Développements analytiques de r et 0. — Nous

poserons :

nt = ï,

la quahtitë ; se nomme l'anomalie moyenne; c'est Tanfiie que ferait à l'épociue f, avec SA, le rayon vecteur do la planète, si ce rayon vecteur tournait uniformément autour du point S, de manière à décrire l'angle '2r. dans le tenq)s T. Nous aurons :

u —' e sin u = ;,

(22) w = ; + ^ sin Uy

(23) - = 1 — p cos M.

10^. Série de Lagrange. — Lagrange considère, d*un(î manière générale, récjuation :

(L) H = : + e fin),

qui détermine ti en fonction de la variable; et du i)aramètiLU'; il se propose de développer une fonction donnée de if, V(U), suivant les puissances de e, et il donne pour cela la série

suivante, qui porte son nom (*) :

F (u) = F Q + 1 a;) F' (0 + râ %

■^1.2.3 rf;' "^1.2... m (/;"•-' ■*"•••

Nous aurons, dans le cas actuel,

f{u) = sîn u; /*(;) = sîn ;.

Pour développer l'expression (22) de r suivant les puissances de e, il faut développer de la même manière cos u; nous ferons dans M :

F{u) = cos n ; F Q = cos ?,

et nous trouverons :

cos M = cos ^ — , sin' s — 7-5 — :r;~-

■" 1.2.3 rf;' "• "■ 1.2... w ^;"^^=^» ••'

On peut développer sin"*^ *; par une formule connue, sui-

vant les sinus des multiples de r, si m est pair, — j^m-i —

se trouvem développé de la même manière; mais il est aisé de voir que ce développement ne conlieudi*a que (Tes cosinus; enfin, on peut ordonner relativement à cos ;, cos 2;, cosIÎL\.. ; en reportant la valeur trouvée pour cos a dans Texpression

(2IÎ) de -' et né{,digoant c% on aura :

— (2 — ;{ ) «^os 2; — -g- cos 'K - ;{ cos 4:.

0) On trouvcMM la ilriiioiibtralion do cvMo formule dans le Cours de M. Hcnhite à la racullj des bcicncob, '2" édition, p. loi. — Liluairic A, llennanii.

Dans le cas des planètes, e est petit; le développement précédent suffira souvent; il serait du reste facile de le compléter.

Occupons-nous du développement de 0; partons pour cela de la formule :

Lit

<roù, à cause de :

ni = s; r = a (1 — c cos u) :

rfO = [/{-^ im — e cos h)- * dZ,

ou bien, en développant par la série du binôme (1 — ecosu)~\

rfô = k^l — Éf' (1 + ie cos u H- 3e^ ces' u h- ie^ cos^ te...) rf;.

On développera Texpression de cos" u suivant les puissances de e, par la formule de Lagrange, en y faisant :

F(u) = cos" u; on développera également Ki — <?* suivant les puissances de e, par la fornmle du binôme, et on trouvera ainsi une expression de la forme suivante :

rfô

~ =: 1 -h B, cos s + B, cos 2Ç -*- ...

d'où en intégrant, sans ajouter de constante, parce que

pour Ç = 0, e = 0. >)

Or=:î: + B,sin:-i-|?sin2ï4- ...

On trouvé, en négligeant e' comme précédemment :