SUR UNE SURFACE DE RÉVOLUTION
Après avoir considéré dans la Note précédente le mouvement d'un point libre soumis à Taction d'un centre fixe, nous allons étudier ici une question analogue, relative au mouvement d'un point sur une surface de révolution. Nçflis admettrons que le point est soumis à la seule action de forces émanant des différents points de Taxe ou bien de forces parallèles à Taxe et fonctions de la distance du point sur lequel elles agissent à un plan fixe parallèle à Taxe. Ces hypothèses se résument en une seule : il y a une fonction des forces qui conserve la même valeur en tous les points d*un parallèle de la surface. Nous allons rechercher s'il est possible de déterminer la nature de la fonction et la forme de la surface de telle manière que les trajectoires du mobile soient des courbes constamment fermées.
Prenons pour axe des z l'axe de la surface. Désignons par r la distance d'un point quelconque à cet axe, et soit
réquation de la surface. La fonction des forces est, par hypothèse, une fonction de r que je désignerai par
Si (I) est l'angle que fait le plan méridien contei»ant le mobile avec uu méridien fixe pris pour origine, l'équation dilFérentielle de la
trajectoire sera, comme on sait,
(1 + ç") ^, = CV f{r) + *r* — r»;
C et h désignant deux constantes arbitraires.
Si la courbe est fermée, les valeurs de r seront comprises entre deux limites a p, et la trajectoire sera comprise tout entière entre les deux
dr
parallèles de rayon a et 0. Pour ces deux parallèles extrêmes, 3— doit
s^annuler, r étant maximum ou minimum. On a donc :
Ces équations permettent d'exprimer h et 0' en fonction de a et de ^. Si Ton pose :
réquation de la trajectoire devient :
^ * S-'rfo)* /(S) -/-(al
et l'on a par conséquent :
En employant le mode de raisonnement de la Note précédente, on reconnaît quMl est nécessaire et suffisant, pour que la courbe soit fermée, que Ton ait :
[k étant un nombre commensurable constant. Ainsi il y a à déterminer les deux fonctions arbitraires f{r), ^(r) de manière à satisfaire à régalite précédente. Dans le problème traité par M. Bertrand, il y avait au contraire une seule fonction inconnue.
Je conmiencerai par réserver le cas où Ton suppose la fonction f(r) constante, ce qui revient à chercher les surfaces de révolution pour lesquelles les lignées géodésiques sont fermées. Alors on pourra effectuer le changement de notations suivant.
Posons :
L'équation (3) se transformera dans la suivante :
r-"» |/F (x) Vx, — a?o dx
/la? 1 xs{x y I a?, 1 CT (a?,
= |Ar,
Supposons x^ et x^ peu différents et posons :
x^:=za — e, a?, = a -I- e, X •=za + tu.
On tfura, en développant suivant les puissances de s :
= 6« (1 — tt») j cj' 4- j ew
tt') -i- ... 1;
cj', 0*^, u'^ désignant les valeurs de ces fonctions pour x:=a. On déduit de Téquation précédente :
J/A Ka' (l — »') e
— el* —
en négligeant seulement dans la parenthèse les termes en e*. On a do même :
Ces rormules permettent de développer Q suivant les puissances de e. On obtient d'abord sans aucune difficulté le premier terme de Q.
./2FÛ) p' dH i/fFj^ Cette valeur de û devant être égale à [xr, on aura :
o'(a) eu, en remplaçant a par x :
Tout se réduit donc à la détermination de la seule fonction C7(^). Pour Tobtenir nous allons compléter le développement de Û. On aura, en tenant compte des formules (6), (7) et (8) :
