AUTOUR DU SOLEIL
104. Nous allons partir de la loi de la gravitation universelle : nous réduirons le Soleil à un point matériel S de masse M, la planète P à un point matériel de masse m; soit f Tattraction de l'unité de masse sur Tunité de masse, h l'unité de distance, posons r = SP; le Soleil sera soumis à une force SA dii*igée suivant SP, la planùle à une force PB
dirigée suivant PS; ces deux forces ont la mùme
. , ., , /"Mm mtensjte — ;-•
Prenons trois axes rectangulaires fixes OX, OY, OZ; désignons, rela- Y tivement à ces axes, les coordonnées de S par X, Y, Z, celles de P par ç, 7;, Ç. Si nous remarquons que les pi'ojpc-
Fi^ \%\
tions de la force SA sur les axes sont :
/l^lw J — X^ /"Mm y; — Y /Mw > — Z^ r* r * r* r ' r* r
nous aurons pour déterminer X, Y, Z en fonction du temps
DYNAMIQUE. \i9
trois c(iuations semblables à la suivante :
„^/*X /Mw ; — X
On peut diviser par M, et écrire :
• fit* I ,■••
On aura de même pour déterminer le mouvement de P les ti-ois é([uations suivantes :
(in ' r'
11 ne serait pas utile d'intégrer ces équations, parce qu'il serait impossible de déterminer les constantes arbitraires, jiositions et vitesses initiales du Soleil et de la planète, relativement à des axes fixes, quantités que nous ne connaissons pas. Il faut chercher le mouvement relatif de la I)lanète autour du Soleil. Par le point S menons trois axes t^.v, S y, Sj3 parallèles aux axes fixes; relativement à ces nouveaux axes, désignons les coordonnées de la planète p;u' .r, y y z; nous aurons :
5 = X-f-,r; d^oii a? = ; — X, d^ d'^^ rPX
cl lieux auti'es écniations analogues pour déterminer ,;,» .Jl-
ar (tt
40 COURS DE MKCANrOUR.
En tenant compte dos équations (l) et (!2), on trouvera :
(P.V ___ /"(M + vi) X i 7/72— r^ '
ï itV r I d^
Ces équations sont les mêmes que si Ton avait supposé tout d'abord le Soleil fixe et qu'on ait cherché le mouvement absolu de la planète P attirée par le Soleil par la
fm (M + w) >^ - -
force :, Nous poserons M + m = ;x, et nous
aurons :
\ dt' ^ H ~ "'
^ ' I dr r*
En partant de ces équations, on prouvera, comme on l'a fait (tome I, p. 338), que la courbe décrite par la planète est située dans un plan passant par le centre du Soleil. Nous simplifierons nos formules, en prenant ce plan pour plan des xy\ alors z = 0 et il reste les deux équations :
On en conclut, connue nous l'avons déjà vu (tome I, p. ri3f)) :
rf*y d^x
et en désignant par c une constante ai'bilraire, (M représcMi-
tant par 0 l'angle que fait le rayon vecleiir r avec Taxe dos x :
dy (Ix (It ^ dt
On déduit encore des équations (B) :
dx* H- rfy* xdx + ydy à' 57r— + V^^ -, = 0,
ou bien :
Intégrant, et désignant la constante arbitraire par ft, il vient :
, dr'- ^r" de* if'^ ^
Les coordonnées polaires r et 0 seront déterminées en fonction (lu temps par les équations (4) et (5). Si on élimine dt entre elles, il vient :
d'où :
de
— cd • - — cd ' —
En intégrant, et désignant la constante arbitraii'e par w, il vient :
0 — 0) = arc cos
42 COUUS 1)K MÉCAiNIQUE.
- = — + 1/ A 4- ^ COS (e — (u),
(fi) r = — ^^
1 + y 1 H- ~;^ COS (0 - to).
On reconnaît Téquation d'une section conique dont l'origine est un foyer; les planètes décrivant toutes des ellipses et non des hyperboles ou des parai )oles, les conditions initiales doivent être telles que Téquation (G) représente une ellipse.
Faisons tourner Taxe des x de Tangle w, et Térjuation (0) s'écrira :
