CT

L*équation (16) fera connaître, par une quadrature, la coordonnée s en fonction de x.

L'élément linéaire de la surface de révolution qui est en général donné par la formule

(f*» z= (1 -f- o") rfr' + r' rfto*

aura ici pour expression :

(17) ^,» = ^; !zif?> rf... + i^ .

^ ^ 2 CJ* (i?) CT (^)

Nous avons établi cette dernière formule pour en déduire une conséquence intéressante.

Les deux valeurs de xs{x) que nous avons trouvées, jouissent de la propriété de pouvoir être multipliées par une constante quelconque sans cesser de convenir au problème. Après avoir trouvé une solution correspondante à des valeurs données de {jl et de xs[x)^ considérons celle qui correspond aux valeurs <x\h et a' ci (a;), a désignant une constante qui sera nécessairement commensurable. L^élément linéaire de la surface correspondante à cette nouvelle solution sera donné, d'après la formule (17), par la formulé

(18) ,,^ = %%^ dx^ ^ 4^.

^ ^ 2 tj' (a?) a» CT ix)

et on aura :

-, = a*cy {x).

Si donc on fait correspondre à un point (r, od) de la première surface le point (r,, cOi) de la seconde, défini par les équations :

(19) r, = -> oDj = ao),

les arcs de deux courbes correspondantes quelconques tracées sur X^^

deux surfaces seront égaux; en d'autres termes les deux surfaces seront applicables l'une sur l'autre.

Ce résultat pouvait se prévoir à priori; car on sait par les formules de Lagrange que les équations du mouvement d'un point sur une surface quelconque demeurent les mêmes quand on déforme la surface en conservant à la fonction des forces la même expression en fonction des coordonnées curvilignes du point de la surface. Or étant donnée une surface de révolution, on peut toujours trouver une autre surface de révolution qui sera applicable sur cette surface, les coordonnées r et (0 de deux points correspondants sur les deux surfaces étant liées par les formules (19). Si Q et 0, désignent les valeurs de Tangle Q que nous avons calculé, relatives à ces deux surfaces, on aura :

Û, = aÛ.

Si donc la première surface donne une solution de notre problème, il en sera de même de la seconde pourvu que cl soit commensurable.

Il suit de cette remarque que si, comme il est naturel, on considère comme ne fournissant qu'une seule solution toutes les surfaces qui sont applicables les unes sur les autres, on pourra, dans chaque cas particulier, donner à |jt. telle valeur que Ton voudra.

Appliquons d'abord nos formules à la première solution, celle pour laquelle on a :

xs (x) = Aa?* -H Ba? -H C,

et par conséquent :

Comme F{x) ne peut être nulle, A sera nécessairement différent de zéro. En utilisant la remarque déjà faite d'après laquelle on peut ajouter à X une constante quelconque, nous pourrons faire disparaître le terme en x; et en changeant les notations, nous écrirons :

cj(i;) =

ce qui donne :

De réquation (15) on tire :

A — Or»

Commençons par supposer [jl = 1, nous aurons :

ou^ en intégrant,

c'est a dire

?'=Vrirc?'

La surface est donc une sphère.

Quant à la force, on peut en donner différentes expressions (*). Voici la plus élégante. En vertu de Téquation de la surface, la fonction des forces peut s'écrire :

et en differentiant cette expression, on obtiendra les deux composantes de la force : Tune, R, dirigée suivant le prolongement du rayon du

(1) Oa sait en effet que, ddos le mouvement d'un point sur une surface, la loi du mouvement ne dépend que do la composante tangcntielle de la forc^, la composante nornaale n'intervenant que dans le calcul de la pression du point sur la surface. Dans le problème qui nous occupe, on pourra donc supposer û la force telle direction que l'on voudra. pourvu qu'elle soit normale au rayon du parallèle. Si par exemple la fonction des forces est exprimée au moyen du rayon vecteur pur la formule f{r), la dérivée r (f) donnera la fçrandour de la force supposée dirigée suivant le prolongement du rayon du parallèle Mais on i)eut, au moyen de l'équation de la surface, exprimer la fonction dos forces au moyeu de t par la formule \{z); et alors la dérivée \'[t) définira la force, qui sera supposée dans ce cas parallèle à l'axe de la surface. Si 1 on exprime de même la fonction

des forces au moyen do - par la formule 0 ("). los deux composantes

î>« Dr

définiront une force toujours normale au parallèle, mais dirigée cçttç fois dans le plaq tangent a la surface.

parallèle, Tautre, Z, parallèle à Taxe des z. On trouve ainsi :

Ces expressions nous montrent: 1^ que la force est tangente au méridien; 2° qu'elle est en raison inverse du carré de r, c'est à dire du carré du sinus de Tare de cercle compris entre le point attiré et le pôle. L'analogie avec la loi de Newton est évidente.

On sait en effet qu'avec cette nature de forces la trajectoire sera une conique sphérique dont le pôle sera un des foyers (*).

On peut ramener, nous l'avons vu, au cas précédent tous ceux pour lesquels ;/. ne sera pas égal à l'unité ; car ils donneront des surfaces applicables sur la sphère. Mais il nous reste à traiter le cas ou C = 0> qui est exclu par l'analyse précédente.

On a alors :

iPz= -, 1 -f- a'* = u},

Supposons d'abord [jl = 1, on aura :

ç' = 0, z=: const.

C^est le cas où le mouvement a lieu dans un plan et ou la force, dirigée vers un point fixe, est en raison inverse du carré de la distance à ce point fixe.

Si [1. était quelconque, on aurait :

Cette équation convient à un cône de révolution qui est, comme il fallait s'y attendre, applicable sur le plan; la fofce est une attraction dirigée vers le sommet du cône et en raison inverse du carré de la distance.

Examinons maintenant la seconde hypothèse, celle pour laquelle on a

Ts Ix) ±z -{- Bx + C,

(') Paul Serret, — Théorie géométrique et m^canfpie des h'çnes à double cottr bure, p. CO4

expression qu'on peut toujours ramener à la forme

CT (a?) = - + Ba? 4- C,

en changeant a; en ^ + K. On aura ici :

(21) ^ = :^ + Baî + C,

A (A -h Bx* 4- Gx) — (A — Bx*y

4a? (A H- Ba?' -+■ Cxy

Il faudra effectuer la quadrature qui donne z^ et Ton aura ainsi les expressions de ^ et de r en fonction de x. Pour obtenir la fonction des forces, on exprimera x en fonction de r en résolvant Téquation (21). Les résultats sont, on le voit, assez compliqués.

Traitons d'abord le cas où Ton a

et prenons 2[jt.=: 1. Nous pouvons, d'après la remarque faîte plus

haut, nous borner à considérer cette valeur particulière de (ji. On a

alors :

et par conséquent :

/ p~ A -H Ca?

Ainsi la surface correspondante à ces hypothèses est encore une sphère. La fonction des forces peut s'exprimer, en fonction de r et de ^, par la formule homogène :

Sous cette forme elle donne naissance aux deux composantes :

2A r „ 2Ar«

La résultante de ces deax forces est encore dirigée suivant la tangente au méridien ; sa grandeur est donnée par la formule :

2A r 2A sinO

c Vg ^* ^ ^°®* ^ '

0 désignant la distance du mobile au pôle.

Dans cette loi de la force, on obtient en effet comme trajectoire une conique sphérique ayant le pôle pour centre {}),

Si B et C sont nuls en même temps et si Ton prend encore 2[ji. = l, on trouvera :

eî« = 0, z =. const.

La surface se réduit à un plan et la fonction des forces est alors

X = Ar',

c^est le cas où il j a une attraction proportionnelle à la distance.

Si |ji était quelconque, on obtiendrait un cône de révolution ; la force serait une attraction émanant du sommet et proportionnelle à la distance.

Je laisserai de côté la discussion, nécessairement plus compliquée, du cas où A, B, C sont quelconques.

Dans ce qui précède, nous avons pris d*abord le rayon r du parallèle comme une variable indépendante. Mais il n^arrive pas toujours que, sur une surface de révolution, cette variable puisse prendre toutes les valeurs possibles. Par exemple, dans la sphère, le rayon du parallèle doit être inférieur à celui de la sphère; par conséquent, si la trajectoire du mobile est située dans les deux hémisphères, le rayon r du parallèle pourra croître d*une limite inférieure a à R, R désignant le rayon de

(I; Voir Paul Sbrbet, ouvrage ci lé, p. SOS.

478 COURS DE MÉGANIQUE.

la sphère, puis décroître de R à une autre limite. Or les intégrations que nous avons faites pour obtenir Q supposent que r soit réellement indépendante et ne s'appliquent pas à cette hypothèse. La méthode que nous avons suivie est donc sujette à une objection qu^il est d^ailleura facile de lever, au moins dans un cas très étendu.

En effet si la trajectoire est toujours fermée, comme nous le supposons, on pourra déterminer les constantes C et A qui figurent dans

, dr

l'équation (1) de telle manière que — s'annule pour deux valeurs a

et 0 aussi rapprochées qu'on le voudra, pourvu toutefois que la fonction des forces satisfasse à une condition qui est évidente à priori. On aura en effet, d'après les formules données a l'article I :

Pour que la valeur de C soit positive, il est nécessaire que la fonction f(f) décroisse quand r croît. C'est à dire que la force puisse se représenter par une attraction dirigée vers l'axe. Ainsi :

Toutes les fois que la force à laquelle le mobile est soumis pourra être considérée, dans une région de la surface, comme une attraction dirigée vers l'axe de la surface, on pourra faire en sorte que la trajectoire du mobile soit placée entre deux parallèles aussi rapprochés qu'on le voudra; et l'on pourra par conséquent choisir ces parallèles de telle manière qu'ils ne comprennent pas dans leur intervalle un parallèle de rayon maximum ou de rayon minimum.

Alors notre méthode deviendra applicable et elle nous fera connaître la loi de la force et la forme de la surface. Il y aura lieu cependant, dans chaque cas particulier, de faire une discussion relative aux trajectoires qui traverseraient un parallèle de rayon maximum ou minimum, ou qui rencontreraient les cercles-limites de la surface. Nous allons voir précisément que cet examen des parallèles de rayon maximum ou minimum joue un rôle prépondérant dans la discussion du cas particulier de notre problème que nous avons réservé, celui oii l'on cherche les surfaces* de révolution dont toutes les lignes géodésiques sont fermées. Nous allons maintenant étudier d'une manière

détaillée ce cas particulier auquel ne s^applique pas la méthode précédente (*)•

Considérons une surface de révolution et une ligne géodésique quelconque tracée sur cette surface. Uéquation différentielle de cette ligne s^obtient en remplaçant dans Téquation (1) f{r) par 0, ce qui donne :

(23) (1 + ç'.) £^ = kr^ - r».

Si i désigne Tangle que fait en un point quelconque la ligne géodésique avec le parallèle qui passe en ce point, Téquation différentielle précédente peut aussi s'écrire

r cos i = a,

a désignant — = • Partons du parallèle de rayon a ; la ligne géodésique

lui est tangente et elle se dirige du côté où le rayon du parallèle augmente. Si ce rayon croît toujours, la ligne géodésique s'éloignera indéfiniment en coupant les parallèles sous un angle qui s'approchera de plus en plus d'être droit. Si la surface n'avait pas de parallèle de rayon égal à a, on partirait d'un parallèle quelconque et l'on obtiendrait les mêmes conclusions.

Supposons au contraire qu'il y ait un parallèle maximum, de rayon R, que j'appellerai un équateur. Si nous prenons a un peu inférieur à K, il y aura deux parallèles de rayon a, voisins Tun de l'autre, l'un au-dessus, l'autre au-dessous de Féquateur; la ligne géodésique définie par l'équation

r cos » = a

sera comprise entre ces deux parallèles et par conséquent sera, dans tout son parcours, à distance finie. Je vais chercher la condition pour qu'une telle ligne soit toujours fermée.

(') Oo voit que nous laissons entiéroment de côté le cas où la fonction f(r) serait coastamment croissante, où la force serait une répulsion pour toutes les valeurs de r. Nous laissons au lecteur le soin d'appliquer à relte bypotbôsu la méthode que nous alloua développer relativement aux lignes géodôsiques.

On déduit de Téquation (23), en remplaçant h par — et intégrant:

Kl -h 9'» dr

L*équation de la surface est, comme on sait :

Si nous désignons par u, Tangle dont le plan méridien passant par le mobile aura tourné, quand on arrivera sur I*équateur, on aura évidemment :

»l/l-f-9'» dr

Le mobile, après avoir décrit cette portion de la ligne geodésique que nous supposerons placée dans la région de la surface inférieure à réquateur, passera dans la région supérieure ; et si Téquation de cette nouvelle région est :

Pangle o), dont le plan méridien aura tourné quand le point décrivant aura passé de Téquateur au parallèle supérieur de rayon a, sera donné de même par la formule :

p |/l + ({;'» dr

L'angle total dont le plan méridien aura tourné dans le passage da parallèle inférieur de rayon a au parallèle supérieur de même rayon sera donc :

(24) Û = 0), 4- 0). = / ^ -t-K ijt-V ^^^

et pour que la ligne géodésique soit fermée, il faudra que Ton ait :

\k étant un nombre commensurable constant.

Il suflSt d^un peu d*attention pour reconnaître que Tintégrale û est, aux notations près, celle qifon rencontre dans la recherche des courbes tautochrones pour un point matériel pesant; et Ton est ainsi conduit k la solution du problème donnée par la formule :

4 {xR

(26) I/l-h 9" 4- Kl -*-({;'• =

On voit que Ton pourra choisir arbitrairement Tune des fonctions 9 ou à ; Pautre sera déterminée par une quadrature.

Traitons le cas ou la surface est symétrique par rapport à Téquateur. On aura alors :

et réquation précédente deviendra :

(27) Kl + 9" =

KR* — r«

Étudions d^abord le cas où Ton a :

On trouvera en intégrant :

(p = KR* — r\ z^ -H r* = R'.

C^est réquation de la sphère.

Nous avons vu d^ailleurs que lorsqu'on donne à [jl des valeurs quelconques, on ne peut obtenir que des surfaces applicables sur celles qui correspondent à une valeur déterminée, particulière, de [jl. En utilisant cette remarque, développée a l'article I, nous obtenons le théorème suivant :

Lti seules sur/aces de révolution ayant leurs lignes géoiésiques fermées et admettant de plus un de leurs parallèles pour plan de symétrie sont la sphère

Despeyrous. — Mécanique. IL 31

482 COURS DE MÉGANIQUE.

et certaines sur/àces applicables stêr la sphère ass^etties à la eotêditiaM suivante :

Dans deux sur/aces de réoolnlion applicables l'une sur Vautre, deux parallèles correspondants ont toujours leurs rayons dans un rapport amsUmt; ici ce rapport constant devra déplus avoir une valeur commentwrable.

On sait que, parmi les surfaces de révolution applicables sur la sphère, les unes ont un point conique sur Taxe, les autres ne rencontrent pas Taxe. Pour les premières, toutes les lignes géodésiques seront fermées. Pour les autres, qui peuvent être assimilées à une zone linûtée par deux cercles de rebroussement, il faudra écarter les lignes geodésiqnes qui viennent frapper les cercles limites; toutes les autres seront fermées.

Parmi les surfaces de révolution dont les lignes géodésiques sont fermées, je signalerai les deux suivantes :

La première a son élément linéaire défini par la relation :

ds^ = /?f — A (df + p« rfO»),

ou 0 désigne Tangle du méridien passant par le point de la surface avec un méridien-origine et oii p est liée au rayon r du parallèle par la relation :

|x étant un nombre commensurable quelconque.

La deuxième surface serait, avec les mômes notations, définie par les relations :

( ds^ = (a« — p*) (tip« H- p* rfô*),

SUR UNE EXTENSION DU THÉORÈME D'IVORT RELATIF A L'ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES.

Je me propose de faire connaître ici une extension de la méthode dlvorj, d'où résulte un théorème nouveau, relatif à Tattraction des ellipsoïdes. J*ai déjà donné cette proposition dans une étude sur les tkéorèmes cTlvorp et de Jacobl, relatifi aux sur/aces àomq/bcales du second degré qui a paru dans les Mémoires de la Société des Sciences physiques il naturelles de B rdeaux (t. VIIÎ, 1870, p. 253).

Considérons un ellipsoïde homogène (G) défini par Téquation :

et cherchons Taction qu'il exerce sur un point matériel M de coordonnées «, p, Y, en supposant la loi de Tattraction représentée par la fonction ^'(r). On a vu dans le texte que si Ton désigne par «, et u^ les distances, au point M, des doux points de Tellipsoïde qui se projettent sur le point de coordonnées y, z du plan des zyy on a, pour la composante A de ^attraction parallèle à 0^, Texpression

(2) A =jj[î (»,) - ? (tt,)J dy it.

Faisons correspondre à chaque point de Tellipsoîde le point (^, y;, X^ de la sphère de rayon 1,

défini par les formules :

L'équation (2) prendra la fonne :

A = *dfjf[î (».) - ? (».)] rf; dT„

et si Ton désigne par dz Telément de surface de la sphère, on recon naîtra aisément que cette intégrale peut être mise sous la forme :

(5) A = bcll(^ (u) ces (N, x) dz\

(N, 0^ désignant Tangle de la normale extérieure à la sphère avec la partie positive de Oj; et Tintégrale étant étendue à toute la surface de la sphère. Nous nous dispenserons d*écrire les expressions analogues que Ton aurait pour les composantes B, C. La valeur de u en fonction des coordonnées ^, y;, C ^^^ donnée par la formule :

(6) «* = («; - a)' + (Jïi - 0)' + (c; - i)\

Cela posé, considérons un autre ellipsoïde (G') défini par Téquation :

et un autre point M' de coordonnées a', P', y'. Cherchons Taction exercée par cet ellipsoïde sur le point M' suivant une loi d'attraction représentée par la fonction ({;' (r). La composante A' analogue à A sera donnée par la formule :

(8) A' = h' c' Cl 6 (%') cos (N, x) dz,

analogue a la formule (5), et où l'on aura :

Cela posé, s'il est possible de déterminer les constantes a', h\ c', 3t'> ?» y' et la forme de la fonction 'i^ de telle manière que l'on ait,

pour toutes les valeurs de ç, y), 2^ se rapportant aux différents points de la splière :

on en déduira :

*' c' ^1 ^ «' ^' /M .>. «' ^' de ac ab

et la recherche de Tattraction de Pellipsoïde (G) avec la loi d'attraction ç' (r) sera ramenée à celle de Tellipsoïde (G') avec la loi différente (|;' (r). Examinons par conséquent s^il est possible de vérifier Téquation (10) pour toutes les valeurs de §, y], ^ qui satisfont à Téquation (3), c'est à dire qui sont les coordonnées d'un point de la sphère de rajon 1.

Si réquation (10) a lieu identiquement, Téquation u = const. entraînera la suivante :

vl ■=. const.,

et par conséquent les deux ellipsoïdes représentés parles équations :

où c' est une fonction convenablement choisie de r, devront se couper suivant une courbe située sur la sphère de rayon 1. Il faut comme on sait, pour qu'il en soit ainsi, que Ton ait :

pour toutes les valeurs possibles de Ç, r^, X^^ les constantes h et X étant convenablement choisies. Si l'on remplace t»', tt'* par leurs valeurs et si l'on désigne, pour abréger, par — k^ la constante c' — Ac'*, on aura l'équation :

qui devra être vérifiée identiquement. On reconnaîtra aisément qu'en remplaçant l'ellipsoïde (G') et le point M' par un système semblable, on peut réduire h à l'unité, positive ou négative. Supposons /^ = 1 ;

les équations dMdentification dans cette hypothèse deviendront :

a* — a'* = X, aa = a* a',

c* — (?'* = A, cy = c' y\ a« 4- &• 4- Y« — a'* — ?'* — y" = — i» — X.

On déduit de là :

aa,

= Ka' — X, a! =

à' = Vi* — X, P' =

Ka'-X

Supposons donnés «, 0, y> ^' ^> ^> ^' ^^ dernière équation foarnirm toujours une valeur de X, qui sera réelle et inférieure à e^. Par suite, a'» ^'> t'i ^'i ^'> ^ seront réels et il j aura un ellipsoïde (G') déterminé par la formule (7). Cet ellipsoïde sera d'ailleurs homofocml à Tellipsoïde donné (G).

On a ici :

w« = u'» — >t«, w'* = i*«4->tS et par conséquent :

On voit donc que :

Si Von sait trouver Vattraction d'un ellipsoïde homogène quelconque avec la loi d'attraction exprimée par la formule

on saura également trouver Vatt'action dans le cas oU la loi sérail refré"

senUe par la/ormule :

>l diiignwt n/M constante arbitraire.

Par exemple, pour la loi de la natare, on a :

Le théorème précédent permettra de trouver Tattraction avec la loi exprimée par la fonction

Si Ton développe cette fonction suivant les puissances entières et positives de i, les coefficients contiendront toutes les puissances paires et négatives de r. En opérant de même sur les trois composantes de Fattraction, on déterminera évidemment l'attraction de Tellipsoïde, dans le cas ou la loi d'attraction est représentée par une puissance entière paire et négative quelconque de r.

Si Ton développait suivant les puissances négatives de >t', on trouverait de même l'attraction de rellipsoïde, quand la loi est représentée par une puissance entière impaire et positive quelconque de la distance.

480 COURS DE MÉGANIQUE.

les équations dMdentification dans cette hypothèse deviendront

c' — c" = A, cy = c'y', a* + P« + y' — a'* — ?" — y" = — i' — X.

Oq déduit de là :

aa,

= Ka« — X, a' =

Supposons donnés a, g, y> ^' ^> ^» ^' ^^ dernière éqaation fournira toujours une valeur de X, qui sera réelle et inférieure a e*. Par suite, «'> ?'> ï'> ^'i ^'i ^' seront réels et il y aura un ellipsoïde (G') déterminé par la formule (7). Cet ellipsoïde sera d'ailleurs homofocml à Tellipsoïde donné (G).

Dû a ici :

u* = u" — k\ u'^ = u^ + Jt\ et par conséquent :

On voit donc que:

Si l'on sait trouver raUraction d*un ellipsoïde homoçène quelconque avec la loi d'attraction exprimée par la/ommle

on saura également trouver l'att'action dans le cas oU la hi serait repré-

senUe par la/ormule :

4*' (Kr* + aO

>l déiiçnant une constante arbitraire.

Par exemple, pour la loi de la nature, ou a :

Le théorème précédent permettra de trouver Tattraction avec la loi exprimée par la fonction

Si Ton développe cette fonction suivant les puissances entières et positives de i, les coefficients contiendront toutes les puissances paires et négatives de r. En opérant de même sur les trois composantes de Fattraction, on déterminera évidemment l'attraction de Tellipsoïde, dans le cas où la loi d'attraction est représentée par une puissance entière paire et négative quelconque de r.

Si Ton développait suivant les puissances négatives de k*^ on trouverait de même Tattraction de Pellipsoïde, quand la loi est représentée par une puissance entière impaire et positive quelconque de la distance.

SUR L'HERPOLHODIE ET SUR QUELQUES PROPOSITIONS RELATIVES A LA THÉORIE DE POINSOT.

On a vu dans le texte Texposition des résaltats de Poinsot, relatifs à la rotation autour d^un point fixe d'un corps solide qui n'est soumis à Faction d'aucune force accélératrice. Le mouvement peut Stre représenté géométriquement de la manière la plus claire par le roulement d'un ellipsoïde (E), ayant pour centre le point fixe, sur un plan fixe (P) ; la grandeur de la rotation étant à chaque instant proportionnelle au rayon vecteur qui va du centre de l'ellipsoïde au point de contact de cet ellipsoïde et du plan. Nous nous proposons d'abord de donner quelques développements relatifs à cette belle théorie de Poinsot.

Soit :

réquation de Tellipsoïde d'inertie. Les équations d'Euler prendront ici la forme :

l d-p a {c — b) [ dt bc ^ '

de ac

dt ab

et admettront les deux intégrales :

Si Ton désigne par x^ y, z les coordonnées du pôle» c^est à dire du point oh Taxe de rotation perce Tellipsoïde (E), on aura éyidemment :

et par conséquent :

La polhodie, ou route du pôle dans le corps, sera donc définie par les équations :

que Ton obtient en remplaçant dans les formules (3) p^ q^ r par leurs expressions en fonction de x, y, z. Les équations (3) ou (5) expriment, comme on sait, que le plan tangent à Tellipsoïde (E), en un point

quelconque de la polhodie, est à une distance constante, -—9 du centre

de Tellipsoïde (E). Si Ton forme une combinaison homogène des équations (5), on trouvera la relation :

qui représente évidemment le cône, lieu de Taxe instantané dans le corps.

Soit M un points quelconque de relUpsoïde; on a vu que le plan

taDgent en M, mobile dans le corps, est fixe dans Tespace. Proposonsnous de définir la courbe décrite par le point M sur ce plan fixe et la manière dont elle est parcourue. Poinsot lui a donné le nom d*AerpolAodie ou route serpentante du pôle.

Pour cela nous abaisserons du centre 0 de Tellipsoîde une perpendiculaire sur le plan (P), tangent en M et, en désignant par I le pied de cette perpendiculaire, nous rapporterons Pherpolbodie k un système de coordonnées polaires ayant pour pôle le point I. On a évideounent, dans le triangle rectangle 01 M :

01 = --• IM = V'OM* — Ol'»

ou en désignant par p le rayon vecteur IM :

En remplaçant x, y, z en fonction des rotations et désignant par u la grandeur de la rotation totale, on trouvera :

On sait comment on définit o) en fonction du temps. Si Ton ajoute aux équations (3) la relation

G)* = p' 4- î?* + r', on peut exprimer p, q^ r en fonction de o), par les formules :

<:^ (a — ft) (a — c) = G)' — (* 4- c) * -*- bcl^,

(8) ï; (ô — a) (* — c) = 0)' — (a 4- c) * -*- acZ*,

- (c — a) (c — ^) = w* — (a 4- ^) A + abl^.

On a d'ailleurs :

(f(i) dp dq dr (a — b) (b •— c) (e — à)

dt di d( d( (^bç '^'^

NOTE XVU. 491

Il suffira de remplacer^, (^, rpar leurs valeurs, pour retrouver la formule :

donnée» à la page 236; elle fait connaître (o et par conséquent p en fonction du temps.

Pour définir rherpolhodie, Poinsot a employé une méthode ingénieuse : Comme le cdnè, lieu de Taxe instantané dans le corps, roule sur le cône ayant pour base Therpolhodie, les arcs correspondants décrits par le pôle, sur la polhodie et sur rherpolhodie, seront nécessairement égaux. Or, on peut évidemment exprimer la différentielle de Tare de la polhodie, et Ton obtiendra un résultat de la forme

ds=¥ (w) d(ùy

ou, en exprimant o) en fonction de p, au moyen de la formule (7) :

ds = Fj (p) dp.

Par suite de la propriété signalée par Poinsot, cette équation convient également à Therpolbodie et suffit évidemment à la définir. Nous nous contenterons d'indiquer cette méthode, quMl nous paraît préférable de remplacer par la suivante :

Puisque le cône, lieu de Taxe instantané dans le corps, roule sur le cône fixe ayant pour base Pherpolhodie, les aires décrites sur ces deux cônes par le rayon vecteur OM dans le mâme temps seront égales.

Par conséquent, si Ton considère Paire infiniment petite décrite dans^le corps par le rayon vecteur OM, pendant le temps dt^ et si on la projette sur le plan tangent en M, on aura Taire décrite dans le même temps dû par le rayon vecteur p, aire dont Texpression est, comme on sait :

0 désignant Tangle polaire relatif à Therpolhodie. L'aire dZ décrite par le rayon vecteur OM a évidemment pour

projections sur les trois plans principaux :

d^y =z -{$ dx — X dz)f dZz =z --{xdy — y dx).

En remplaçant x^ y, t par leurs valeurs tirées des formules (4), et tenant compte des relations (3), on trouve pour ces projections les valei^rs

^ (A — a/«) dt, ^4^ (h— àl^) dt, —(h — cl*) dt. ah ^ ^ bh ^ ^ eh ^ '

D^autre part, les cosinus directeurs de la normale au plan tangent en M sont :

VÎT — T> — y — •

al bl cl

On aura donc, pour la projection de dZ sur le plan tangent, Texpression :

(10) 5 p' rfe = dl, \ + (fZ, f -H dZ, -, ^ ^ 2 ^ al bc cl

Or, si dans les formules (8) on remplace o)* par son expression en fonction de p', on a

-{e — a)(c — b)z= Ap' + ' '-j^ i .

Portant oes valeurs dey', j', r' dans la fprnjule (10) oi» trouve, par

un calcul très facile :

Si Ton ajoute à cette équation celle qu'on déduit de Téquation (7), en y remplaçant o)' par son expression en fonction de p :

on obtient un système de deux équations qui définissent à la fois rherpolhodie et le mouvement du pôle sur cette courbe. Ces deux équations appartiennent à la forme générale :

P jf = * ^^- F (P*),

ou m, ff, A sont trois constantes et oii F (a?) désigne un polynôme du troisième degré commençant par le terme x*. Nous allons voir que, réciproquement, tout système de la forme (13) définit une herpolhodie, pourvu toutefois que » ait une valeur déterminée et qu*on étende la théorie de Poinsot au cas où les constantes 4, ^, c^ qui figurent dans les formules d*£uler, ne sont plus assujetties à des relations d'inégalité et peuvent même prendre toutes les valeurs réelles.

En effet, désignons par a, % y les racines du polynôme F (a;). L'identification du système (13) aux formules (11) et (12), nous donne les relations :

A ^(&^a/')(A-d/>)(A--cO

Ces six équations ne contiennent que cinq inconnues; elles ne pourront donc être vérifiées que s'il existe un certaine relation entre

kf m, ff, a, P, Y' C^^^te relation se trouve d^aillears immédiatement,

elle est :

aPY=-j^-

On peut récrire :

et Ton trouye alors :

I « w« • fnr mn mr mn

Les formules (13) ne peuvent évidemment définir une courbe réelle que si F{x) est négative pour certaines valeurs positives de jr, et d'autre part Téquation de condition (15) nous montre que la même fonction sera positive pour ^ = 0. Il résulte de là que le polynôme F {x) aura nécessairement trois racines réelles, dont deux positives. Les valeurs de a, 6, c seront donc réelles ; mais elles ne seront pas nécessairement positives et, si elles sont positives, elles ne satisferont pas nécessairement aux relations d'inégalité qui caractérisent rellipsoldo d*inertie. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Les équations :

p^ = iK-F(p«).

àk F{x) désigne un polynôme du troisième degré, pour lequel le coejlcieni de X* est égal à 4, définissent, pourvu que Von ait :

(18) n=±>lI/F(0),

l'Aerpolhodle correspondante au mouvement de Poinsot, ou à ce mouvement dans lequel VelUpsoïde d'inertie serait remplacé par une surface à centre quelconque du second degré.

Nous verrons qu'il y a utilité à introduire dans la théorie la considération d3 ces mouvements plus généraux.

On peut présenter sous un autre point de vue la définition de

ds rherpolhodie. Si Ton cherche la vitesse du pôle y? les équations (17)

nous donnent :

L*équation (18) exprime la condition nécessaire et suffisante pour que le second membre soit divisible par p*, c^est à dire pour que la vitesse soit donnée par une équation de la forme :

(20) «•= - A*p^ + Mp« -i-N.

On obtient donc cette nouvelle définition de la trajectoire du pôle : rherpolhodie est une courbe parcourue par un point dont la vitesse

areolaire p' -— est à chaque instant une fonction linéaire du carré du dt

rayon vecteur, la vitesse totale étant une/onction bicarrée du mime rayon,

dans laquelle le coefflcient de p^ est négatif.

Nous indiquerons, en terminant cet article, la remarque suivante :

Les formules (11) et (12) qui déterminent Therpolhodie relative au mouvement défini par les formules (1), (2), (3), ne présentent que les constantes h et /, associées à des fonctions symétriques des axes. On pourra donc les écrire sans résoudre Téquation du troisième degré qui détermine les axes principaux de Tellipsoïde central. La détermination de p' ou, ce qui est la même chose, de o)' en fonction du temps, exigera donc Tinversion d^une intégrale elliptique; mais cette inversion une fois exécutée, la détermination des composantes de la rotation relatives aux axes quelconques auxquels est rapporté Tellipsolde central ne dépendra plus que d*un calcul algébrique.

On peut du reste diriger les calculs et représenter les équations de rherpolhodie sous une forme qui mettra complètement en évidence la propriété que nous venons de signaler.

Soit:

f{x) = (4? — a) (a? — b) (a? — c) = «* — Par* 4- Qâ? — R = 0, réquation qui détermine les carrés des axes de Tellipsoïde central.

On a d*abord :

D^autre part, on peut écrire :

et par conséquent :

Introduisons la variable auxiliaire :

un calcul facile nous donnera les équations :

qui définissent complètement rherpolhodie. On peut leur ajouter réquation :

qui fera connaître Parc de la courbe. Les valeurs que peut prendre la

variable u sont définies par la double condition de donner des valeurs

du réelles pour p et -r- ; c'est à dire de rendre positif:» les deux produits :

On déduit facilement de cette condition la règle suivante :

a, àf c désignant les carrés des axes rangés par ordre de grandeur,

NOTE xvir. 497

% doit varier dans celui des intervalles (a, à) (by c) qui ne contient

k pas-.

Les formules précédentes permettent de résoudre très aisément une question qui, dans ces derniers temps, a été Pobjet d*un assez grand nombre de travaux. La représentation de Poinsot, aussi bien que les formules, montre que riierpolhodie est comprise entre deux cercles ayant le pôle pour centre et qu^elle serpente de Pun k Tautre. PoinsoC paraît croire, comme Tindiquent les figures qui accompagnent sa Théorie nouoeUe de la Rotation d'un corps solide {Journal de Liouvills, V^ série, t. XVI), qu'au moins dans certains cas Therpolliodie a des points d'inflexion. La conclusion contraire a été établie en premier lieu par M. de Sparre {Comptes rendus, t. XCIX). Nous allons reprendre ici cette recherche en utilisant les formules démontrées à la fin de l'article précédent.

L'expression du rayon de courbure plane en coordonnées polaires est donnée par une formule que l'on peut écrire de la manière suivante :

—2dpds*

Cette forme se prête à un calcul facile, et les équations (21), (22) nous donnent :

Si l'on veut obtenir les points d'inflexion, il faut exprimer que le

rayon de courbure devient infini; et comme la variable u n'atteint

h jamais la valeur - > on a l'équation du premier degré :

Despeyrous. — Mécanique. II. 32

Si Ton ne voulait pas calculer le rayon de courbure, on obtiendrait immédiatement la valeur précédente de u en écrivant réquation -

qui fait connaître les points d'inflexion.

Il rest3 à reconnaître si la valeur de u définie par réquation précédente correspond à des points réels. Pour cela, il faudra, diaprés la règle donnée à la fin de Tarticle précédent, qu^en rangeant les cinq

quantités a, 6, c, — * ^ par ordre de grandeur croissante, on trouve

Tune ou Tautre des deux suites :

Considérons par exemple le cas où la surface qui roule est un ellipsoïde. Les relations d'inégalité qui caractérisent rellipsoïde d'inertie peuvent s'écrire :

Donc, therpolhodie correspondante au mouvement d*un corps solide n'a jamais de point d'inflexion.

Mais quand la surface qui roule est un ellipsoïde qui ne satisfait

pas aux conditions précédentes, on a toujours — < ^, — < a et

les herpolhodies pour lesquelles la constante - est supérieure à b

présentent nécessairement des inflexions. Des distinctions analogues se présentent pour les hyperboloïdes ; nous ne nous j arrêterons pas. On peut encore se demander s'il existe des herpolhodies pour

lesquelles la vitesse angulaire -- du rayon vecteur peut changer de

Cv V

signe, en sorte que le rayon vecteur, au lieu de progresser toujours

dans le même sens, ait un mouvement oscillatoire. L^expression de -j-

donnée par la première des formules (21) nous montre que cette circonstance se présentera toutes les fois que u pourra prendre la valeur 0 ; ce qui aura lieu, d'après la règle donnée à l'article précédent, si les deux produits :

sont positifs. Le premier ne pourra Têtre que si la surface est un hyperboioîde à une nappe ; et la valeur du second nous montre alors

que la constante | devra être comprise entre les carrés a et » des axes

réels de la surface, c'est à dire que la polhodie devra être tracée autour de Taxe réel majeur.

Il est aisé de confirmer ce résultat par quelques considérations géométriques. Pour que le rayon vecteur ait un mouvement oscillatoire, il faut évidemment que Tangle de la tangente et du rayon vecteur puisse s'annuler ou devenir égal à t.. Or, dans Therpolbodie le rayon vecteur et la tangente sont deux tangentes conjuguées de la sur/ace qui rouk. Elles ne pourront donc se confondre que si les courbures de la suriface sont opposées, c^est à dire si la surface est réglée.

Le mouvement du corps est maintenant complètement défini. On connaît le cône lieu de Taxe instantané dans le corps. Ce cône (G) est du second degré et a pour base la polhodie. On connaît aussi le cône (H) ; il est transcendant et a pour base Therpolbodie. Il suffira de faire rouler le premier cône sur le second avec une vitesse de rotation :

(D =z [//t. ÔM,

constamment proportionnelle à OM.

On a fait à cette solution de Poinsot un reproche qui, au premier abord, paraît fondé. On objecte qu'elle ne représente pas le temps; et il est certain que si on avait réalisé matériellement les deux cônes

Si Ton no voulait pas calculer le rayon de courbure, on obtiendrait immédiatement la valeur précédente de u en écrivant Téquation *

qui fait connaître les points d'inflexion.

Il rest3 à reconnaître si la valeur de u définie par Téquation précédente correspond à des points réels. Pour cela, il faudra, diaprés la règle donnée à la fia de Tarticle précédent, qu^en rangeant les cinq

2R h quantités a, ^, (?, — » - par ordre de grandeur croissante, on trouve

Tune ou Tautre des deux suites :

Considérons par exemple le cas où la surface qui roule est un ellipsoïde. Les relations d'inégalité qui caractérisent Tellipsoîde d'inertie peuvent s'écrire :

Donc, therpolhodie correspondance au mouvement d*un corps solide n'a Jamais de point d'inJUxion,

Mais quand la surface qui roule est un ellipsoïde qui ne satisfait

pas aux conditions précédentes, on a toujours — < ^, — < a et

les lierpolhodies pour lesquelles la constante - est supérieure à b

présentent nécessairement des inflexions. Des distinctions analogues se présentent pour les hyperboloïdes ; nous ne nous y arrêterons pas. On peut encore se demander s'il existe des lierpolhodies pour

lesquelles la vitesse angulaire -— du rayon vecteur peut changer de

signe, en sorte que le rayon vecteur, au lieu de progresser toujours

dans le même sens, ait un mouvement oscillatoire. L^ozpression de -j-

sont positifs. Le premier ne pourra Têtre que si la surface est un

bjperboioïde à une nappe ; et la valeur du second nous montre alors

que la constante - devra être comprise entre les carrés a et ^ des axes

réels de la surface, c'est à dire que la polhodie devra être tracée autour de Taxe réel majeur.

Il est aisé de confirmer ce résultat par quelques considérations géométriques. Pour que le rayon vecteur ait un mouvement oscillatoire, il faut évidemment que Tangle de la tangente et du rayon vecteur puisse s'annuler ou devenir égal à t.. Or, dans rherpolhodie le rayon vecteur et la tangente sont deux tangentes conjuguées de la sur/ace qui roule. Elles ne pourront donc se confondre que si les courbures de la surface sont opposées, c^est à dire si la surface est réglée.

Le mouvement du corps est maintenant complètement défini. On connaît le cône lieu de l'axe instantané dans le corps. Ce cône (G) est du second degré et a pour base la polhodie. On connaît aussi le cône (H) ; il est transcendant et a pour base l'herpolhodie. Il suffira de faire rouler le premier cône sur le second avec une vitesse de rotation :