SUR UN PROBLËME RELATIF A LA THÉORIE DES FORCES CENTRALES
Dans un article élég^ant inséré aux Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LXXXVII, p. 849, M. Bertrand s'est proposé de rechercher, parmi toutes les lois d'attraction émanant d'un centre fixe, celles pour lesquelles la trajectoire d'un point libre sera toujours fermée. La solution de cette question se ramène à un intéressant problème d'analyse qui a été complètement étudié par M. Bertrand. Nous nous proposons d^exposer ici, avec quelques modifications dans le calcul, la méthode suivie par cet illustre géomètre.
Soient r et 8 les coordonnées polaires du point attiré, R = f{r) la force; l'équation de la trajectoire sera, comme on sait :
(l) rfft=± ^^
-h2 iRdr -h h
e désignant la constante des aires et h la constante des forces vives. Si donc on pose :
(2) 1 = .♦, 2Jr dr = ç (z),
et si Ton désigne par A et B deux constantes nouvelles dont les
valeurs soient
réquatioQ de la trajectoire prendra la forme :
de
(3) rfO =
Quelle que soit la loi de la force, on sait que la trajectoire joait de la propriété de se composer de parties égales disposées reg'ulièrement autour du centre attractif. Soient 0 ce centre et M un point do la trajectoire correspondant, par exemple, à une valeur minimum du rayon vecteur OM. Quand le mobile s'éloignera du point M, le rajon vecteur croîtra. Supposons que ce rayon vecteur prenne sa valeur maximum quand le mobile sera arrivé au point N de la trajectoire. Les deux rayons vecteurs OM, ON seront des axes de symétrie de la trajectoire. Par conséquent, on engendrera le reste de cette courbe en prenant la symétrique MM' de la partie déjà connue MN par rapport au rayon ON; puis en faisant tourner Tensemble MNM' des deux arcs ainsi obtenus, de Tangle MO M' autour du point O, autant de foiâ que cela sera nécessaire. Il suit évidemment de là que la valeur du rayon vecteur redevient constamment la même, toutes les fois que ce rayon vecteur passe par un maximum (ou par un minimum), et que la condition nécessaire pour que la trajectoire soit fermée est que Tangle compris entre un rayon vecteur maximum et le rayon vecteur minimum qui le suit soit dans un rapport commensurable avec r.
lieportons-nous à Téquation (2) ; les maxima et les minima de r ou, ce qui est la mcme cliose, de c sont donnés par l'équation :
— ij» -h A 9 (j) -h B = 0.
Si donc a et P désignent les valeurs maxima et minima de z^ on devra avoir les deux équations :
qui permettent de déterminer A et B en fonction de a et de ^.
NOTE XÎV. 463
Portons les valeurs do A et de B ainsi obtenues dans Téquation (3), nous aurons :
dO =
dt |/y (g) — y (a) |/1
À désignant, pour abréger, le déterminant :
et Tangle 6 compris entre le rayon maximum et le rayon minimum qui le suit sera évidemment
p |/ç(^)__çu) it
6 ne dépend que de la forme de la fonction ç et des constantes a et 3* La condition du problème est que Ton ait:
0 = jjlt:,
pi étant un nombre commeusurable, et cela pour toutes les valeurs de z et de %.
Il ne peut en être ainsi que si Tanglo 6 demeure constant lorsque a et ^ varient; car si cet angle était variable, son rapport à :; passerait évidemment par une infinité de valeurs incommensurables. Nous sommes ainsi ramenés au problème d'analyse suivant :
Déterminer, sHl est possible, la fonction ç de telle manière çue Von ait, pour toutes les valeurs de t. et de '^:
pl^y(g)~9(a) dz
= [xz;
(A désignant un nombre commensurab!e constant. Pour résoudre ce problème, posons :
a = a — hf
z = a -h ht^
et supposons h assez petit pour que Ton puisse développer la fonction 9 suivant les puissances de h. On aura :
ç, 9', 9', ... désignant, pour abréger, ç (a), ç' (a), 9' (a), ...
Si l'on substitue ces valeurs dans Tintégrale (8) et dans la Yaleur de A, on trouvera :
et par conséquent :
y 9' + '^ + - àt
Kl-r'j/?'-«'/-ÇA/+J^|V-«r(H-<')j+...
Pour A = 0, cette expression se réduit à la suivante :
®»-V 7^'X. j7f=i - '^ Vç-rf^'
Pour qu'elle soit constante, il faut donc que le rapport
soit indépendant de a, ce qui donne :
9 (j) = Cj"» + G,.
C, m et Cj étant trois constantes arbitraires; 9 désignant la fonctioa
des forces on peut mémo supprimer C^ et écrire :
(11) (f{z) = Cc'\
L'expression approchée de 6 devient alors :
et Ton voit que Texposant m devra être choisi de telle manière que 2 — m soit le carré dMn nombre commensurable - .
Avant de poursuivre la solution du problème proposé, nous allons présenter quelques remarques sur le résultat précédent qui est dû à Newton {Principes, livre I, proposition XLV). Newton considère un corps soumis à Taction d'une force centrale, décrivant une orbite peu différente d'un cercle, et il détermine Tangle que nous avons désigné par 6^. Cette détermination avait pour le but qu'il se proposait la plus haute importance; car si Ton admet que la loi de la force soit celle de la nature, la valeur de 0^ donnée par la formule (10) ou la formule (12) sera ::; les aphélies seront sensiblement immobiles et à 180^ des périhélies ; mais, pour peu que la loi de la force eût différé de celle que nous devons à Newton, les périhélies auraient eu un mouvement direct ou rétrograde dont l'effet serait devenu nécessairement sensible après un nombre suffisant de révolutions. Newton obtient des résultats équivalents aux formules (10) et (12) par une méthode qui contient le premier germe de la théorie des mouvements relatifs.
Revenons au problème que nous avons en vue et qui n'est pas encore complètement résolu. Si nous portons dans la formule (9) l'expression de 9 et si nous posons, pour abréger.
nous trouverons :
-xr *^"' °
Despeyrous. ~ Mécanique. II. 30
Cette expression dépend en général de k, et par conséquent tontes les valeurs de m, qui conviennent quand Torbite est très peu différente d'un cercle, cessent d'être acceptables lorsqu'on suppose qu^il existe une différence finie entre le maximum et le minimum du rayon vecteur. Mais si Ton développe suivant les puissances de A^ en employant les formules suivantes :
on trouvera :
Pour que cette valeur soit indépendante de k}^ il faut évidemment que Ton ait :
L'hypothèse i» = 1 donne pour la fonction des forces :
C'est la loi de Newton, pour laquelle on a : L'hypothèse «t = — 2 donne :
Udr = - = Or\ e = |-
L'attraction est alors proportionnelle à la distance. On sait d'ailleurs que ces deux lois donnent des solutions de la question proposée.
Ainsi se trouve établi le théorème de M. Bertrand :
Si Von considère U mouvement d'ui mobile attiré par un centre flxe dont l'action est une/onction de la distance^ la loi de Newton et celle po^nr laqneUe V attraction est proportionnelle à la distance sont les seules pour UsquelUs la trajectoire du mobile soit constamment fermée.
