II. — Des forces vives dans la théorie des percussions

Reprenons les équations relatives à l'effet des percussions sur un point matériel :

Multiplions-les par Vx H- Vox, ^y -*- t^o*, 'o» + ^oa et ajoutons-les. Nous aurons, en désignant par 9o, v les vitesses initiale et finale,

Le second membre de cette formule a une signification géométrique très simple. Si la force (X, Y, Z) agissait, pendant toute la durée de

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son action, sur un mobile animé de la vitesse constante dont les composantes sont :

son travail élémentaire serait :

et son travail total dans Tintervalle de 0 à ^ serait précisément Tintégrale qui figure dans le second membre de la formule (6). Nous avons donc la proposition suivante :

Thëorkmb I. — Quand des percussions agissent sur u% point matériel^ la variation de force vive est égale à la somme des travaux que produiraient Us forces d'où proviennent ces percussions si, penclaU toute la durée été leur action, le point matériel conservait une vitesse constante égale à la somme géoméirique de ses vitesses initiale etjlnale.

Multiplions maintenant les équations (5) par 9,, r^, v^ respectivement et ajoutons-les. Nous obtiendrons une équation que Ton mettra aisément sous la forme suivante :

/' mvl —tnv^^m [{v^ — v^^)^ -f- {v^ — vj* -H {p, — vj)^] ^"^^ j - 2^ f\'^t>, + Ye., + ZfJ dt.

Cette équation, interprétée comme la précédente, conduit à cette nouvelle proposition :

Théorkme II. — la perte de force vive est égale à la force vive due à la vitesse perdue moins le double de la somme des travaux que produiraient les forces si le point matériel conservait^ pendant toute la durée de leur action, une vitesse constante et égale à la vitesse finale.

Enfin, si Ton employait comme multiplicateurs t?ox, t?Of, t^oe» on aurait de même l'équation :

mv^ — m ni =z m [(v^ — t?^,)' -t- (v„ — v^^Y -f- {v, — v^Y] ^^^ \ -H ^^f\^'^' + Ypo, h- ZO df,

qui sMnterprète comme il suit :

Théorèmb III. — Le gain de force vive est égal à la force vive due à la vitesse gagnée (ou perdue), augmentée du double des travaux gue produiraient les forces si, pendant toute la durée de leur action, le point matériel conservait vne vitesse constante et égale à la vitesse initiale.

n est aisé de reconnaître que cette dernière proposition est un simple corollaire des deux précédentes, mais il peut y avoir quelque intérêt à en faire usage.

Considérons maintenant un système composé d'un nombre quelconque de points matériels. Écrivons les équations analogues à réquation (6) pour chacun des points et ajoutons toutes ces équations. Nous aurons :

Zmv^ — Zmvl

les sommes ^ui figurent dans le premier membre s'étendant k tous les points matériels, et celle qui figure dans le second à toutes les forces. Cette équation conduit au théorème suivant :

Théorème IV. — La variation de la force vive totale d'un système est égale à la somme des travaux que produiraient les percussions, tant intérieures qu'extérieures, si chacun des points d'application de ces percussions conservait, pendant toute la durée de leur action, une vitesse constante égale à la somme géométrique de ses vitesses initiale etjlnale.

De même, l'équation Ç1) nous conduira à la suivante :

Imv' — Zmvl = Zm [{v, - vj' 4- {v„ — O' + i^t - ^.)']

ce qui donne le théorème suivant :

Théorème V. — La perte de force vive du système est égale à la force vive due aux vitesses perdues, diminuée du double de la somme des travaux que produiraient les percussions, tant intérieures qu'extérieures, si chacun de

leurs points d'application conservait, pendant toute la durée de leur actiùn, une vitesse constante, ('gale à sa vitesse finale.

Toutes les propositions précédentes s^appliquent aux forces agissant pendant un temps quelconque. Mais, si le système matériel est on corps solide et si les forces agissent pendant un temps très court, c'est à dire sont de véritables percussions, il est aisé de démontrer que les termes correspondants aux percussions intérieures se détruisent deux à deux et disparaissent des équations (9) et (10). Soient, en effet, m, m' deux points du corps solide entre lesquels s^exerce une force (X, Y, Z). Appelons v^^, 9^, ... les vitesses du point m, et 9ox9 Ky ••• celles du point m'. Les termes qui proviennent de la force (X, Y, Z) dans les équations (9) et (10) sont composés des deux expressions :

( (^x - t^; )f^dt + {V, - vl )JYdt -H iv, - v[ )fzdt, ( (V - v',.)j^dt + (Po. - v,,)ÇYdt -H {v, - vi:)Jzdl.

Les deux points m, nC étant maintenus, par hypothèse, à une distance invariable, les vitesses initiale et finale satisfont aux conditions :

^' ){{x-'X'){v^^vi,) + {y^y'){v,,-v;,,)-h(z-^z'){v^—vi;)=0,

X, y y t, ^'fy\ ^' désignant les coordonnées des deux points. D^aillours, la percussion étant dirigée suivant la droite qui joint les deux points, on a :

Çxdt=z\{x - x'\ ÇYdt = \{y-^y'), \Zdt = \{z — z')^

et, par conséquent, les deux expressions (11) sont nulles, en vertu des formules (12). Ainsi les percussions intérieures disparaissent dans les formules (9) et (10).

La démonstration précédente n'est pas absolument irréprochable, parce qu'elle suppose que les distances des différents points soient

demeurées les mêmes pendant toute la durée des percussions. Il est aisé de reconnaître à priori que cette condition n^est pas nécessaire et qu^il suffit, pour que les théorèmes aient lieu, que les distances mutuelles des différents points redeviennent les mêmes après les percussions. En effet, dans ce cas, les théorèmes du mouvement du centre de gravité et des moments permettent de trouver le nouveau mouvement du corps solide, et par suite la variation de force vive. Or Tapplication de ces théorèmes est indépendante des déformations passagères qui peuvent se produire pendant Taction des percussions. On voit donc qu'il en sera de même de la variation de la force vive, et, par suite, les expressions que nous avons trouvées en supposant les distances invariables doivent subsister dans tous les cas, pourvu que les distances reprennent leurs valeurs initiales quand les percussions ont cessé leur action. Nous allons, du reste, en nous servant seulement des équations ordinaires, obtenir une vérification des propositions précédentes.

Pour cela reprenons les équations (3) et (4), que nous écrirons :

^t) Vif ^i désignant les coordonnées du point d'application de la percussion (X^, Y,, Z^) par rapport aux trois axes principaux du centre de gravité.

En multipliant ces équations par V^. + V^^, ..., p 4-i?o> ••• respectivement et en les ajoutant, on a :