Signification géométrique de la variable u. — Sur

le gî'and axe A A' de Tellipse comme diamètre décrivons un cercle; soit M un point de l'orbite de la planète, A N le point du cercle correspondant à la même abscisse

185 W^ ^/ CV = X. On a, comme on

sait :

r — SM = a — X =ia — ex= a(l — ^ cos m),

x= a cos u ;

lo triangle rectangle PCN donne :

CP = jr = CNcos ACN:

un aura donc :

7/ = ACN.

a cos ACN;

Cet angle u est ce qu'on appelle l'anomalie excentrique, 0 = MSA est l'anomalie vraie.

Au point A, M = 0, 0 = 0,

cnA', w = z, 0 = ::. .

Comptons le temps à partir du moment où la planète est à son périhélie; alors, pour < = 0, u = 0; la formule (15) donnera C = 0 ; on a donc :

(IG) u — tf sin n = nt,

(17) r = a (1 — e cos n) ;

réquation (10) donnera ii en fonction de t. Éj^alons Texpitîssion précédente de r à celle fournie par Téquation de rdlipse, et nous trouverons :

a(l — e cos u) = . - - - .- . ^ 1 4- (? cos 0

(18) cos e =

1 — ^ cos u

(17) et (18) donneront donc r et 0 en fonction de w, qui est lui-même doimé en fonction de t. On tii*e de (18) :

Ki-

e^ sui u

sîn ô = — z 1

1 — e cos u

et de cette formule combinée avec (18) on déduira :

r cos () =: a (cos u — ^),

r sin 0 = a J/l — e* sin w.

Lorsqu'il s'aj^it de calculs numéricjues, ces deux formules peuvent remplarei'avantaj^ousomont les formules (i7) et (18) ; dans co cas, ou peut encore^rouvei' des fornuiles plus uvunlageuses; on déduit en elVet de (18) :

a t ^ I r (1 — ^) (i + COS U) ^.. , ' *■' ^

2 COS* - =1^ 1 + COS 0 c= ' — -J-1 ^ r =z 2 (1 — e)

2 1 — ^ cos M ^1 — V cos a

2 sm- - = 1 — cos 6 = "• — -—-^ ^ = 2 (1 4- ej r-

2 1 — *^ cos M ■! — /' cos ff

Ou tire de là, en tenant compte de (17) :

Vr sin - = Va{\ + e) sin - 5

Vr cos = K fl (1 — ■ 6?) cos - 1

Les formules (20) sont très élégantes et très simples, quand il s'agit de calculs numériques; la formule (21) est im])ortante, c'est elle que l'on devra employer s'il s'ayit seulement de calculer 0.