Hn
L'^uKUrw. 6ét«jaz*x«0t -css:
^ p a', — >, * — .ffl — #r':»— f> — *c .* = 0.
Le 4erai«!rr ten&e de s^ue éqomtion est Im qrsiaiâîé que nous atods d««ijna^ fxtr IL
C^)> reiuarquei ikît«s, iiojs ponrons comsse&cer Im discussion.
T' Bu^ipCfiions d'abord que réquatâon A = 0 xi*ait pas de racine ritfWéi, Alorw le» quatre Taïeurs de H sont imaginaires et la quantité K eut positive, puisqu'elle est le dernier terme de Téquation précédente, dont les quatre racines sont imaginaires. Si, an débat du choc, la vitesse
tangentielle est nulle, elle demeurera nécessairemeut nulle, K étant poàitif et aucun des quatre autres mouvements n^étant réel. Si au contraire elle n'est pas nulle, elle ne le deviendra jamais, et les formules (29) seront applicables jusqu'à la fin du choc.
2^ Si réquation A = 0 a deux racines réelles, pour une de ces racines la dérivée A' sera positive, et, par conséquent, la valeur correspondante de H sera négative. Si les deux valeurs réelles de H sont négatives, le dernier terme de réquation (34) en H sera positif, et, par suite, si la vitesse v devient nulle à un instant du choc, elle ne pourra que le demeurer. Au contraire, si une seule valeur de H est négative, K sera aussi négatif; et, si la vitesse v devient nulle avant la fin du choc, elle ne pourra pas le rester; mais il se produira le mouvement dans lequel f prend une valeur égale à la racine de A pour laquelle on a H > 0.
3^ Enfin, si l'équation A = 0 a ses quatre racines réelles, il y en aura deux rendant A' positive, et, par conséquent, deux au moins pour lesquelles on aura H < 0.
Si Ton a K < 0, il y a un nombre impair de valeurs de H négatives ; il y en a donc alors trois. Ainsi, il existe trois valeurs de 9 pour lesquelles la vitesse v peut devenir nulle; mais, E étant négatif, cette vitesse ne pourra rester nulle, et il se produira le mouvement dans lequel 9 prendra une valeur égale à Tunique racine de A pour laquelle on a H > 0.
Si l'on a K > 0, nous allons montrer que réquation (34) n*a que des permanences, et par conséquent que les quatre valeurs de H sont négatives. Mais, pour simplifier le calcul, nous admettrons que Ton ait choisi les axes de telle manière que c' soit nulle. Cela revient à faire passer le plan des xz par la direction de la vitesse relative qui serait imprimée par les deux percussions égales et contraires, dirigées suivant Oz.
On a, dans le cas qui nous occupe :
r {ah' - ba'Y — e" (a'« + b'^) > 0.
Rappelons les inégalités
{a' + by — Aai' < 0, a > 0, *' > 0,
qui donnent :
(a' — *)« < 4 {ab' — ba'),
et par conséquent :
aV — ho! > 0.
Si nous nous reportons à Téquation (34), nous voyons immédiatement que le coefficient de H' est positif. Il reste à démontrer qu^il en est de même des coefficients de H et de H*. Nous emploierons pour cela les deux inégalités :
Le coefficient de 2 — est :
L = (a 4- b') {ab' — ba') P — c**'.
Le coefficient de P étant positif, remplaçons P par sa limite inférieure. Nous aurons :
L {aV - ba') ^ ^^ ^ ^.^ ^^„ ^ ^„^ j, ^^^, ^^,^^
ou
L(ab' — ba')
>aa'' + b' {a'^ -h *") 4- bb' a'.
Remplaçons encore a par sa limite inférieure, et nous aurons : Ab' L(ab' — ba')
> («" H- ba' -+- 2*' V,
ce qui démontre que L est positif.
H* Passons au coefficient de — • On a, en le désignant par L, :
L,=p [{a -h b'y + 2 (ab' — ba')] — c^ et, en remplaçant P par sa limite inférieure : L, (ab' - ôa')*
-f- Aab' (a'* + *'*) -h {a'* -h b'*) (*'« — b* — 2ba'y
Si Ton remplace dans le second terme a par sa limite inférieure, on trouve :
et, par conséquent, L, est encore positif.
Ainsi, toutes les fois que Téquation A = 0 aura ahs quatre racines
réelles et que K sera positif, les quatre valeurs de H seront négatives.
Alors, pour quatre valeurs de <p, la vitesse v pourra devenir nulle;
mais, quand elle le sera devenue, elle restera nulle jusqu^à la fin
du choc.
En résumé, t7»V a^ama/^ dHndéUrmination dans le moucemenL Dans le cas où la vitesse v demeurera nulle, il faudra substituer
aux équations (29) les suivantes :
!0=aô -^ *ôj -f- cN, w= w\ -+- ^"6 -f-^'O, -f- c'N,
qui serviront jusque la fin du choc; w^ désigne la valeur qu*a m au moment où la vitesse v devient nulle.
J'indiquerai, en terminant, un exemple assez sin^ple qui met en évidence la plupart des cas de la discussion précédente; c'est celui d'un corps solide de révolution qui vient rencontrer obliquement un plan fixe.
SUR LES RAPPORTS DE LA THÉORIE DES MOMENTS D'INERTIE AVEC CELLE DES SURFACES HOMOFOCALES.
On a vu, dans le texte, comment la détermination des axes et des moments principaux d'inertie relatifs à un point donné se rattache à la considération d'un système de surfaces homofocales du second degré. Les rapports entre la théorie des moments d'inertie et celle des surfaces homofocales du second degré sont nombreux et importants; depuis Dupin et Binet ils ont été l'objet de travaux variés, parmi lesquels il faut citer ceux de 0. Hesse, exposés dans les Vorksungen Uèer analyiische Oeomelrie des Raumes; nous nous proposons d'indiquer ici la méthode que nous avons suivie, il y a déjà longtemps, dans notre enseignement de la Sorbonne et de l'École normale.
Cette méthode repose tout entière sur Tattribution d'un coefficient spécial, non seulement à chaque droite, mais h chaque point et à chaque plan de l'espace.
Nous appellerons moment d'inertie du corps par rapport à un point 0 la somme des produits des masses des molécules par le carré de leur distance au point 0. Pour abréger, nous donnerons à ce moment d'inertie le nom àe paramètre du point.
Le moment d'inertie par rapport à un plan (P) sera de même la somme des produits des masses des molécules par le carré de leur
distance au plan (P). Ce moment d'inertie recevra également le nom
de paramètre du plan.
Enfin le moment d^inertie par rapport à une droite sera appelé
paramètre de la droite.
Nous considérerons simultanément ces trois systèmes de paramètres* Si le corps est rapporté à un système d*axes rectangulaires, le
paramètre de Torigine sera :
« désignant la masse d*un point matériel quelconque du corps etâ?, y, z se? coordonnéss. Le paramètre de Taxe des z sera, avec les mêmes notations :
ILm («* + y').
Ceux des plans coordonnés des yz^ des o;^ et des xy sont respectivement :
Zmx^y Zmy^, Zmz^.
De ces expressions si simples, relatives à un système arbitraire d*axes rectangulaires, résultent les théorèmes suivants :
le paramètre d'un point quelconque est égal à la somme des paramètres de trois plans rectangulaires quelconques se coupant en ce point. Par conséquent, si un trièdre trirectangle se meut de telle manière que son sommet reste fixe, la somme des paramètres de ses trois faces demeure co étante.
Le paramètre (tune droite quelconque est égal à la somme des paramètres de deux plans rectangulaires quelconques se coupant suivant cette droite. Par conséquent si un dièdre droit tourne autour de son arête qui reste fixe, la somme des paramèl-es de ses deux /aces demeurera constante.
Si OH considère une droite et un plan perpendiculaires, le paramètre de leur point d'intersection est égal à la somme des paramètres de la droite et du plan. Par conséquent Si un plan et une droite, assujettie à rester perpendiculaire au plan, tournent autour de leur point commun, la somme des paramètres de la droite et du plan reste constante.
Nous signalerons également les propositions suivantes dont la démonstration est très facile.
Le paramètre d* un point quelconque est égal au paramètre du centre de
gravité, augmenté du produit de la masse totale par le carré de la distance des deux points, .
Le paramètre d'un plan est égal au paramètre du plan paraUèle mené par le centre de gravité^ augmenté du produit de la masse par le carré de la distance des deux plans.
Ces deux propositions sont analo^^ues à celle qui a été donaée, relativement a la droite (p. 177) et qu^on peut énoncer comme il suit :
Le paramètre d'une droite est égal au paramètre de la droite parallèle ' menée par le centre de gravité, augmenté du produit de la masse par le carré de la distance des deux droites.
Nous allons d^abord considérer tous les plans passant par une droite et nous étudierons comment varient leurs paramètres. Supposons que cette droite ait été prise pour axe des z, L^équation de Tun quelconque des plans qui la contiennent sera :
(1) wx 4- tîy = 0,
et le paramètre P de ce plan aura pour expression :
^ {ux -H ryV aw« -4- 2huv -f- cv^
il) F = J,W r ^— = y
^ ^ tt' -4- V ' U* -h V
ff
en posant pour abréger,
(3) Zmx^ =: û, Itnxy = by iwy* =: c.
Il résulte de la formule (2) qu'il y a en général deux plans correspondants :i une valeur donnée, ?„, du paramètre. Si Ton suppose que Ton ait pris les plans bissecteurs de ces deux plans pour plans des xc et des ycy la constante b sera nulle, et la formule (2) prendra la forme :
(4) P =i — — = a cos- i -h c sin' i,
vr -h V-
i désignant l'angle du plan avec le plan des pz dont le paramètre esta. La formule (4) nous permet de reconnaître comment varient les paramètres des différents plans passant par la droite. Il est clair que P
passera par toutes les valeurs intermédiaires entre « et c et qu'il obtiendra une même valeur/? pour les deux plans correspondants aux valeurs de i définies par l'équation
p z=z a cos' i -h c. sin* i;
d'où l'on déduit :
Dans le cas exceptionnel oîi a sera égal à c, les paramètres do tous les plans passant par la droite seront les mêmes. En réunissant ces résultats nous obtenons le théorème suivant :
Si nom comidérons tom les plans passant par une droite, deux plans de même paramètre admettent toujours les mêmes plans bissecteurs (Pj,), (P, ). Soient ;;„, p^ les paramètres de ces deux plans. Le paramètre d*un plan (P) faisant V angle i ave&{y^ sera donné par la/brmule
(5) P =Po cos* i •+■ /?j sin' »,
et par conséquent lorsque i variera de 0 à^:, p passera deux fois par toutes
les valeurs comprises entre p^ et p^ ,
Imaginons maintenant que l'on considère les plans ou les droites
assujettis seulement à passer par un point fixe 0. Prenons pour axes
coordonnés les axes principaux du point 0 et posons :
f Zmx^ =z a, Imy^ =. p, Zmz^ = Y- ^
On a vu que l'on a : • «
Zmyz = Zmxz =:z: 'Zmxy ==. 0.
Le paramètre p d'un plan quelconque passant par 0 et représenté par réquation
ttj? -+- ry + wz = 0, sera donné par la formule :
(ux -i- Vf/ -h wzY aw- 4- ^v- -f- ^(W^
(t)) p z= Zm 2 i 7— = 5 5 7— •
Si i, i' , i' désignent les angles du plan avec les plans des y^, desxc
et des xy, la formule précédente peut encore s*écriro :
0) p = OL cos' i 4- p cos* i' 4- f cos* i'.
Il résulte de Téquation (6) que tous les plans de paramètre donné p devront satisfaire à Téquation :
(a — j») w« 4- 0 — p) t?* + (y —7?) fP* = 0, '
et par conséquent qu'ils envelopperont le cône :
Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Tous les plans de même paramètre passant par un pokU donné O
enveloppent un cône du second degré. Les cônes correspondants aux diverses
valeurs du paramètre sont homo/bcaux.
Considérons maintenant les droites passant par le point O. Si les
équations
U V w représentent une telle droite, son paramètre ni aura pour expression :
/ {wy — vzY -h {wx — uzY 4- {vx — uyY
i cy = Iw r
^ ^ ^ __ u^ (g 4- y) -^- g* (g 4- y) + fP* (g 4- g)
et les droites de même paramètre r? engendreront un cône dont Téquation sera évidemment :
(10) (P 4- Y — • cj) a?* 4- (a 4- Y — ^) y' + (* + 3 — ^) ^' = ^•
Les cônes correspondants aux différentes valeurs de xs seront homocycliques. Mais il est clair que Ton pourrait les obtenir d'une autre manière. Si Ton élève eu effet des perpendiculaires en O à tous les plans de même p iramètre passant en ce point 0, il résulte de Tun des théorèmes énoncés à Tarticle I que toutes ces perpendiculaires auront le môme paramètre. Par conséquent, tous les cônes représentés par réquation (9) seront supplémentaires des cônes liomofocaui; repré*
sentes par Téquation (8). Les focales de ces derniers cônes seront, par suite, perpendiculaires aux plans cycliques des premiers. Ainsi :
Toutes les droites de même paramètre passant par un point engendrent un eône du second degré. Les cônes correspondants aux diverses valeurs du paramètre sont homocycliques et sont les supplémentaires des cônes homo- /bcaux, enveloppes des plans de même paramètre.
En rapprochant les uns des autres les résultats donnés dans cet article, on retrouverait les principales propositions relatives aux cônes du second degré. Nous nous dispenserons de les développer, car nous les obtiendrons plus loin sous une forme plus générale. Nous discuterons cependant une question relative aux paramètres des plans passant par une droite quelconque.
Si Ton mène par cette droite deux plans de même paramètre, ils
seront tangents à Tun des cônes homofocaux représentés par Téqua* tion (8). Nous avons vu, au début de cet article, que leurs plans bissecteurs sont fixes et correspondent à ces valeurs du paramètre pour les |uels les deux plans de même paramètre viennent se confondre. Nous sommes ainsi conduits au tliéorème suivant :
Si, par une droite fixe, on mène des plans tangents aux cônes homofocaux représentés par Véquation (8), Us plans bissecteurs de ces couples de plans tangents demeurent Jlze s; par conséquent, deux des cônes homo/ocaux passent par la droite, s*y coupent à angle droit; et de plus les paramètres de ces deux cônes donnent les limites extrêmes entre lesquelles varie le paramètre d*unplan passant par la droite.
Étudions maintenant la loi dç la variation des paramètres de tous les plans de l'espace. Si Ton rapporte le corps aux axes principaux du centre de gravité, on aura :
Zmpe = Zmxz =: Zmxy = 0, Zmx zzzZnty z=ymz =0.
Pour plus de simplicité, nous supposerons que les unités aient été choisies de tellç manière que H masse toti^le du corps soit égale à l
rKS8
e: nous poserons :
COUUS DE MÉCANIQUK.
Soit :
II
Zmx*=za, lm^^ = ô, Irm^ = c.
Mjr -h ry -h îr« -*- /) = 0,
r^'iuation irii:i plan quelconque. Le paramètre k de ce plan sera défini p ir ré juation :
{HT -h ry -^ trc -^ /?)* a»' 4- bv* + cw* -h p^
To^s les p!ma$ de mè:ne paramètre il satisferont par suite à Téquation
i — iV »= + (i — *) I • -f- (il — c) w* = />»,
-*: ;ur ooa>é jiienc ils envelopperont la surface dont Téquation en
.•oor-îoa:tets roaL'tuel.es est :
i — eX k— h k — c
La rorm.» l-.' v.v:te •.• i'.in:îon donne immédiatement le théorème
."f.s Vn* "-.Lit ij ht'.Ji-f i"i;*j.ii?,''Y enveloppent une sur/àce du second i't/r'\ v.liU'^'t.i': v'.'/i;' -Y.'rr *iH'qne le centre de gracité et pour axes les i.:'- .^ /trwtriputk" h -.vy-f. A.ïVj ^es surfaces correspondantes aux diverses 'vi -c '»/• s t^ndt^t fi f) >>r so. i C V». « ■ • "^jca 'es .
V i mo\eu «le ce théorème on peut résoudre très simplement la question o\imiîi».'e dans le t?xte (p. 185) et, étant donné un point quoUvnqu-* M dt» Tespace, déterminer les axes principaux et les luoineuts principaux, relatifs à ce point.
ronsidcrv>as en elfet exclusivement des plans passant par M. Ceux \|ui Hout de paramètre A sont tangents à la surface homoFocale de uu^mo paramètre. Le théorème démontré à Tarticle II nous conduit donc ^ cotto proposition fondamentale et bien connue que les cônes de uu^uic Monnnot, circonscrits k une série do surfaces homofocales, sont ln»mo'iK*au\. 1 /équation (S) de ces cônes montre de plus que trois d'outio (uix !40 réduisent h des plans qui sont les plans principaux du piMul M, ot cola pour les valeurs a, P, y de k. Or le cône circonscrit
à une surface ne peut se réduire à un plan double que si la surface vient passer par son sommet. Nous voyons donc que trois des surfaces représentées par Téq^uation (14), correspondantes à des valeurs réelles de kj viendront passer parle point M, et que leurs trois plans tangents seront les plans principaux de ce point. Elles se couperont par conséquent à angle droit. On retrouve ainsi la propriété fondamentale des surfaces homofocales.
Soient x^, y^, z^ les coordonnées du point M. Les racines de Téquation
seront les valeurs de a, 3, y. Si on les désigne par p, pj, p, le plan tangent à la surface (p,) aura pj pour paramètre. Par conséquent les paramètres des trois axes principaux seront :
p,+ p, pour la normale à la surface (p ),
Ces résultats concordent, on le reconnaîtra aisément, avec ceux qui ont été donnés à la page 189.
Le paramètre du point M sera :
? -^ Pi + Pt, ou, en calculant la somme des racines de Téquation (15) :
On voit que, conformément à une proposition de Tarticle I, le paramètre du point M est égal à celui du centre de gravité, augmenté du carré de la distance des deux points.
D'après l'expression que nous venons de donner du paramètre d'un point quelconque, nous voyons que le lieu des points de même paramètre sera une sphère ayant pour centre le centre de gravité du corps. D'après cela, considérons trois surfaces homofocales de paramètres kj ^j, k^. Si un trièdre tri-rectangle a ses faces respectivement tangentes a ces trois surfaces, le paramètre de son sommet qui, d'après une proposition de l'article I, est égal à' la somme des
paramètres des trois faces, sera constant et égal à
k -i- Â^ -h Jt^.
Par conséquent le lieu de ce sommet sera une sphère concentrique aux trois surfaces. Ce théorème est dû à M. Chasles qui Ta donné dans V Aperçu historique. Si Ton suppose que les trois surfaces coïncident on retrouve le théorème de Monge, relatif au trièdre tri-rectangle circonscrit à une surface unique.
Considérons maintenant deux surfaces homofocales de paramètres k^ et Â^y et menons-leur deux plans tangents parallèles. Diaprés une proposition donnée à Tarticle I, les paramètres de ces deux plans seront :
k désignant le paramètre du plan parallèle mené par le centre de gravité et d, d' les distances du centre de gravité à ces deux plans. Comme on a :
on peut énoncer le théorème suivant :
La différence des carrés des distances du centre à deux plans Cançenls parallèles, menés à deux sur/aces hoMo/ocaleSj est constante et égaie à la différence des carrés des paramètres de ces sur/ace t.
Nous allons obtenir d'autres conséquences, d^une démonstration moins facile, en étudiant les rapports d'une ligne droite avec les surfaces homofocales.
Menons par cette droite deux plans tangents à Tune quelconque des surfaces homofocales. Ces plans auront le même paramètre et nous avons vu que leurs plans bissecteurs seront toujours les mêmes, quelle que soit la valeur du paramètre, c'est à dire quelle que soit la snrfitce homofocale à laquelle ils sont tangents. Lorsque ces deux plans se confondront, ils devront coïncider avec l'un ou l'autre de leurs deux plans bissecteurs. Ils ne peuvent d'ailleurs se confondre que si la surface homofocale à laquelle ils sont tangents devient elle-même tangente à la droite. Cette remarque nous donne la proposition suivante :
Étant donnée une droite quelconque, il y a deux surfaces komq/bcales
réelleê iangenUi à la droite et les plans tangents à ces deuw surfaces en leur point de contact avec la droite sont rectangulaires. Ces deux plans sont les plans bissecteurs du dièdre que Von peut former en menant par la droite des plans tangents à toute autre surface du système homofocal.
Il résulte des développements donnés à Tarticle I que le théorème précédent ne peut se trouver en défaut que lorsque tous les plans passant par la droite ont le même paramètre. Alors tous ces plans sont tangents à une même surface homofocale, et par conséquent la droite est une génératrice rectiligne de cette surface.
Soit M un point de la droite. Rapportons-la aux trois axes principaux de ce point. Soient p, p^, p, les paramètres des surfaces passant en M. L^équatioa du cône de sommet M circonscrit à la surface (k) sera :
Soient i, i', f les angles que fait la droite avec les normales aux surfaces (p), (pj), (p^) respectivement. L'équation en h :
cos* i cos' »' cos' i"
déterminera les deux cônes passant par la droite ; c'est à dire elle fera connaître les paramètres des deux surfaces homofocales tangentes à la droite. Si on désigne par h^ et h^ ces paramètres, on aura :
cos* i cos' i cos' i"
,Y^\ 1 ^0 -" P *o "" Pi ^0 — Pi
^ ^ ^ cos*i co8*i' cosM"
^1 — P ^1 — ?i ^1 — pt
Ces deux équations permettent de déterminer i, i\ i\ On en déduit :
' cos' » :=: ^ '
(? — Pi) (? — Pt)
(18) ' cos« i = (p' — ^o)(p,— ^.)^
cosM-^^P'-^^-^^P'-^'V \ (Pi — p) (p. — pi)
On peut, en utilisant les formules précédentes, obtenir des résultats très importants, relativement aux droites pour lesquelles k^ et k^ ont la même valeur, c^est à dire qui sont tangentes à deux, surfaces homo focales déterminées. Mais, pour cela, il est essentiel de rappeler quelques formules relatives au système de coordonnées elliptiques.
Reprenons Téquation :
iT* î/' ^*
qui représente les surfaces enveloppes des plans de même paramètre. Nous avons vu quMl en passe trois par un point quelconque de l'espace. C^est ce que montre d'ailleurs aisément la discussion de réquation précédente où ron considère ^, y, z comme données et k comme une inconnue à déterminer. Si Ton suppose a, ô, c rangés par ordre de grandeur décroissante, elle admet trois racines réelles; Tune que nous désignerons par p, supérieure îx a; l'autre que nous appellerons p^, comprise entre a ^i b\ la troisième que nous désignerons par p„ comprise entre d et c. Ces trois racines correspondent respectivement à un ellipsoïde, k un hyperboloïde à une nappe et à un hyperboloïde k deux nappes. Par suite, si Ton décompose le système des surfaces bomofocales en trois familles composées, la première des ellipsoïdes, la seconde des byperboloïdes k une nappe et la troisième des hyperboloïdes k deux nappes, nous pourrons dire qu'il passe une surface de chacune des trois familles par tout point de l'espace. C'est ce que montrerait d'ailleurs aisément la discussion des formes successives que prend la surface appartenant k une famille donnée, quand le paramètre qui la détermine prend toutes les valeurs possibles. Par exemple les ellipsoïdes (p) commencent à être confondus avec la portion du plan des yz comprise k Tintérieur de la focale elliptique réelle; ils grandissent ensuite indéfiniment et leurs trois axes dépassent toute grandeur donnée. Il passe donc un ellipsoïde et un seul par chaque point de l'espace.
Lorsqu'on emploie le système de coordonnées elliptiques, on substitue
NOTE xxir. 593
aux coordonnées x, y y z d'un point les paramètres p, pj, p, des trois surfaces homofocales qui passent par ce point. Il est vrai qu'à un système de valeurs do p, p^, p^ correspondent les huit points d'intersection des trois surfaces homofocales correspondantes; mais ces points sont placés symétriquement par rapport aux trois plans principaux et des considérations très simples de continuité permettent, dans chaque question, de reconnaître le point auquel se rapportent les valeurs trouvées des cooordonnées elliptiques.
Si Ton se reporte à Téquation (19) en j regardant x^ y, z comme les coordonnées d'un point quelconque et k comme un paramètre varis^lc, elle admettra pour racines les coordonnées elliptiques p, pi, p, du point considéré. On pourra donc écrire l'identité :
^ ^ * — a h — h k — c {k — a){k — by{k — €)'
qui devra avoir lieu pour toutes les valeurs de k. En décomposant le second membre en fractions simples, on obtiendra les valeurs de ^'> y'i ^'' On trouve ainsi :
Si Ton posait, pour abroger,
les valeurs de x, y, z pourraient s'écrire :
.?(i\ ;/«-ii^, .«-iM.
Proposons-nous maintenant de trouver l'expression de la distance de deux points infiniment voisins dans le système des coordonnées Despeyrous. — Mécanique. II. 38
et il ne reste plus qu'à substituer ces valeurs dans l'équation :
«* — PiP* -h Qa? — R = 0;
a, b^ c seront les racines de cette équation.
n est préférable, pour déterminer a, 6, c et pour reconnaître la réalité des racines de Téquation précédente, de raisonner de la manière suivante :
L^équation à laquelle satisfait la variable u, qui est le cosinus de l'angle de la verticale avec Taxe du corps, a été déjà donnée dans le texte (p. 253). Si nous faisons les changements nécessités par nos nouvelles notations (^), cette équation devient ici :
(8) — = 2 (1 — tt») (Du 4- H' — 2B') — 4 (B» — L)'
= 2(1 —u^){Du 4- H')--4B» — 4L*4-8BL».
On peut évidemment la former d^une autre manière, en partant de l'expression donnée plus haut pour w. Si l'on difTérentie en effet cette
expression et si l'on remplace a\ .,., — , ... par leurs valeurs, on trouvera :
D'autre part on peut exprimer ;o*, «^', r' en fonction de w, en faisant usage de l'intégrale des iiires, de l'intégrale des forces vives et de l'expression donnée pour u en fonction de^, q, r. On trouve ainsi :
;?*2fli — a -4- ûw ^«__2^A— 3 4- Ûw r*2cA-Y-hUtt
â'~"2(â'— <5)fa--c)' 'P^2(i — a)(6 — cy ?~'2{c—a) (c — à)'
et si l'on porte ces valeurs dans l'équation précédente, il viendra :
(10) |. ^ z= (a — 2a;i — Qu) (P — 2M - Ûtt) (y - 2c* — Û«). ^ ut
C; II faut remplacer « par ÎB, faire C = A cl poser :
^\^ff^^.2V, ?J=2H'-4B«, ^-=-2L.
Cette équation devra donner pour — la même valeur que l'équation (8). C'est ce qu'il serait aisé de vérifier en se servant des formules (4) et (6). Mais au lieu de faire cette vérification qui n'offre aucune difficulté, nous conclurons que ^es racines de l'équation complètement connue :
(11) 2 (l — w*) {Du -h H') — 4B- — 4L* 4- SBLu = 0,
sont exprimées en fonction des axes par les formules :
a — 2ah ^ — 2bh -; — 2ch D D D
Or on a, par suite de la définition de a (p. 515j :
X — 2aA = 2A' — 2PA + Q — 2 ^-^ ->
et les formules (2) et (6) nous donnent :
k = L, 2h} — 2PA 4- Q = 2V — H',
2 {h - a) (h ^ b) ^ — c) =2 {V ^ PL' -h QL — P)
Par conséquent, u^ désignant celle des racines de l'équation (11),
. . . , (i—2ah qui est égale a — > on a :
or, r., 2L>-BD — LH'
Les autres racines «,, «, s'exprimeraient de même en fonction de b et de c. Ce résultat peut être énoncé comme il suit :
Pour obtenir t équation qui donne les carrés des axes principaux a, b, c, on eJTectuera dans t équation (11) h substitution linéaire :
V équation en a fera connatlre les carrés des trois axes principaux. Comme l'équation (11) a ses racines réelles, par la nature même du problème, il en sera de même de l'équation aux axes principaux. La question que nous nous étions proposée, est ainsi complètement
et il ne reste plus qu'à substituer ces valeurs dans Téquation :
a?* — P^» -h Qa? — R = 0 ;
a, by c seront les racines de cette équation.
n est préférable, pour déterminer a, by c et pour reconnaître la réalité des racines de Téquation précédente, de raisonner de la manière suivante :
L'équation à laquelle satisfait la variable u, qui est le cosinus de Tangle de la verticale avec Taxe du corps, a été déjà donnée dans le texte (p. 253). Si nous faisons les changements nécessités par nos nouvelles notations (^), cette équation devient ici :
(8) -^ = 2 (1 — tt») (Du + H' — 2B») — 4 (Btt — L)«
= 2 (1 — «») (Di* -h H') — 4B* — 4L* 4-8BL«.
On peut évidemment la former d^une autre manière, en partant de Pexpression donnée plus haut pour u. Si Ton différentie en effet cette
expression et si l'on remplace a', .,., — , ... par leurs valeurs, on
trouvera :
^du Aa— b)(b -- c) (c — à)
(9) Û-- = 4^ ^-^ — j—^ ^pqr,
^ ' dt abc ^
D'autre part on peut exprimer ;o*, '/, r' en fonction de «, en faisant usage de l'intégrale des aires, de l'intégrale des forces vives et de l'expression donnée pour % en fonction de^, ^, r. On trouve ainsi :
;?*2fli — a -4- ûw (/*__2^A-- P 4- Qw r*2<:A - y -h Ut*
et si l'on porte ces valeurs dans l'équation précédente, il viendra :
Û' du"
(10) ~— =(a — 2a;i — Ûm)(^— 2^A-Ûtt)(Y — 2c* — Û«).
Q) II faut remplacer n par 2B, faire C = A cl poser :
dn Cette équation devra donner pour — la même valeur que Téqua-
dt
tion (8). C'est ce qu'il serait aisé de vérifier en se servant des
formules (4) et (6). Mais au lieu de faire cette vérification qui n'offre
aucune difficulté, nous conclurons que ^es racines de l'équation
complètement connue :
(11) 2 (l — H*) {Du -h H') — IB- — 4L» -f- SBLu = 0,
sont exprimées en fonction des axes par les formules :
Or on a, par suite de la définition de a (p. 5I5j :
2 — 2aA = 2A» — 2? h + Q — 2 ^-^ -,
et les formules (2) et (6) nous donnent :
