R , Q'- 4RP
>^ = 0»' 1* = — Qi
et les formules (12) nous donneront a\ J>\ c\ h' , Introduisons les notations suivantes :
0L^=zab-\-ac — ^e? = Q y
(17) P = a* 4- ^c — fl(? = Q 7->
nous aurons les formules :
qui résolvent complètement la question proposée. Si Ton désigne par a' 9 y y "('y ^' ^^^ quantités analogues à a, P, y, Q et relatives au second mouvement, on en déduit les formules :
(19) Û' = Û, aa' = 3P' = yy' = û«,
qui mettent en évidence la réciprocité entre les deux mouvements. Signalons encore les relations :
rao^ g' {V - a') g' {V -^ 6') y' (h' ^ c^) agy ^^ A — a "■ h — 6 ■" A-c "" Û
Toutes les fois que le premier mouvement sera réel, il en sera de même du second. Il suffira, pour le prouver, de faire voir que la quantité
est positive. Or, h étant nécessairement comprise entre a et e^ le carré de D sera compris entre les deux quantités :
qui sont essentiellement positives; car Tune est le carré de a et l'autre le carré de y.
Bien plus, les relations (19) nous montrent que a, 0, y auront respectivement le même signe que a', ^', y' * ^^ P^ conséquent si la surface correspondante au premier mouvement est un ellipsoïde d^inertie, il en sera de même de la surface correspondante au second.
Après avoir défini les relations entre les deux mouvements (E), (E,), nous allons déduire quelques conséquences qui résultent de leur considération simultanée. Soit (C) le système des axes mobiles formé par les axes principaux des deux surfaces (E), (Ë,), correspondantes aux deux mouvements. Si Ton construit le point dont les coordonnées par rapport à ces axes sontp, ç, r, il décrira une même polhodie (P) qui sera commune aux deux mouvements. Dans le premier mouve> ment (E), le cône (0) ayant pour base cette polhodie roulera, avec une vitesse égale au rayon vecteur, sur* un cône fixe (A) ayant pour base une herpolhodie (H); dans le second mouvement (K'), le même cône (C) roulera avec une vitesse égale, mais en sens contraire, sur un autre cône fixe (B), ayant pour base une autre herpolhodie (H'); Qt la génératrice de contact du cône (C) avec les deux cônes Jlxes sera la même à chaque instant dans les deux mouDements, Au lieu de considérer les deux mouvements différents du système (C) par rapport aux systèmes (A) et (B), rendons le système (C) fixe et observons les mouvements de (A) et de (B) par rapport à (C). Dans ces deux mouvements (E'), (E',), inverses des précédents, les deux cônes (A) et (B) rouleront sur le cône (C), ayant pour base la polhodie (P); mais de plus la génératrice de contact sera la même à chaque instant et par conséquent les deux cônes rouleront Vun sur Vautre, Il suit de là que :
Le mouvement de (B) par rapport à (A) s* obtiendra en faisant rouler
directement le cône ayant pour base therpolhodie (H') sur k cône ayant pour base tkerpolkodU (H).
Dans ce mouvement les deux courbes (H), (H') seront constamment en contact et la vitesse de rotation sera double du rayon vecteur qui va du centre au point de contact.
Nous verrons que c*est à ce mouvement de (B) par rappolt à (A) que peut se ramener dans tous les cas celui d'un corps pesant de révolution suspendu par un point de son axe.
Il nous reste à faire connaître une proposition qui se rattache aux précédentes et qui concerne la polhodie.
ZHntersection de deux sur/aces du second degré concentriques et ayant les axes principaux dirigés suivant les mêmes droites, peut en général être considérée t et de deux manières diférentes, comme une polhodie.
Soient en effet :
les équations d*une telle courbe. La proposition sera démontrée, si nous établissons qu^on peut les ramener à la forme :
yj
OU a, bf e^ A, /sont des constantes quelconques. Il faudra donc exprimer que ces dernières équations sont des combinaisons linéaires des premières. On trouve ainsi pour a, by c les deux équations :
ABC A' B' C 1 1 1 abc
