ABC A' B' C

qui sont évidemment de la forme :

Elles déterminent en général deux systèmes de valeurs différentes pour les rapports des axes. Ces valeurs seront réelles toutes les fois que Ton aura :

mnp {m -h n h p) < 0.

Dans ce cas, la courbe sera une polhodie tracée sur deux surfaces réelles; et les deux mouvements correspondants seront ceux dont nous venons d^étudier les relations.

Si rinégalite précédente n'était pas vérifiée, les deux mouvements précédents deviendraient imaginaires.

Enfin si Ton a :

mnp (w 4- « 4- p) = 0,

la courbe est plane ou tracée sur une sphère et elle ne peut pas en général devenir une polhodie.

Le cas où la somme de deux des trois quantités m, fi, p est nulle, mérite une mention spéciale. Supposons par exemple :

Les équations (19) admettent alors la solution :

L'une des deux surfaces pour lesquelles la courbe est une polhodie se réduit à un cylindre, de révolution autour de Taxe des z. Dans le mouvement correspondant le cylindre de révolution demeure en contact avec un plan fixe; mais la génératrice de contact tourne autour du pied de la perpendiculaire abaissée du point fixe sur ce plan, avec une vitesse angulaire constante.

L'herpolhodie correspondante est définie par les formules de la page 493, ou Ton aurait :

Quant au second mouvement correspondant à la même courbe, il présente cette seule particularité que la quantité désignée par y dans les formules (17) est égale à zéro.

Pour toute polhodie tracée sur une surface dont les axes satisfont à cette relation :

le second mouvement ne sera autre que celui dont nous venons d'indiquer rapidement la définition.

La proposition que nous venons d^étudier est due à M. de La Gournerie qui Ta démontrée dans ses Recherches sur les sur/aces réglées téiraédrales symétriques, page 165. Cet excellent géomètre n^a rien fait connaître sur la partie mécanique ou cinématique de la question dont nous nous occupons; mais en utilisant quelques propositions de géométrie qu^'l a données en différentes parties do son ouvrage, on peut compléter en plusieurs points les résultats précédents et définir les relations géométriques qui existent entre les deux surfaces du second degré dont la courbe d'intersection est une polhodie à la fois pour les deux surfaces. Nous démontrerons d'abord le théorème suivant :

La courbe d'intersection de deux sur/aces du second degré ayant les mimes axes principaux est normale à une infinité de sur/aces homojbcales du second degré formant une des trois familles d'un système orthojonal.

Rapportons en effet cette courbe (C) à ses axes principaux. On peut évidemment exprimer les coordonnées x, y, z d'un de ses points, en fonction d'un paramètre variable p, par des équations de la forme :

a, b, Cy m, tt, p désignant des constantes.

La surface du second degré déterminée par Téquation :

(21) h -. 1 z=m -h n -h Pj

passe évidemment par le point considéré de la courbe et on vérifiera aisément qu'elle est normale h la courbe en ce point. La proposition est donc démontrée.

Dans le cas ou Ton a :

la courbe (C) est tracée sur une sphère, et les surfaces Dormales sont des cônes homo focaux. En écartant ce cas exceptionnel^ on peut multiplier a, b, c, p par une constante et disposer de £ette constante de telle manière que Ton ait :

Alors réquation prendra la forme :

Il résulte des formules (20) que Pintervalle dans lequel varient les valeurs de p correspondantes aux points réels de la courbe (C) ne peut comprendre aucun des trois nombres a, by c. Par conséquent réquation (22) ne pourra représenter que Tune des trois familles d^un système triple orthog^onal.

Puisque la courbe (C) est normale a toutes les surfaces représentées par réquation (22), nous pouvons conclure qu^elle est Tintersection de deux surfaces réelles, appartenant respectivement aux deux autres familles du système orthogonal, et nous retrouvons ce théorème de M. de La Gournerie (*).

Toute courbe tracée sur deux sur/aces du second degré ayant les mêmes axes principaux peut toujours être considérée comme Vintersection de deux surfaces homo/ocales réelles pour lesquelles elle est une ligne de courbure commune.

Les paramètres p,, p^ de ces deux surfaces seront définis par les équations :

(a — 5,") ia — p,)

(«) Ouvrage cité, p. 163.

ce seront les racines de Téquation du second degré en v :

Proposons-nous maintenant de déterminer les deux surfaces pour îesquelles la courbe (C) est une polhodie. L^équation générale des surfaces qui contiennent cette courbe est :

(a — IC) x" (b — k) y* (c — 1ù) z"

(a — p,) (a — pj (b — p,) (b — p.) ((? — p,) (c - p,)

k désignant un paramètre variable.

La distance P du centre au plan tangent en un point de la surface est donnée par Téquation :

1 __ (a ~ ky x" (b — li)^ 1/ (c — ky z"

Bemplaçons x^^ y*, z^ par leurs valeurs relatives à un point de la courbe; et, pour exprimer que la distance P est invariable, annulons

le coefficient de p dans --, • Nous aurons Péquation :

(a — ky (b — ky

+ ___J^Zlil__ =0

(C — pj((? — p,)(C — fl)((? — *)

à laquelle on peut donner la forme plus simple :

(p, - ky __ (p, - ky

(a - pO (b — pj (c - p,) (a — p.) (b — p.) (C — p,)

Cette équation nous donnera, comme il fallait s*y attendre, deux valeurs de k. Ces valeurs ne seront réelles que si le quotient

est positif, c^est à dire si p, et p, sont respectivement les paramètres

d'un ellipsoïde et d'an hjperboloïde à deux nappes. Nous sommes ainsi conduits à cette nouvelle proposition :

La courbe (C), toutes lesjbis qu'elle n'est pas sphériçue, est une polkoik tracée sur deux surJUces différentes; mais ces sur/aces ne sont réelles que dm lecasoU les sur/aces normales à la courbe sont des kyperbolofbies à une nappe.

Au moyen des formules données, on vérifiera aisément la proposition suivante qui confirme le résultat précédent.

Si l'on construit l* hyper boloïde qui est normal en un point quelconque M de la courbe (C), les deux génératrices rectiliçnes de cet hyperhlMe qui passent en M sont les normales^ en ce mime point, aux deux sur/aces pour lesquelles la courbe est une polhodie.

Tous ces hjperboloïdes homofocaux, normaux a une même polhodie, possèdent une remarquable propriété cinématique que nous allons d'abord établir.

On connaît la correspondance qu'a établie Ivorj entre les points de deux ellipsoïdes homofocaux; la méthode d'Ivory peut «évidemment être appliquée à deux surfaces homofocales d'une même famille et en particulier à deux hyperboloïdes à une nappe homofocaux. Les points correspondants sur ces deux surfaces se trouveront sur une même trajectoire orthogonale de la famille des hyperboloïdes homofocaux, et le théorème précédent pourra évidemment s'énoncer de la manière suivante :

Za polhodie (C) est le lieu des points correspondants d'un point donné d'un hyperboloïde à une nappe sur tous les hyperboloïdes homofocaux.

La correspondance établie par Ivory étant, comme on sait, une transformation homographique, les génératrices rectilignes de Tan des hyperboloïdes auront nécessairement pour correspondantes les génératrices rectilignes sur tous les autres hyperboloïdes homofocaux. Considé l'eus sur un des hyperboloïdes un segment déterminé de Tune quelconque d'entre elles ; quand on passera de cette surface à toutes les autres, ce segment demeurera rectiligne; de plus les trajectoires de ses extrémités seront normales à la surface sur laquelle il se trouve et par suite au segment lui-même. Donc, la longueur de ce segment

demeurera constante et nous pouvons énoncer la proposition suivante, due à M. Greenhill (*).

L'kyperboloïde à une nappe est susceptible d'une déformation dans laguelle les génératrices rectiUgnes demeurent recUliçnes, les longueurs des côtés de tous les quadrilatères gauches f(rrmés par ces génératrices demeurant invariables. Si on le dispose dans (espace de telle manière que son centre et les directions de ses axes restent fixes, il demeurera constamment homojbcal à lui-même, et les trajectoires de ses différents points seront normales à ses positions successives, ,

Il y a deux faits intéressants dans cette proposition. Signalons d^abord la possibilité de déformer le réseau formé par les génératrices rectilignes des deux systèmes, de telle manière que leurs pointa d'intersection demeurent toujours les mêmes. Â.vant d'être étudiée par la théorie, cette propriété avait été utilisée par la pratique, au moins dans le cas où la surface est de révolution. Tout le monde connaît ces ingénieux appareils qui servent de cache-pot, qui sont formés de deux systèmes de tiges rigides, rattachées les unes aux autres à leurs points d'intersection et qui sont susceptibles d'une déformation très étendue. Il est aisé d'ailleurs de reconnaître que cette déformation de Thyperboloïde est la seule possible; il suffit de remarquer que la forme de tout le système est déterminée dès que l'on donne l'angle formé par deux génératrices déterminées. Si l'on considère en effet la figure formée par deux génératrices d*un même système et trois génératrices de l'autre système qui rencontrent les deux premières, on reconnaîtra aisément qu'elle est complètement déterminée de forme dès qu'on donne un seul de ses angles.

La proposition précédente donne lieu à une seconde remarque ; c'est que l'on peut disposer dans l'espace les formes successives que prend l'hyperboloïde de telle manière que la trajectoire de chaque point soit normale aux positions successives de la surface. Cette propriété donne un moyen simple d'engendrer la polhodie. Il suffira de déformer l'hyperboloïde de telle manière que le losange formé par ses quatre

0\ Voir dans le Journal Tht Messenger oj M'.thematies, t. 8, p. 51, udo note de M. Cayley , On the Déformation pfa Model qfa Hyperholoid, q ui contient une déœoustraiiQn analytique du théorème de SJ. Gruculiill.

52 i COURS DE MÉCANIQUE.

sommets ait toujours les mêmes droites pour diagonales; un point quelconque de Thyperboloïde décrira une polhodie tracée sur une surface (E) qui sera normale a toutes les positions de Tune des génératrices recti lignes qui passent par le point. Il suit de là que toutes les polhodies tracées par les différents points d*une même génératrice rectiligne formeront le système que nous avons étudié k l'article IV de la Note XVII. Cette remarque trouvera plus loin son application.

Puisque dans le mouvement précédent un point quelconque décrit une polhodie, le plan normal à Tune des génératrices recti lignes en ce point demeurera à une distance constante du centre de la surface. Comme d'ailleurs deux points diamétralement opposés par rapport au centre dans une des positions de Thyperboloîde conservent toujours cette relation dans toutes les autres, deux génératrices, parallèles dans Tune des positions de la surface, demeureront toujours parallèles et les plans normaux à ces génératrices en deux points déterminés demeureront toujours à une distance constante Tuu de Tautre. Cette propriété de la déformation jouera un rôle essentiel dans ce qui va suivre. On en déduit par exemple le théorème suivant :

Si Von déforme un hyperbohïde en laissant flxe une génératrice (ç), tous les points de la génératrice {ff^), parallèle à (ç), décrivent des plans^ perpendiculaires à {g).

Il est clair que tous les autres points de Phyperboloïde décrivent des sphères ayant leur centre sur {g) ; et comme d'autre part toute génératrice {g^ de même système que (g) rencontre (g^^ il y aura toujours un point de (^,) qui décrira un plan. Donc :

Si une droite invariable {g^ a trois de ses points assujettis a décrire des sphères ayant leur centre sur (^), il y aura toujours un point de {g^ qui décrira un plan perpendiculaire à la ligne des centres {jf)\ tous les autres décriront des sphères ayant leur centre sur (jg) (*).

Revenons au mouvement de Poinsot et considérons une surface (E) sur laquelle est tracée ime polhodie (C). Soit 0 le centre de (E), M un point de la polhodie et (P) le plan tangent en M sur lequel roule la

f) Ce théorème présente un cas d'exception correspondant au cas où l'hyperholoïde qui se déforme serait remplacé par un paraboloïde. Alors la droite {g%) fait UQ angle constant avec la ligne des centres.

surface (E), avec une vitesse de roulement que nous supposerons égale au rayon vecteur qui va au point de contact. Considérons Thyperboloïde (H) de centre 0 normal au point M de la courbe (C) et construisons Thyperboloïde (H') Lomothétique de (H) par rapport au

point M, le rapport d'homothétie étant - • Quand la surface (E) roulera

eu

sur le plan (P), Thyperboloïde (H') variera et puisqu'il est semblable à (H), ses différentes formes pourront se déduire de Tune d'entre elles par le mode de déformation que nous venons d'étudier. Les deux génératrices passant en M seront celles de Thyperboloïde (H) ; de plus, comme la surface (H) passait par le point M' diamétralement opposé k M, la surface (H') passera par le centre 0, et. les deux génératrices rectilignes menées par ce point seront parallèles à celles qui passent en M. L'une d'elles sera par conséquent perpendiculaire au plan invariable (P) et demeurera fixe dans l'espace. Si nous remarquons de plus que le plan tangent en M est perpendiculaire à la route de ce point dans le plan (P), nous serons conduits au théorème suivant :

Si Von déforme Vhyperholoïde (H') de telle manière que Vune de ses génératrices {g) demeure fixe et coïncide avec la perpendiculaire abaissée de 0 sur le plan (P), le point m diamétralement opposé à 0 sera toujours dans le plan (P). Si on l oblige à décrire une courbe qui soit normale aux positions successives été t hyper boloïde, cette courbe sera une herpolhodie.

Si l'on assujettissait les autres points de la génératrice (^ j, parallèle à (^), à décrire de même des courbes normales k l'hyperboloïde, on obtiendrait évidemment toutes les herpolliodies dont l'équation générale a été donnée à la page 508. Soient (A), {h!) deux de ces herpolhodies décrites, Tune par le point m dans le plan (P), l'autre par le point m' dans le plan parallèle (P'). Rendons ce plan mobile autour de la perpendiculaire abaissée par le point 0 et imaginons une disposition qui force le point m* à rester sur (h!). Quand le point m décrira la courbe (A), le point m\ devant demeurer sur (V), fera tourner e plan (F') avec une vitesse de rotation constante qui, nous l'avons vu, sera représentée par la droite m* m (p. 507). Inversement si l'on imprime au plan (P') cette rotation constante, le point m décrira l'herpolhodie (h) avec la vitesse qui est prescrite par la théorie de Poinsot.

Si nous remarquons d'ailleurs que Ton peut rattacher Thyperboloïde (H) à Thyperboloïde (H'); que l'un de ces hjperboloîdes entraîne l'autre en déterminant à la fois sa forme et sa position, puisqu'ils ont en commun les deux génératrices rectîlignes qui se croisent en m, on reconnaîtra que le mouvement de rhyperboloîde (H) est complètement défini. Or les axes de cet hyperbololde coïncident avec ceux de la surface (E). On voit donc que la théorie précédente donne un moyen nouveau de réaliser le mouvement de Poinsot par remploi de systèmes articulés. Le corps dont il s'agit d'étudier le mouvement sera représenté par le trièdre tri rectangle dont les arêtes sont les axes principaux de l'iiyperboloïde (H).