J/I OM

Si donc nous imprimons au plan (P') une rotation constante, ég^ale

h à I autour de 01, le mouvement de l'ellipsoïde par rapport au plan (P' ) t

devenu ainsi mobile se réduira à la seule -, rotation autour de OM'.

Par conséquent, si nous construisons le cône (C) lieu des diverses

positions qu'occupe la droite OM' dans Tellipsoïde, le mouvement

relatif de rellipsoîde par rapport au plan (P') se réduira au roulement

du cône (C) sur le plan (P'), la vitesse de roulement étant constamment

égale k V^h OM'. Ainsi :

Le mouvement du corps peut amsi se représenter par le roulement du cône (C) lieu de OM' sur le plan (P'), ce roulement s' effectuant avec la

vitesse OM' Vhy pendant que le plan tourne avec une vitesse constante -=

autour de sa normale 01.

C'est la seconde représentation do Poinsot. Pour la définir complètement il suffira évidemment de trouver le lieu des diverses positions du point M' par rapport à rellipsoïde.

Or le point M' est à Tintersection de la normale en M, définie par les équations :

i^vec le plan parallèle au plan tangent en M :

Xj? Yy Zz ^ abc

Ces équations combinées donnent pour les coordonnées j;', y', ^' du point M' les valeurs suivantes :

i al*

V' =zv — -T^

y=y-jp-'

cP — h

cl"

Tirons de ces équations les valeurs de x^ y, z^ et portons-les dans le système formé par Téquation (5)'' et la seconde des équations (5). Nous aurons ainsi les deux relations :

qui définissent complètement le lieu de M'. D*ailleurs OM' est évidemment égal au rayon vecteur IM de rhcrpolhodie, que nous avons désigné par p et Ton a :

oM'^=,'=j(o.'-[;).

On peut déterminer aussi la trace laissée par le point M' sur le plan tournant (P'). Si Ton désigne en effet par 6' l'angle polaire que fait OM' avec une droite fixe OU, entraînée dans le mouvement da plan (P')y on a évidemment, puisque OM' et IM sont parallèles :

db' = (^e —

dt;

0 désignant toujours Tangle polaire, relatif à Therpolbodie, qui figure dans la formule (11). Tirons de l'équation précédente la valeur de d^ et portons-la dans cette formule (11). Nous aurons :

p dn J-Ji — dt.

Cette relation, jointe a la formule (12), définit complètement la route tracée par le point M' sur le plan (P'). On voit que Vaire décrite par le rayon OM' est proportionnelle au temps.

Cette seconde représentation géométrique du mouvement étant bien

Tig. 275

comprise, considérons les deux cônes du second degré, (C) lien de G M, (C) lieu de OM', invariablement liés Tun à l'autre; et faisons rouler le cône (C), avec la vitesse requise, sur le cône fixe (H), ayant pour base l'herpolhodie. Le cône (C ) restera en contact avec le plan invariable (P' ); mais il aura un double mouvement : il roulera sur ce plan avec la vitesse Vh. OM', et il tournera en même temps autour de 01

avec la vitesse constante -• Rendons le plan (P') mobile autour

de 01 et imaginons en même temps une disposition, par exemple un engrenage ou un état rugueux des surfaces en contact, forçant le cône(C') à rouler sur le plan (P'). Alors, pendant le mouvement le plan (P') sera entraîné par le cône (C) et tournera autour de 01 avec

A la vitesse constante -• Par conséquent, si l'on considère une partie

quelconque du mouvement, Tangle dont ce plan aura tourné, muUiplié

par - > mesurera le temps qui s^est écoulé dans le passage de la à

position initiale à la position finale du corps. Inversement, si nous réalisons matériellement toute cette disposition ; le cône (H) fixe dans l'espace, les cônes (C) et (C) invariablement liés l'un à l'autre, le cône (0) assujetti à rouler sur (H), le plan (P') mobile autour de 01 et assujetti à rouler sur le cône (C); il suffira, comme il s'agit d'un

système à liaison complète, de faire tourner le plan (P') sur lui-même,

h avec la vitesse constante y» pour voir le cône (C) rouler sur (H) avec

la vitesse qui est exigée par la représentation de Poinsot. Ainsi, pour obtenir cette vitesse variable, il sufiira d'imprimer à un plan mobile autour d'un axe une vitesse constante de rotation.

Cette disposition, qu'un constructeur pourrait aisément réaliser, fournit l'interprétation complète des deux équations que nous avons données relativement à l'herpolhodie et qui contiennent le temps. Ce qui a motivé peut-être l'objection faite à la solution de Poinsot, c'est que cet illustre géomètre, après avoir obtenu par un procédé ingénieux la relation entre ô et p qui définit l'herpolhodie, s'est contenté d'indiquer, sans faire les calculs, un moyen de trouver l'autre équation, celle qui définit le mouvement du pôle sur la courbe.

Dans un Mémoire inséré aux Phihsophical Transactions (t. CLVI, 1866), On ihe Motion of a Rigid Boly acted on hy no external Forces, M. Sjlvester a démontré relativement à la représentation de Poinsot quelques propositions curieuses et qui la complètent de la manière la

plus heureuse. Nous allons exposer ces propositions en nous plaçant à un nouveau point de vue.

Nous commencerons par démontrer le théorème de géométrie suivant : Étant donnée unepolhodie (P), tracée sur un ellipsoïde ou sur toute autre surface à centre du second degré (E), si Fon porte des lonçueurs égales tur les normales à la sur/ace ayant leur pied sur la polkodU^ le lieu des extrémités de ces longueurs est une nouvelle polhodie (P,), tracée sur une nouvelle sur/ace (E,) homo/ocale à une surface homothétique de (E). De plus les normales à h sur/ace (E), aux diférents points de (P), sont aussi normales à la sur/Uce (E,), aux points correspondants de (P,) (*).

Si nous conservons les notations précédentes, la polhodie (P) sera déânie par les équations (5). La normale en un point quelconque {x, y, z) de la polhodie aura pour équations :

abc

La valeur commune des rapports précédents est :

. K(X - xf 4- (Y - vY -h (Z - zY

Vh

Si donc on porte sur la normale une longueur constante X — - l'ex-

Vh

trémité (x,, y,, ^,) de cette longueur sera définie par les équations :

abc

X étant considéré comme positif quand la longueur constante est portée dans le sens contraire a celui de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent.

(') Oa peut eacore rultnchor à cotle Ihéorio le théorème de géométrie suivant, dont le lecteur trouvera sans peine la démonstration :

Étant données deux surfaces eoneentHques {E)t (I^t) et telles que Vune soit homothétique à une swface homqfocale de Vautre^ elles ont une infinité de normales communes dont les pieds décrivent sur les deua surfaces des polhodies.

NOTE XYII. 505

On déduit dos équations précédentes :

et si Ton porte les valeurs de x^ y, z déduites des équations précédentes dans celles de la polhodie, on obtiendra deux relations qu^on ramènera aisément à la forme suivante :

Ces équations démontrent le théorème proposé. Elles représentent en effet une polhodie tracée sur la surface (E,) dans laquelle les carrés des axes a', h\ c' ont pour expressions :

la distance du centre au plan tangent étant la valeur absolue de

Vh

XiOs formules (30) nous montrent que (E,) sera bien homofocale à une surface homothétique de (E); d^autre part les équations (28) expriment que les normales aux points correspondants de (E) et de (E,) coïncident et que par conséquent les plans tangents en ces puints sont parallèles.

Cela posé, considérons le mouvement dans laquelle la première surface (E) roule sur le plan fixe (P), et soit M le point de contact. Portons sur la normale en M la longueur :

à des axes fixes, on le rapporte à des axes tournant uniformément autour de la perpendiculaire 0 1 au plan invariable. Désignons par

la grandeur de la rotation imprimée aux axes. Comme elle est dirigée suivant 01, ses projections sur les axes principaux de la surface (E)

s^obtiendront en multipliant par XI les cosinus —-> —9 — - des angles

al bl cl

de 01 avec ces axes. On aura ainsi :

abc

pour les expressions de ces projections. Par conséquent la rotation de (B) par rapport aux axes mobiles aura pour composantes :

En substituant dans les équations d'Euler les expressions de p, q^ r eu fonction de p't ç' , r\ on trouvera :

dp dû

' ^ / >A ajc^b) q'r'

et les équations analogues. Or, si Von pose :

ces équations reprennent la forme primitive :

dp' __ a' {c' ~ b') , , dC'^ c'b' ^''' -

et par conséquent les rotations relatives y, ç\ r' définissent le roulement d^une surface dont les axes seraient donnés par les formules (33). Les équations {32) qu^on peut écrire :

montrent que la direction du plan invariable n'a pas changé ; ce qui achève d'établir la proposition de M. Sjlvester.

Si Ton désigne par V et A' les nouvelles valeurs de l et de h^ on trouve, comme conséquence des relations établies :

Les propositions que nous venons de démontrer permettent de présenter Tinterprétation géométrique d'un résultat de Jacobi qui résulte d'ailleurs immédiatement de la théorie de Poinsot. Imaginons que l'on considère cette période du* mouvement pendant laquelle le pôle instantané décrit entièrement la polhodie. Il est clair que, lorsque la révolution du pôle sera achevée, le corps sera dans la même situation que s'il avait tourné, tout d'une pièce, d'un certain angle autour de la perpendiculaire 01 au plan invariable. Si. donc, au lieu de rapporter le mouvement k des axes fixes, on suppose que les axes Ox^ Op situés dans le plan invariable soient animés d'une rotation uniforme, de manière à tourner du même angle que le corps dans la période du mouvement considérée, on voit que le mouvement relatif à ces axes mobiles sera oscillatoire et périodique. Le mouvement absolu peut donc être considéré comme se composant d'une rotation constante autour de 01 et d'un mouvement oscillatoire auquel Jacobi a donné le nom de mouvement oscillatoire moyen. Les remarques précédentes permettent de le définir géométriquement.

Nous avons vu que ce mouvement peut être représenté par le roulement d'une surface sur un plan. Mais ici l'herpolhodie doit être une courbe fermée pour laquelle l'angle polaire 0 reprendra la même Taleur après une révolution complète. Et par conséquent la surface qui roule devra être, comme nous l'avons établi, un hjperboloîde à une nappe. On peut même ajouter que, dans ce cas, la polhodie sera tracée autour de l'axe réel majeur de la surface.

Les équations déjà données de Therpolhodie vont nous permettre de déterminer le mouvement oscillatoire mo^^en.

Reprenons en efi'et les équations (31) et soient a et 0 les valeurs extrêmes de p. L'angle total 6o dont tournera le rayon vecteur quand p

510 COURS DE IIÉCAXIQUE.

▼arie de 3 ^ z est donné par la relation :

Il suffira de déterminer X par la condition que cet angle s^annule et Ton connaîtra ensuite le mouvement (B,).

SUR LA THÉORIE DE POINSOT ET SUR DEUX MOUVEMENTS DIFFÉRENTS, CORRESPONDANTS A LA MÊME POLHODIE.

Dans la note précédente nous avons considéré la généralisation du mouvement de Poinsot qui consiste k faire rouler sur un plan, non plus un ellipsoïde, dont les axes sont même assujettis à certaines relations dMnégalité, mais une surface quelconque à centre du second degré. Ce mouvement est défini par les équations :

dp a {c—à)

— = ûr,

[ d£ bc

dr c (b — a) dt ab

ou a, bf c désignent les carrés des axes de la surface qui roule sur le plan fixe. Les rapports de ces constantes entrant seuls dans les équations, il est clair, ce qui est d'ailleurs évident géométriquement, que Ton pourra, dans la définition du mouvement, remplacer la surface par une surface homothétique.

Si, au lieu des équations précédentes, on prenait les suivantes :

/ dp

dr

5d2 COURS DE MÉCANIQUE.

on aurait, il est aisé de le recoDiiaître, un mouvemoiit plus gtoéral. Pour que les équations (2) puissent en effet être identifiées mox équations (1), il faudra que Ton puisse trouver des nombres s, 3, ^ dont les rapports satisfassent aux trois équations :

L'élimination des rapports de a, b^ c conduit à la relation suivante :

(4) a» -f- 3, 4- Yi + «.P.Ï. = 0,

qui doit être satisfaite pour que les équations (2) définissent le mouvement correspondant aux formules (1) et auquel nous donnerons, par un juste hommage, le nom de moHvemeHi de PoinsoL

Il résulte de Ik que, lorsqu'on aura obtenu un mouvement de Poinsot, dans lequel les rotations satisfont aux équations (1), on en aura une infinité d'autres pour lesquelles les rotations p', q\ r' seront, à chaque instant, égales aux rotations p, ç, r, multipliées par des nombres constants. Si Ton pose en effet :

(5) /=a>, ç' = p'çy r^=ir,

p\ q\ r' satisfont à des équations de la forme (2) dans lesquelles les constantes a|, 3i) ït o^^ ^^^ valeurs suivantes :

W «1= TZ ftTïï' ?i = — -f-i' ït= TT -7Â7"

OC ^ ^ ac a Y ^^ ^ h

En exprimant que ces valeurs vérifient l'équation (4), on aura l'unique condition à laquelle doivent satisfaire a', 3, ï' •

(7)a'((;-ô)(a'«-l)-l-ôH«-c)(P'*— 1)-+-^'(*-«)(y'"— 1) = 0.

Il restera donc deux constantes arbitraires.

L'étude des relations entre tous les mouvements qui sont ainsi associés à un mouvement donné, mériterait d'être faite avec soin. La théorie de M. Sj^lvester que nous avons développée dans la Note précédente repose précisément sur la considération de quelques-uns d'entre eux. Nous ne voulons pas entreprendre ici leur étude

générale; nous allons seulement examiner un cas très particulier qui, comme nous 'le verrons, est susceptible d*une application très digne dMntérêc.

Considérons un mouvement de Poinsot, déâni parles équations (I) jointes à IMntégrale des forces vives :

^ ^ abc

et à Tintégrale des aires que Ton peut évidemment écrire, en multipliant a, d, e par une constante convenablement choisie :

Les résultats établis à Tarticle précédent montrent que si Ton prend le mouvement dans lequel les rotations sont :

riO) /=—;?, (?'= — ^, r'= — f,

ce sera encore un mouvement de Poinsot. La relation (7) est en effet vérifiée par les valeurs :

Ainsi, d'un premier mouvement (E), défini par les formules (1), (8) et (9), on peut en déduire un autre (E'), dans lequel la rotation est à chaque instant égale et contraire à celle du premier mouvement. Nous allons étudier la relation, qui est évidemment réciproque, entre ces deux mouvements. Si nous dé:signons para', b\ c\ h' les constantes relatives au mouvement (E'), l'intégrale des forces vives et l'intégrale des aires dans ce nouveau mouvement seront :

(II

Despeyrous. — Mécanique. II. :i3

et il faudra évidemment exprimer que ces deux équations s^obtiennent en combinant linéairement les relations (8) et (9). On obtient ainsi système :

1 X li

1 X' li.'

\ h' =U-h [JL, 1 = X'A-f- |jl',

qui contient implicitement toutes les relations entre les deux mouvements.

Ces formules nous donnent deux expressions différentes pour chacun des axes a' , b\ c' , En les égalant, nous avons un système de trois équations, qui expriment que a, b, c sont les racines de Téquation du troisième degré :

(13) (X'x + ix') X* — (kx 4- ja)* = 0. Posons pour abréger :

(14) ) ab -^ ac -\- bc — Q,

( abc = 11.

En écrivant que Téquation (13) a mêmes racines que la suivante :

x^ — Px' -f- Qa? — R = 0,

on aura les conditions :

X* — [l' = X' P, 2Xix = — X' Q, jjl' = X' R,

qui, jointes aux deux dernières formules (12), vont nous donner a, X', jA, |ji' et A' .

Désignons par Q' la quantité définie par la formule :

(15) 0« = Qî-.4R(P — ^),

nous trouverons :