X (V, + V,J 4- Y (V, 4- V J -I- Z (V, + VJ

Le premier membre représente la variation de force vive. D'autre part, si Ton appelle f?^^, ..., v^^ ... les composantes des vitesses initiale et finale du point d'application {xi^ Pi, ^,) de la percussion

(X„ Y„ Z,), on a :

^% = ^ov -^ U^i — Po-i> ^iw = Vy 4- rxi —pzij »Jz = V^' -^PoVi — Qo^iy «'û = V, -h ppi — çXiy

et Ton obtient, par un c&lcul facile :

vx, {v^ + vi;) + Y, (t?,. H- vl) -4- .Z, (»^ -h c?,) z= X (V, + V^) + Y (V, -H V J + Z (V. + V J + (?-*- ?o) L + (^ 4- ^o) M -h (r -4- r^) N.

En comparant à Téquation (13), on a :

.. i '**^* -^ ^'^^ -^ ^^' -*" ^'*' - *^^5 - ^Pl - Bî?; — Cri M = :^X, (r^ + rîj + Y, (t.,, 4- v%) -4- Z, (r^ -h t.?,),

et cette équation ne diffère de Téquation (9) qu'en ce que les termes provenant des actions intérieures ont disparu. Nous avons donc la proposition suivante :

THéoRÈME VI. — Quand des percussions agissent sur wi corps solide, la variation de force vide est égale à la somme des travaux qu'elles produiraient si leurs points d'application conservaient, pendant toute la durée de leur action, une vitesse constante égale à la somme géométrique de leur vitesse initiale et de leur vitesse finale.

On vérifiera de la même manière l'équation suivante :

( kp\ -f- Bql + Qr\ 4- mV\ — Aj»* — Bq" — Cr« — i»V* (16) = A (p --p,y + B (^ - q,y -^Q{r-^ r,y + m{Y — V,)«

( -2S(X,ri,-}-Y,c,, -4-Z,0,

qui ne diffère de l'équation (10) qu'en ce que les termes provenant des percussions intérieures ont disparu et qui conduit au théorème suivant :

Théorème VII. — La perte de force vive éprouvée par le corps solide est égale à la force vive due aux vitesses perdues moins le double de la somme des travaux que produiraient les percussions si les points sur lesquels elles agissent conservaient, pendant toute la durée de leur acUon, une vitesse constante égale à leur vitesse finale.

Il est bon de remarquer que si le corps solide est soumis à des liaisons, sMl a, par exemple, des points fîxes, ou des points assujettis à demeurer sur une surface fixe, ou des surfaces assujetties à passer par des points fixes, etc., les termes provenant dans les équations précédentes des percussions de liaison seront tous nuls, pourvu que Ton néglige le frottement. Par exemple, sMl 5 a un point fixe, la percussion que le corps reçoit de Tobstacle fixe, s^exerçant sur un point dont la vitesse est et demeure nulle, ne donnera de terme dans aucune des équations (14) ou (15).

Diapré» cela, si une seule percussion agit sur un corps solide au repos, la force vive imprimée au corps sera, en vertu du théorème VI et de réquation (14), égale au produit de cette percussion par la projection, sur sa direction, de la vitesse que prend son point d'application. Il faut donc que cette projection soit positive et, par conséquent, que le point d'application cède sous l'action de la percussion qui lui est appliquée. C'est là un résultat conforme à notre expérience de tous les jours; mais le théorème précédent, qui le met en évidence, nous conduit, en outre, à la considération d*un élément nouveau qui se rapporte aux droites d'un corps solide et que nous allons définir.

Concevons une droite D et supposons qu'une percussion égale à Tunité ait cette droite pour ligne d'action. Soit A le point de D ou elle est appliquée. Elle communique à ce point A une vitesse dont la projection sur la percussion et par cqnséquent sur la droite est

positive; nous désignerons cette projection par -» et il est clair

qu'elle demeurerait la même si l'on faisait glisser la percussion sur la droite D ; car on sait qu'alors le mouvement imprimé au corps demeure le même, et d'autre part, dans ce mouvement, les projections sur la droite des vitesses de tous les points de cette droite sont égales. Nous appellerons cette quantité {x, essentiellement positive, le paramètre de la droite. Quand on l'aura déterminée, on saura que toute percnssûm égaU àP et dirigée suivant la droite déterminera en son point d'application

une vitesse dont la projection sur la percussion sera positive et égale à - .

Cherchons quelle est la valeur du paramètre dans les cas principaux que l'on a à considérer.

î>60 COURS DE MÉCANIQUE.

1° Supposons d'abord le corps libre, et soit une percussion agissant

suivant une droite XX' {flg. S77). Désignons par M la masse du corps.

La percussion P imprimera d'abord à tous les points une vitesse de

P translation égale à — ; elle produira, en outre, une rotation autour du

diamètre GL, conjugué au plan GXX' dans l'ellipsoïde central du centre de gravité G. Appelons p la distance GH du centre de gravité

à la droite XX'. Le mo- - ' ment G du couple qui résulte de la translation de la percussion en G sera Pp, et, par conséquent, la vitesse de rotation autour de G L sera donnée par la formule :

oii /désigne la longueur du demi-diamètre GL de ^ellipsoïde central autour duquel s'efPectue la rotation, et $ la distance GK du centre au plan tangent à l'extrémité de ce diamètre. Nous pouvons d'ailleurs décomposer cette rotation en deux autres, l'une (o' dirigée suivant GK

et égale à o) X - ou Pp5*, l'autre w* dirigée dans le plan XX' et dont

nous n'avons pas besoin de connaître la valeur.

D'après cela, la vitesse d'un point quelconque de XX', par exemple du pied H de la perpendiculaire abaissée de G, se compose de trois

vitesses : 1^ la vitesse de translation dont la projection sur la droite

XX', prise dans le sens de la percussion, est r^; 2^ la vitesse due à

la rotation o)', vitesse qui est dirigée suivant XX' et qui a pour valeur (i)' y ou Pp'c*; 3^ la vitesse due à la rotation (»)^ qui, étant normale à XX', donne une projection nulle. On voit donc que la projection sur la direction de la percussion de la vitesse imprimée au point H, projection qui conserve la même valeur pour un point quelconque de XX', est :

Gr-^^"-')

donc dans ce cas, pour le paramétra de la droite XX', Texprestrès simple :

paramètre, généralement inférieur à la masse, lui devient égal xuà la droite passe au centre de gravité.

Si le corps a un point fixe, ]es raisonnements sont les mêmes; ulement il n'y a pas à tenir compte de la vitesse de translation, et on a :

le centre de gravité étant remplacé par le point fixe.

Enfin, si le corps a un axe fixe, soient XX' (fly. 278) la ligne

d^action de la percussion, 0 Tangle qu'elle fait avec Taxe a a', et d sa plus courte X' distance à Taxe. Désignons par u) la vitesse angulaire imprimée et par MA* le moment dMnertie par rapport à a a' . On aura :

M>l«a) = Prfsine.

La vitesse du pied B de la plus courte

Fitf 278

distance sera

Pd*sine

Mk?

j et sa projection sur

l?d^ sin« e M>1«

On aura donc ici (16).

d^ sin« 0 M>t«

Nous nous bornerons à ces trois cas principaux. Pour les autres, nous nous contenterons de rappeler que le paramètre \k est essentiellement positif.