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En effectuant les quadratures, on trouve :

les termes négligés contenant tous £^ en facteur. Û devant être égal à {/.x, il faut que le coefficient de toutes les puissances de s, et en particulier celui de t*, soient nuls, ce qui donne Téquation ;

(9) 3.ycj'^'-4CT"'«=:0,

qui fera connaître la fonction nï(j?).

Cette équation différentielle admet deux solutions d^espécé différ rente. La première s^obtient en supposant ts'(w) constante. On a ainsi :

(10) vs{ai) = Aoî* + Ba? 4- C;

A) B, C désignant trois constantes.

Toutes les autres solutions sont comprises dans la formule :

(11) xs (d?) = 4- Bo? 4- C,

oii Ay By C, K désignent quatre constantes.

Il est aisé de voir d^ailleurs que ces formes différentes de la fonction zs(x) sont toutes acceptables. Car si Ton remplace dans l'équation (5) F (a?) par sa valeur :

et si Ton adopte l'une quelconque des valeurs de t3{x) données par les formules (10) ou (11), on trouve pour toutes les valeurs de x^^ x^ :

n nous reste à discuter les solutions du problème que nous venons d'obtenir, à reconnaître la nature des surfaces qui leur correspondent ainsi que celle des forces qui agissent dans chaque cas sur le mobile. Bappelons d'abord les notations adoptées.

Nous avons posé :

(13) fir) = x;

X est donc la fonction des forces et l'on pourra sans inconvénient lui ajouter ou lui retrancher une constante. Nous avons d'ailleurs :

et en résolvant cette équation par rapport à x^ nous aurons la fonction des forces exprimée au moyen de r. Enfin, d'après la définition de F(â?), nous pouvons écrire :

LjLL. — F (^) — !L çj» (j,)

QU encore :