D'(L^-B«) " 2L» — BD — LH
et il DG resto plus qu*à substituer ces valeurs daus l'équation :
a?* — Po?* -h Qa? — R = 0 ;
a, by c seront les racines de cette équation.
Il est préférable, pour déterminer a, 6^ c et pour reconnaître la réalité des racines de Téquation précédente, de raisonner de la manière suivante :
L^équation à laquelle satisfait la variable «, qui est le cosinus de Tangle de la verticale avec Taxe du corps, a été déjà donnée dans le texte (p. 253). Si nous faisons les changements nécessités par nos nouvelles notations (^), cette équation devient ici :
(8) ^ = 2 (1 — tt») {Du 4- H' — 2B») — 4 (B» — L)*
= 2 (1 — u^) {Du -h H') — 4B' — 4L* -+-8BL11.
On peut évidemment la former d'une autre manière, en partant de
Texpression donnée plus haut pour u. Si Ton différentie en effet cette
dp expression et si l'on remplace a\ ..., --, ... par leurs valeurs, on
dt
trouvera :
(9) û •— =z= 4 j pgr.
' dt abc
D'autre part on peut exprimer;?*, »/, r* en fonction de «, en faisant usage de l'intégrale des aires, de l'intégrale des forces vives et de l'expression donnée pour u en fonction deji?, ^, r. On trouve ainsi :
p'2aA — a + Ûtt ^*2^A— g 4- Ûw r«__2cA - 7 -h Qt* â*""2(â^^<5)(a — (?)' ^""2(^ — a) (<J — c)' ?""2((?— a) ^c—b{
et si l'on porte ces valeurs dans l'équation précédente, il viendra :
(10) ~ -— = (a — lah — Ûw) (P — 2^A - ûtt) (y — 2cA — Qi»).
0) Il faut remplacer n iiarliB, faire C = A ci poser :
du Cette équation devra donner pour — la même valeur que Tequa-
dê
tion (8). C'est ce qu'il serait aisé de vérifier en se servant des
formules (4) et (6). Mais au lieu de faire cette vérification qui n'oifre
aucune difficulté, nous conclurons que Jes racines de l'équation
complètement connue :
(11) 2 (l — w*) (Dw 4- H') — 4B- — 4L» -{- SBLu = 0,
sont exprimées en fonction des axes par les formules :
Or on a, par suite de la définition de a (p. 515j :
.-2ah = 2A' - 2PA + Q - 2 U^ - a) (h -^i)^ - 0 ,
et les formules (2) et (6) nous donnent :
ii=:L, 2/r — 2P/i 4- Q = 2L' — H',
2 (A - a) (A — &) (J« — c) = 2 (L> — PL« 4- QL — P)
Par conséquent, u^ désignant celle des racines de l'équation (11),
, , , a— 2flA qui est égale a ^ — > on a :
