -0 (1 — we» -^ v^^)] rfO = 0;
les formules (I) et (2) deviennent donc :
(1^-) V, = ^iT.krdr log r\
(2''*) U, = — 2::ÀTrfrloga».
Si maintenant Taxe des x est quelconque, on remplacera a* par a* + g* et l'on aura :
A. = -T- = — Ir kr dr — ?
dx a* 4- fi'
