FIXÉ PAR UN POINT DE SON AXE
Dans Tarticle III de la Note précédente, nous avons défini un certain mouvement qui est produit par le roulement du cône (B), ayant pour base une herpolhodie (H'), sur un cône (A) ayant pour base une autre herpolhodie (H). Considérons les deux mouvements (E), (E,) correspondants à une même polhodie (P), le premier se représente par le roulement du cône (C), ayant pour base la polhodie sur le cône (A), avec une vitesse constamment égale au rayon vecteur. Le mouvement (E',) inverse de (E^) se représente par le roulement du cône (B) sur le cône (0); et dans les deux mouvements la génératrice de contact avec le cône (C) est la même. Si l'on déHnit la rotation par ses composantes relatives aux axes principaux du cône (C), dans les deux mouvements ces composantes sont :
par suite, dans le mouvement do (B) par rapport à (A), les composantés de la rotation totale, relatives aux mêmes axes, seront :
On a, comme on Ta vu :
?' X. ^' ^ *** - i ^'' ^ ^' -^. "*' - A' , a 0 c a ri c
528 COURS DE MÉGANIQUE.
a\ b'y e\ A' ayant les valeurs définies précédemment. De plus les cosinus-directeurs de la perpendiculaire au plan de Therpolkodie (H) sont, par rapport aux mêmes axes :
et les cosinus- directeurs de {a perpendiculaire au plan de Therpo- Ihodie (H') sont :
— P — Q —r doc
Cela posé, nous supposerons que le système mobile (B) entraîne un corps solide dans son mouvement; et nous allons chercher quelles sont les forces capables de produire le mouvement que nous venons de définir.
La supposition la plus naturelle et en même temps la plus simple consiste à admettre que le corps solide entraîné est une sphère ayant pour centre le point fixe; ou du moins, ce qui revient au même, que Tellipsoïde dMnertie de ce corps, qui peut être hétérogène et de forme quelconque, est une sphère pour le point fixe 0.
Soit A la valeur du moment dMnertie pour un rayon quelconque de cette sphère. Les composantes de la rotation étant :
les projections sur les mêmes axes coordonnés de Taxe du couple des quantités de mouvement seront :
2kp, 2kq, 2Ar.
Pour plus de clarté nous appellerons axe du corps la perpendiculaire au plan de Therpolliodie (H') et nous supposerons que la perpendiculaire au plan de (H) coïncide avec la verticale.
Ces définitions étant admises, les équations (1) nous montrent immédiatement que la composante de la rotation, relative à Taxe du corps, qui s^obtient en multipliant 2py 2^, 2r respectivement par les
— P — Q — ^ cosinus directeurs — p-» — — » — — et faisant la somme des produits
obtenus, est constante et égale à — 2 A'; elles nous montrent aussi
que la projection de Taxe du couple des quantités de mouvement sur
p q r la verticale, dont les cosinus directeurs sont -9 -) -> est aussi constante
abc
et égale à 2 A/<. Ces deux propriétés appartiendraient évidemment au
mouvement, si le corps mobile avait son centre de gravité sur Taxe et
était soumis à la seule action de son poids. Mais elles ne suffisent pas
a définir complètement les forces qui agissent sur le corps.
Considérons la force vive du corps :
Si l'on introduit Tanglc 6 que fait la verticale avec l'axe du corps, cet angle sera défiui par la relation :
aa b& ce
et il est évident que, si Ton tient compte des deux premières équations (1), la force vive totale peut s'exprimer par une fonction linéaire de cos6; on peut déterminer deux constantes D et H', telles que Ton ait :
4 (p^ -h q^ 4- r') =: 2Drt + 2H' .
Or on trouvera évidemment une équation de cette forme, si l'on ajoute aux suppositions déjà faites la suivante : que le corps ait son centre de gravité sur Taxe à une distance d^ donnée en grandeur et en signe par la formule :
AD = Vd,
. P étant le poids du corps et la verticale étant supposée dirigée vers le bas.
La détermination des forces est maintenant complète; et puisque nous avons obtenu les trois intégrales premières qui définissent le mouvement d'un corps pesant, nous pouvons énoncer la proposition suivante :
Le ynouvement de (B) par rapport à (A) esi un de ceux que prendrait naturellement un corps pesant qui admettrait une sphère pour ellipsoïde d'inertie d'un de ses points et qui serait fixé par ce point,
Despeyrous. — Mécanique. H. 3i
530 couns de méCxVNiquk.
II
Les formules précédentes contiennent quatre constantes indépendantes a, bf c, h. Le corps, au point de vue mécanique, est défini par une seule constante D. Si donc on fuit varier a, b^ Cy h de telle manière que D, qui est évidemment une fonction de ces quantités, conserve une même valeur, on aura une série de mouvements d'un même corps, qui dépendront de trois constantes arbitraires. II semble donc qu'au moyen de la représentation précédente, on pourra obtenir tous les mouvements que peut prendre le corps soumis à la seule action de son poids, quand les circonstances initiales varient.
Pour établir ce résultat en toute rigueur, donnons-nous à priori la composante 2 B de la rotation relative à Taxe du corps, la projection 2 AL de IJaxedu couple des quantités de mouvement sur la verticale, enfin les deux constantes D et H' , qui figurent dans Téquation des forces vives écrite sous la forme :
Zmv- = 2k (Dtf H- H').
Ces constantes définissant complètement le mouvement du corps, il suffira de montrer que l'on peut exprimer a, b, c, A en fonction deB, L, D, H'.
Les propositions établies nous donnent déjà :
Il faut en outre exprimer que Ton a :
et, pour cela, il faut écrire que cette équation est une combinaison linéaire des deux premières équations (I). On obtient ainsi le système :
D H' XA — a
2aa' 2a' 2 «'
(3) ? 1 . ^-iL . >^iz:i,
D H' XA — c
2cc' 2c^ 2 c*
En remplaçant dans la première de ces équations a' par sa valeur, donnée dans la Note précédente (p. 515), on obtient la formule :
et les autres équations (3) nous conduiraient à la même relation, dans laquelle a serait remplacée par b et par c. Il suffira donc d^exprimer que réquation en x :
admet les racines a, b^ c. On est ainsi conduit au système :
