D,* = 2B' - H' - ^B'-LD-BH

En terminant cet article nous signalerons une conséquence évidente des résultats précédents. Quand on a observé le mouvement du corps par rapport aux axes axes, le mouvement inverse des axes fixes par rapport au corps représente aussi un de ceux que le même corps pourrait prendre si les conditions initiales étaient convenablement choisies.

Cela résulte évidemment de ce que, pour tous les mouvements d^un même corps, les constantes a, ^, c, h ou a\ b\ c\ K sont assujetties uniquement à vérifier la relation :

û* = D* = (ab -^ ac -\' bcf — 4 abc (a -¥ b -^ c — h)

= (a' b' 4- a' c' -+- b' c'y — Aa'b' c' {a' ^ b' -h c' -^ A').

Les propositions précédentes donnent donc la représentation géométrique, complète et aussi simple que possible, du mouvement d'un corps pesant, dans le cas où Tellipsoïde dMnertie du point par lequel il est fixé est une sphère. Les recherches de Lagrange et de Poisson ont fait connaître la solution du problème dans le cas, beaucoup plus étendu, oîi l'ellipsoïde d'inertie de ce point fixe est de révolution autour de la droite qui joint ce point au centre de gravité. Mais nous allons voir qu'on peut ramener très aisément la solution du problème dans cette hypothèse à celle du cas particulier que nous venons d'étudier.

Prenons eh effet dans le corps (B) un système d^axes' fixes rectangulaires tel que Taxe des z soit Taxe de révolution de Tellipsoïde dMnertie du point fixe 0. Soient A. la valeur commune du moment d^inertie par rapport aux axes des x et des y^ 0 le moment d^inertie par rapport à Taxe des z^ et enfin p, g, r les composantes de la rotation du corps par rapport aux trois axes considérés. Les trois intégrales de Lagranpre sont les suivantes :

(13) I Ap,a' -\- Bq.i' -t- Cnu = 2AL,

M, L, H désignant les constantes arbitraires et a*, V ^ « les cosinus des angles de 0^ avec la verticale.

Considérons un corps auxiliaire (B') qui serait animé par rapport au corps (B) d'une rotation constante

autour de Oz, Pour ce corps les composantes de la rotation totale seraient à chaque instant :

Si Ton détermine n^ par la condition :

(14) A», = 0», les équations (13) pourront s'écrire :

(15) ] Ap fl" + B^ V 4- A», w = 2AL,

j»' 4- ^* = 2Dtf + 2H.

Ce sont encore les intégrales du mouvement de Lagrange, mais

relatives au cas où ^ellipsoïde du point fixe est une sphère. Si nous

remarquons que Ton a :

nous pourrons énoncer la proposition suivante :

Étant donné un corps pesant de révolution (B), JIxé par un point de son

axe eu abandonne' dans des conditions initiales guelcongues à raciion de U pesante ^tr, désignons par n la projection constante de la rotatio» sur faxe; un corps auxiliaire (B'), a?iimé par rapport au prenier d*ane vites'e de rofation constante

autour de Vdxe d<î réoolutlo.i, prcnM-a le même mouvement qu'un corps pesant pour l quel l'eltlpsoïie d:i point fixe serait une sphère, le centre de gravité se trouvant sur Vaxe, Par conséquent le mouvement du corps (B'), lié d':t^ie manière si simple à celui de (B), pourra se représenter par le roulement d^un cône ayant pour base une hevpolhodle (H') sur un cône ayant pour base une autre herpolhodie (H).

Nous pouvons déduire des remarques précédcotes une proposition énoncée et démontrée par Jacobi dans un Mémoire posthume dont les fragments ont été publiés par M. Weierstrass. (Voir le t. II de la nouvelle édition des Œuvres de Jacobi.)

Pour cela il nous suffira d'appliquer les propositions de la Note précédente, qui nous ont permis de définir le mouvement de (B').

Si nous introduisons, en même temps que les deux cônes avant pour base les lierpollioJies (H), (H'), le cône (C) déjà défini, ajant pour base la polhodie (P), qui roule à la fois sur les deux cônes précédents, nous obtiendrons la proposition suivante :

Dans le cas où l'ellipsoïde central du point fixe est une sphère, il existe un système (C), mobile autour de O et jouissant de la double propriété suivante : Son mouvement absolu est cebii d'un corps solide qui ne serait soumis à aucune force ; ou, plus exactement, c'est un mouvement de Poinsot, pour lequel le plan invariable est horizontal ; son mouvement par rapport au corps pesant est encore un mouvement de Poinsot, pour lequel le plan invariable est perpendiculaire à la droite qui contient le point fi\Q et le centre de gravité.

Dans le cas général, cette proposition subsiste dans ses points essentiels et devient le théorème de Jacobi, tel qu'il a été énoncé par M. Halphen dans une note récemment parue aux Comptes rendus de t Académie des Sciences, t. C.

En effet, la proposition précédente s'applique sans modification au

corps auxiliaire (B') dont la rotation par rapport à (B) est :

Il suit de là que le mouvement du système (C) par rapport à (B) s'obtiendra en composant le mouvement de (C) par rapport h. (B'), qui est un mouvement de Poinsot, avec une rotation constante :

autour de la perpendiculaire au plan invariable de ce mouvement. Or Dous avons vu que la combinaison de ces deux mouvements donnera encore un mouvement de Poinsot. Nous obtenons ainsi dans toute sa généralité la belle proposition de Jacobi, dont l'énonce le plus simple est le suivant :

Si l*on considère le mouvement k plus général d'un corps pesant de 1 écoUtion flxé par un point de son axe^ il existe un système auxiliaire (C) qui est a?imf^, et par rapport aux axes fixes, et par rapport an corps mobile d'un mouvement de Poinsot. Les constantes relatives à ces deux mouvements sont différentes ; les plans invariables sont, le plan horizontal pour le premier mouvement, et le plan perpendiculaire à taxe pour le second.

Si nous conservons les notations de l'article I, nous voyons que la rotation absolue du corps (B'), k un instant donné, a pour composantes relatives aux axes principaux de (C) :

Pour obtenir la rotation de (B), il suffira de composer la rotation précédente avec celle qui a pour valeur :

A ^ et dont la direction est perpendiculaire a Taxe de (B)« Les composantes

538 COURS DE MÉCAkiQUE.

de cette rotation seront, par conséquent :

G — Aj» 0 — A ç C— A r

et Ton en déduira, pour les composantes de la rotation de (B), les expressions :

Ces formules vont nous permettre de définir complètement, -et d\ine manière directe, le mouvement de (B).

D^abord Textrémité de Taxe de rotation décrit dans le corps une herpolhodie. La proposition est évidente dans le cas du mouvement de (B'). Pour passer de là au mouvement de (B), il faut composer la rotation précédente avec une rotation constante dont Taxe est parallèle à Taxe de (B'), ce qui ne fait que transporter parallèlement à ellemême la courbe décrite par Textrémité de Taxe de rotation; puis introduire une rotation constante du rayon vecteur, ce qui, nous Ta vous vu, ne change pas la définition de rherpolhodio. Ainsi, la courbe décrite dans le corps par V extrémité de Taxe de rotation est, dan^ tous les cas, une herpoUiodie.

D^autre part nous avons les composantes de la rotation totale et nous pouvons en déduire que la projection de cette rotation sur la verticale, aussi bien que le carré de la rotation, sont des fonctions linéaires de p*, ^*, r' et sont par conséquent liées par une relation linéaire. En d^autres termes :

^extrémité de la rotation décrit dans V espace une courbe située sur une sphère ayant son centre sur la verticale.

Par suite :

Dans le cas général le mouvement peut se représenter par k roulemeîit d'un cône, ayant pour base une herpolhodie, sur une sphère ayant son centre sur la verticale du point Jlxe, ce roulement s' effectuant avec une vitesse égale au rayon vecteur.

Nous allons retrouver ces résultats et définir la courbe sphérit^ue en reprenant Tétude des équations données dans le texte.

Si Ton pose :

ces équations données à la page 253 du texte prennent la forme suivante :

dà 2Bi* — 2L do 2Bi** — 2Lw

^ at 1 — w' dû 1 — tt'

du

— = 2 (1 - tt') (Du 4- H) — 4 (Btt — L)'. f

Elles mettent d^abord en évidence la proposition que nous avons démontrée .à l'article III. Si l'on considère le corps auxiliaire (B'), pour lequel les angles d'Euler ont les valeurs :

0, (j; et (f' =^ -\- (2B — n) t,

on aura :

dz>' 2B — 2Lw (18) «y___^o ^^

^ ^ dû l — u^

C'est la valeur que l'on obtiendrait en faisant dans les formules (il) :

c'est a dire en supposant que n soit nul, ou que l'ellipsoïde central du point âxe soit une sphère.

Appelons maintenant p, ç, r les composantes de la rotation relatives aux axes du corps, p', ç' , r' les composantes de la même rotation relatives aux axes axes. Les formules établies dans le texte nous donnent :

dà rfO

p = sin 9 sin G — — cos o. — > (20) ) dt ' dt

q z=. cos ? sm G. — ^ 4- sin o -— > ^ dt ^ dt

540 COUIVS DE MÉCANIQUE.

et par conséquent :

,,. ^ q sin 6 rftî;

(21) — arctff-=9 4- arc tg. — — -^.

La seconde des équations (19) exprime que la courbe décrite dans le corps par Textrémité de la rotation est située dans un plati perpendiculaire à Taxe. La première équation (19) et réquation (21) nous donnent le rayon vecteur p et Tangle polaire b) de cette courbe plane, en la supposant rapportée à des coordonnées polaires dont le pôle se trouve sur Taxe du corps. On a donc :

(22) p' = 2Dw4-2H, w = — o — arc tg. -— ^,

et, en différentiant cette dernière équation après avoir remplacé d^l et d^ par leurs valeurs :

(Du + H) ^ = (B — «) (Dî* 4- H) -H BH + DL, OU encore :

(23) p« — i=z (B — «) p« + 2 (BH 4- DL).

Ces formules permettent de calculer la vitesse totale du pôle, qui est donnée par l'équation :

(24) --,- = D' (1 — tt») 4- 2» (n — 2B) (D» 4- H)