f- 1/ 1 4- -—^ COS

En désignant par 2a le grand axe de Tellipse, et par e Texcentricité, cette équation doit pouvoir s'écrire :

i + e COS 0 En comparant ces deux expressions de r, il vient :

On lire de là :

Les deux constantes A et c s'expriment donc au moyen de a et de e, qui donnent la foi-me et la grandeur de Tellipse.

1)VNA>JIQITE. 43

c étant le double de Taire décrite dans l'unité de temps par le rayon vecteur de la planète, on a :

ou, en faisant :

iT.nb iT.n^yi — e^

cette valeur de c étant comparée à (8), il en résulte :

n est la vitesse angulaire moyenne du rayon vecteur, qui décrit Tangle 2:: dans le temps T; on l'appelle encore, siin- ])lement le moyen mouvement, La formule (9) montre qtle, pour les planètes, n et a ne peuvent pas avoir des valeurs quelconques; pour une autre planète P', on aura :

On en conclut :

«"«'• ix' M + m' '

ou î)ion :

rt' T" "^ M a" T' ~ , m' '

de manière

que

l'on n'a plus :

Ainsi, nous avons trouvé que le mouvement de la planète doit bien vérifier les deux premières lois de Kepler, mais ne sîilisfait plus à la troisième. Toutefois, si l'on remarque que

les rapports jr? -^ sont très petits, et égaux au plus à j^^^

dans le cas de Jupiter, on voit que le second menil)re de l'équation (iO) diffère très peu de 1; il s'en faut donc do bien peu que la troisième loi de Kepler soit vëiilîée, et de trop peu pour que Kepler ait pu reconnaître avec les ol)servations de Tycho, que cette loi n'était pas tout à fait exacte. L'expression (5) de i;', en tenant comité de la vîdeur de fc, s'écrira :

I! faut maintenant déterminer la position de la planète sur son orbite à une époque quelconque. Prenons les formules ;

r'de

(12) lJlI = c = «a'|/i^.^

1 4- ^ cos 6 et éliminons 0 entre les deux; nous aurons d'abord :

cos 0 = : sin ô = Kl — f-,

er er

sinOrfO — t

rfô =

r Va'é' — (rt — r)*

et, en reportant dans (12) :

(13) ndt^=

a KaV* — [a — r)*

la valeur absolue de a — r doit être plus petite que ae; nous poseroïis, en introduisant une varialde auxiliaire u :

a — r =Z2 ae cos u, d'où :

(14) r =: a {l — r cos u),

la formule :

dr =z ne sin u du.

(i3) devient ainsi :

ndt = (1 — e cos u) du,

d'où en intégrant et désignant la constante arbitraire par C :

(15) nt = u — e sin u + C.

Pai' l'équation précédente, u est une fonction de f; (i i) donne r en fonction de w, donc r est une fonction de t. On aurait pu intégrer directement la formule (13) et obtenir ainsi r en fonction de t; mais l'expression de r aurait été compliquée, et Tintroduction de la variable u simplifie le calcul bien que le résultat final soit le même.